1、期末復習總結期末復習總結第五章第五章 定積分及其應用定積分及其應用一、定積分的概念與性質一、定積分的概念與性質1 1、定義：、定義：iniibaxfdxxf10)(lim)( 2 2、幾何意義：曲邊梯形的面積、幾何意義：曲邊梯形的面積3 3、性質：、性質：dxxgkdxxfkdxxgkxfkbababa )()()()(2121 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(0)( aadxxf baabdxxfdxxf)()(期末復習總結期末復習總結 babadxxgdxxfxgxfba)()(),()(,則則上上在在)()( )()(baabfdxxfba 積分中值定理積分中值定理是是

2、奇奇函函數數時時，當當)(xf;0)( aadxxf是是偶偶函函數數時時，當當)( xf aaadxxfdxxf0.)(2)(二、積分上限的函數及其導數二、積分上限的函數及其導數1 1、定義：、定義：)()()(badttfxxa 2 2、導數：、導數：)()()(xfdttfdttfdxdxaxa 期末復習總結期末復習總結)()()()(xuxufdttfdxdxua )()()()()()()(xvxvfxuxufdttfdxdxuxv 三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()(| )()()()(aFbFxFdxxfCxFdxxfbaba 四、定積分的計算：方法與不定積分相同四、定

3、積分的計算：方法與不定積分相同1 1、換元積分法（既換元又換限）、換元積分法（既換元又換限）則則令令),(),( ba 根根式式代代換換三三角角代代換換令令)2()1()()()()(dtttftxdxxfba 期末復習總結期末復習總結2 2、分部積分法、分部積分法 bababaxduxvxvxuxdvxu)()(|)()()()( babadxxuxvxvxu)()(|)()(五、無窮限的反常積分五、無窮限的反常積分 CxFdxxf)()()()(lim| )()(aFxFxFdxxfxaa )(lim)(| )()(xFbFxFdxxfxbb )(lim)(lim| )()(xFxFxFd

4、xxfxx 期末復習總結期末復習總結六、定積分的應用六、定積分的應用 1 1、微、微元元法法 2 2、平面圖形的面積、平面圖形的面積 (1) (1)直角坐標情形直角坐標情形 (2) (2)極坐標情形極坐標情形 3 3、體積、體積 (1) (1)平行截面面積為已知的立體體積平行截面面積為已知的立體體積 (2) (2)旋轉體體積旋轉體體積期末復習總結期末復習總結dxxfdyyg)()( 第六章第六章 一階常微分方程一階常微分方程一、可分離變量方程一、可分離變量方程兩邊積分兩邊積分dxxfdyyg)()( 得通解得通解CxFyG )()(二、可化為可分離變量方程二、可化為可分離變量方程齊次方程齊次方

5、程),(xydxdy uxyxyu 即即令令,)(dxduxuuxuxdxdy 則則代入原微分方程得代入原微分方程得期末復習總結期末復習總結 uudxduxudxduxu)()( dxxduuu1)(1 可分離變量方程可分離變量方程三、一階非齊次線性微分方程三、一階非齊次線性微分方程)0)()()( xQxQyxpdxdy通解公式：通解公式： dxxPdxxPeCdxexQy)()()(期末復習總結期末復習總結第八章第八章 多元函數微分學多元函數微分學一、空間解析幾何簡介一、空間解析幾何簡介理解空間直角坐標系，認識并會畫簡單的空間理解空間直角坐標系，認識并會畫簡單的空間曲面（平面、柱面、球面、

6、橢球面、橢圓拋物曲面（平面、柱面、球面、橢球面、橢圓拋物面、錐面）面、錐面）二、多元函數的定義、極限及連續性二、多元函數的定義、極限及連續性三、多元函數偏導數的概念與計算（本質：一元函三、多元函數偏導數的概念與計算（本質：一元函數的導數）數的導數）四、全微分的概念與計算四、全微分的概念與計算dyyzdxxzdz 期末復習總結期末復習總結五、多元復合函數求導法（畫出各變量間的函數關系五、多元復合函數求導法（畫出各變量間的函數關系結構圖，看圖寫公式）結構圖，看圖寫公式）六、二元隱函數求導法六、二元隱函數求導法則則確確定定的的隱隱函函數數是是由由方方程程設設,),(),(zyxFyxzz zyzxF

