1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 *三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法 第二節一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分 二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分 二重積分的計算法 第十章 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Oy)(1yx)(2yxxdc且在D上連續時, 0),(yxf當被積函數bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲頂柱體體積的計算可知, 若D為 X - 型區域 則O)(1xy)(2xyxbyDax若D為Y - 型區域dycyxyD)()(:21yxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxf

2、dd),(則一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分目錄 上頁 下頁 返回 結束 當被積函數),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負均非負DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上變號變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd),(2目錄 上頁 下頁 返回 結束 xyOxyDO說明說明: (1) 若積分區域既是 X - 型區域又是Y - 型區域 , Dyxyxfdd),(為計算方便,可選擇積分序選擇積分序, 必要時還可以交換積分序交換積分序.)(2xyba)(1yx)(2yxd

3、c則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復雜,可將它分成若干2D1D3DX - 型域或Y - 型域 , 321DDDD則 目錄 上頁 下頁 返回 結束 121221d y例例1. 計算,dDyxI其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區域. 解法解法1. 將D看作X - 型區域, 則:DI21dxyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將D看作Y - 型區域, 則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy x

4、yxyO目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 計算,dDyx其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區域. 解解: 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線則 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 計算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區域.OxyDxxy 解解: 由被積函數可知,因此取D 為X - 型域 :00:xxyDDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20d

5、sinxxxx先對 x 積分不行, 說明說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.目錄 上頁 下頁 返回 結束 2例例4. 交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD將:D視為Y - 型區域 , 則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy1D221xy 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 計算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.Oyx124xyxy3

6、2D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分Oxkkkrrkkkkkkrrsin,cos對應有在極坐標系下, 用同心圓 r =常數則除包含邊界點的小區域外,小區域的面積kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221內取點kkkrr221)(及射線 =常數, 分劃區域D 為kkrkrkrkO目錄 上頁 下頁

7、 返回 結束 kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrdO目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(rDOxD)(1r)(2rOx)()(21d)sin,cos(rrrrf設,)()(:21rD則Drrrrfdd)sin,cos(d特別特別, 對20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(1r)(2rOxD目錄 上頁 下頁 返回 結束 此時若 f 1 則可求得D 的面積d)(21202Dd思考思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切

8、于原點,試答答: ;0) 1 (問 的變化范圍是什么?(1)(2)22)2()(rDyxO)(rDyxO)(rDOx目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 計算,dde22Dyxyx其中.:222ayxD解解: 在極坐標系下,200:arD原式Drrarde02ar02e212)e1(2a2ex的原函數不是初等函數 , 故本題無法用直角2erddrr20d由于故坐標計算.目錄 上頁 下頁 返回 結束 注注:利用上題可得一個在概率論與數理統計及工程上非常有用的反常積分公式2de02xx事實上, 222Rddeyxyxyxyxdede2220de42xxxayxxadelim2222故式成立 .)

9、e1 (lim2aa222Rddeyxyx又目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 求球體22224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內的)立體的體積. 解解: 設由對稱性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323axya2DOcos2rxyza2O目錄 上頁 下頁 返回 結束 *三、二重積分換元法三、二重積分換元法 baxxfd)() )(txtttfd)()(定積分換元法),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(滿足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一階偏導

10、數連續;雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3) 變換DDT:則Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(定理定理:,),(上連續在閉域設Dyxf變換:是一一對應的 ,vuvuJdd),(OvuDTyxDO目錄 上頁 下頁 返回 結束 yxDOuOvD證證: 根據定理條件可知變換 T 可逆. 用平行于坐標軸的 ,坐標面上在vOu 直線分割區域 ,D任取其中一個小矩T形, 其頂點為),(, ),(21vhuMvuMuhu 1M4M3M2Mvkv 通過變換T, 在 xOy 面上得到一個四邊形, 其對應頂點為)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2

11、M,22kh 令則12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux目錄 上頁 下頁 返回 結束 14xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(ohvuuy同理得14yy )(),(okvuvy當h, k 充分小時,曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形, 故其面積近似為4121MMMM14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(目錄 上頁 下頁 返回 結束 vuvuJdd),(d因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式: Dyxyxfdd),(Dvuy

12、vuxf),(),(vuvuJdd),(例如例如, 直角坐標轉化為極坐標時, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例8. 計算其中D 是 x 軸 y 軸和直線2 yx所圍成的閉域. 解解: 令,xyvxyu則2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxDxyxyddevuvuDdde2120d21vvvd)ee(211201ee2121212121vvvuudexyxye,ddyx)(DD D2 yxDxyOD2vvu vuuvO目錄 上頁 下頁 返回 結束 uvOybx

13、 2yax 2DOyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例9. 計算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所圍成的閉區域 D 的面積 S .解解: 令Dpqab則bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd)(31abpq目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例10. 試計算橢球體1222222czbyax解解: yxzVDdd2yxcDbyaxdd122222由對稱性, 1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax則D 的原象為20,1:rD),(),(ryxJcossinsincosrbbraa

14、DcV2rrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的體積V.目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結(1) 二重積分化為二次積分的方法直角坐標系情形直角坐標系情形 : 若積分區域為)()(,),(21xyyxybxayxD則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區域為)()(,),(21yxxyxdycyxD則)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O目錄 上頁 下頁 返回 結束 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(

15、d),(則)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般換元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且則DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J極坐標系情形極坐標系情形: 若積分區域為ddrr在變換下D)(1r)(2rOx目錄 上頁 下頁 返回 結束 (3) 計算步驟及注意事項計算步驟及注意事項 畫出積分域 選擇坐標系 確定積分序 寫出積分限 計算要簡便域邊界應盡量多為坐標線被積函數關于坐標變量易分離積分域分塊要少累次積分好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對稱性應用換元公式目錄 上頁 下頁 返回 結束

16、 yx1xy 1O思考與練習思考與練習1. 設, 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交換積分順序后, x , y互換 yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A目錄 上頁 下頁 返回 結束 cosar xaO2. 交換積分順序ararccos)0(d),(dcos022arrfIa提示提示: 積分域如圖rrar0dararccosararccosId),(rf目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業作業P152 1 (2), (4); 2 (3), (4); 5; 6 (2), (4); 11(2), (4); 13 (3), (4); 14 (2), (3); 15 (1), (4); *19(1); *20 (2) 第三節 目錄 上頁 下頁 返回 結束 axy2解：解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax備用題備用題1. 給定改變積分的次序.)