7、FyzFFxz ,zuvyx),(),(),(yxvyxuvufz 如如xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 期末復習總結期末復習總結七、二元函數極值的概念及其求法七、二元函數極值的概念及其求法1 1、解方程組、解方程組 0),(0),(yxfyxfyx2 2、).,(),(00yxyxf的的所所有有駐駐點點得得),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx 設設值值大大為為極極小小且且)(),(),0( 0, 0) 1 (002yxfAABAC ?？赡苁且部赡懿皇菢O值可能是也可能不是極值),(, 0)3(002yxfBAC 不不是是極極值值),(, 0)2(002y

8、xfBAC 期末復習總結期末復習總結八、二元函數的最值八、二元函數的最值九、條件極值九、條件極值拉格朗日乘數法拉格朗日乘數法1 1、有界閉區域、有界閉區域 上二元連續函數上二元連續函數 的最值：的最值：),( yxfD的的邊邊界界值值及及在在內內部部所所有有駐駐點點處處的的函函數數在在求求出出DDyxf),(較較大大小小。上上的的最最大大、最最小小值值，比比2 2、實際問題求最值，、實際問題求最值， 內部唯一駐點必為最值點情形。內部唯一駐點必為最值點情形。D1 1、構造拉格朗日函數、構造拉格朗日函數)(),(),(),(為為參參數數 yxyxfyxL :)(0),(),(值值最最下下的的極極在

9、在約約束束條條件件求求目目標標函函數數 yxyxfz 期末復習總結期末復習總結2 2、求駐點，即解方程組、求駐點，即解方程組 0),(0),(),(0),(),(yxLyxyxfLyxyxfLyyyxxx 該點是否為真的條件極值點，往往據問題性質可判斷。該點是否為真的條件極值點，往往據問題性質可判斷。滿足該方程組的點滿足該方程組的點),(yx就是可能的條件極值點。至于就是可能的條件極值點。至于期末復習總結期末復習總結第九章第九章 二重積分二重積分一、二重積分的概念和性質一、二重積分的概念和性質1 1、定義：、定義：2 2、性質、性質3 3、幾何意義：曲頂柱體的體積、幾何意義：曲頂柱體的體積二、

10、二重積分的計算二、二重積分的計算iiniiDfdyxf ),(lim),(10 1 1、直角坐標系下二重積分的計算、直角坐標系下二重積分的計算期末復習總結期末復習總結,:) 1 (bxaD 若若).()(21xyx X X型型域域.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,:) 2(dycD 若若).()(21yxy Y Y型型域域期末復習總結期末復習總結.)sin,cos()()(21 rrrdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(,: D).()(21 rrr 2 2、極坐標系下二重積分的計算、極坐

11、標系下二重積分的計算(1)(1)極點極點 是區域是區域 的外點的外點ODb.b.被積函數在極坐標下較簡單，如被積函數在極坐標下較簡單，如題型特點：題型特點：a.a.積分區域積分區域 的邊界為圓或部分圓弧；的邊界為圓或部分圓弧；D).(22yxf 期末復習總結期末復習總結.)sin,cos()(0 rrdrrrfd,: D).(0 rr Drdrdrrf )sin,cos( Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rrdrrrfd,20: D).(0 rr (2)(2)極點極點 是區域是區域 的邊界點的邊界點OD(3)(3)極點極點 是區域是區域 的內點的內點OD期末

12、復習總結期末復習總結第十一章第十一章 無窮級數無窮級數一、常數項級數的概念與性質一、常數項級數的概念與性質1 1、概念、概念(1)(1)定義定義 nnnuuuuu3211 niinnuuuus121級數的部分和級數的部分和(2) 級數的收斂與發散級數的收斂與發散.,lim11 nnnnnnususs且且級級數數的的和和收收斂斂則則稱稱若若.,lim1發發散散則則稱稱不不存存在在若若 nnnnus期末復習總結期末復習總結2 2、性質、性質(1)(1)具具有有相相同同斂斂散散性性。與與)0(11 kkuunnnn(2) ，則則、分分別別收收斂斂于于與與若若BAvunnnn 11收收斂斂。BAvuv

13、unnnnnnn 111)(發發散散，收收斂斂，若若 11nnnnvu發發散散。則則)(1nnnvu (3) 在級數中去掉、增加或改變前面有限項，不在級數中去掉、增加或改變前面有限項，不改變級數的斂散性。改變級數的斂散性。 期末復習總結期末復習總結(4)(4). 0lim1 nnnnuu 收收斂斂01 nnnuu ，二、正項級數二、正項級數.0lim1發發散散 nnnnuu.0lim1收收斂斂 nnnnuu定義定義1、比較判別法、比較判別法（1） 1111nnnnnnnnnnvuuvvu發發散散發發散散收收斂斂收收斂斂注：注：期末復習總結期末復習總結(2)(2) 11,0(limnnnnnnn

14、vullvu與與則則為為確確定定常常數數） 11011,1111,npnnnPPnPnqqaq時時發發散散時時收收斂斂，級級數數發發散散調調和和級級數數時時發發散散時時收收斂斂，等等比比級級數數比比較較級級數數 具有相同斂散性具有相同斂散性期末復習總結期末復習總結2、比值判別法、比值判別法 11111, 1, 10limnnnnnnnnnuuuuu斂斂散散性性需需另另外外判判別別，發發散散收收斂斂 一般項一般項 中含階乘或指數表達式中含階乘或指數表達式 情形的適用。情形的適用。nuna期末復習總結期末復習總結3、根值判別法、根值判別法 1111, 1, 10limnnnnnnnnnuuuu斂斂

15、散散性性需需另另外外判判別別，發發散散收收斂斂 一般項一般項 中含有某個表達式中含有某個表達式 次冪情形的適用。次冪情形的適用。nun期末復習總結期末復習總結萊布尼茲判別法萊布尼茲判別法 如果交錯級數滿足條件如果交錯級數滿足條件0lim)2(), 2 , 1()1(1 nnnnunuu則級數收斂。則級數收斂。三、任意項級數三、任意項級數1、交錯級數、交錯級數定義定義 nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其中其中期末復習總結期末復習總結2、絕對收斂與條件收斂、絕對收斂與條件收斂定定義義: :若若 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 0nnu為為絕絕對對收收斂斂; ;若若 1nnu發

16、發散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .)1(11收收斂斂必必收收斂斂，則則若若 nnnnuu（2）別別法法或或根根植植判判別別法法若若用用正正項項級級數數的的比比值值判判)3(.11也也發發散散發發散散，則則可可得得判判斷斷出出 nnnnuu期末復習總結期末復習總結四、冪級數四、冪級數1 1、函數項級數、函數項級數概念概念(1)(1) 定義定義(2)(2) 收斂點與收斂域收斂點與收斂域Ixxuxuxuxunnn ,)()()()(211部分和部分和 nkknnxuxuxuxuxs121)()()()()(,)(,100收收斂斂常常數數項項級級數數

17、如如果果對對于于 nnxuIx期末復習總結期末復習總結存存在在，對對收收斂斂域域中中的的點點)(limxsxnn 則則稱稱0 x為為級級數數)(1xunn 的的收收斂斂點點, ,否則稱為否則稱為發散點發散點. .所所有有發發散散點點的的全全體體稱稱為為發發散散域域. .函函數數項項級級數數)(1xunn 的的所所有有收收斂斂點點的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, ,(3)(3) 和函數和函數記記作作)()(limxsxsnn ，且且有有為為函函數數項項級級數數的的和和函函數數稱稱)(xs).()(1xuxsnn 期末復習總結期末復習總結2、冪級數及收斂域、冪級數及收斂域(1)(1) 定義定義(

18、2)(2) 收斂收斂半徑半徑與收斂域與收斂域,00 nnnnaxa的的所所有有系系數數如如果果冪冪級級數數,0nnnxa 標準形式標準形式. .其其中中na為為冪冪級級數數系系數數.,)(00nnnxxa 一般形式一般形式. .則則收收斂斂半半徑徑設設,lim1 nnnaa期末復習總結期末復習總結 0, 0),(0,),(:0,1xRRR收收斂斂域域：收收斂斂域域：與與收收斂斂端端點點并并集集收收斂斂區區間間收收斂斂域域 00nnnnxaa斷斷，則則可可用用比比值值判判別別法法判判若若存存在在進進而而求求出出其其的的斂斂散散性性，的的斂斂散散性性，得得到到 0nnnxa收收斂斂半半徑徑與與收收斂斂域域。期末復習總結期末復習總結( (3 3) ) 冪級數和函數的性質冪級數和函數的性質.)(0在在收收斂斂域域上上連連續續的的和和函函數數冪冪級級數數xsxannn 1 1) ) 冪冪級級數數 0nnnxa的的和和函函數數)(xs在在收收斂斂區區間間),(RR 內內可可積積,且且對對),(RRx 可可逐逐項項積積分分. 3 3) ) 冪級數冪級數 0nnnxa的和函數的和函數)(xs在收斂區間在收斂區間),(RR 內可導內可導, 并可逐項求導任意次并可逐項求導任意次. 2 2) ) 期末復習總結期末復習總結五、五、 函數展開成冪級數函數