1、第二篇第二篇 數學物理方程數學物理方程1Mathematical Equations for Physics想要探索自然界的奧秘就得解微分方程想要探索自然界的奧秘就得解微分方程 牛頓牛頓第七章第七章 數學物理方程定解問題數學物理方程定解問題7.2 7.2 定解條件定解條件7.3 7.3 數學物理方程的分類數學物理方程的分類7.1 7.1 三類數學物理方程的導出三類數學物理方程的導出7.4 7.4 達朗貝爾公式、定解問題達朗貝爾公式、定解問題數學物理思想 數學物理方程數學物理方程: :（簡稱（簡稱數理方程數理方程）是指從物理）是指從物理學及其它各門自然科學、技術科學中所導出的函學及其它各門自然科

2、學、技術科學中所導出的函數方程，主要指偏微分方程和積分方程數方程，主要指偏微分方程和積分方程 數學物理方程所研究的內容和所涉及的領域數學物理方程所研究的內容和所涉及的領域十分廣泛，它深刻地描繪了十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中自然界中的許多的許多物理物理現象現象和和普遍規律普遍規律. .多數為二多數為二階線性偏階線性偏微分方程微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波動方程波動方程熱傳導問題和擴散問題滿足熱傳導問題和擴散問題滿足熱傳導方程熱傳導方程靜電場和引力勢滿足靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方程或拉普拉斯方程或泊松方程泊松方程數學物理方程: :物理規律的數學

3、表示物理規律的數學表示 物理規律物理規律 物理量物理量u 在空間和時間中的變在空間和時間中的變化規律，即物理量化規律，即物理量u在各個地點和各個時刻所取的值在各個地點和各個時刻所取的值之間的聯系。之間的聯系。數學語言翻譯數理方程反映的是同一類物理現象的共性，和具體條數理方程反映的是同一類物理現象的共性，和具體條件無關。件無關。-泛定方程泛定方程三類典型的數學物理方程三類典型的數學物理方程雙曲型方程雙曲型方程波動方程為代表波動方程為代表拋物型方程拋物型方程擴散方程為代表擴散方程為代表橢圓型方程橢圓型方程泊松方程為代表泊松方程為代表退化為拉普拉斯方程退化為拉普拉斯方程2( , )ttxxua uf

4、 x t2 uauFt2 auF0F0 u定解條件：邊界條件、初始條件體現邊界狀態的數學方程稱為邊界條件體現邊界狀態的數學方程稱為邊界條件邊界問題-邊界條件歷史問題-初始條件體現歷史狀態的數學方程稱為初始條件體現歷史狀態的數學方程稱為初始條件例：一個物體做豎直上拋，一個物體斜拋。不同的初始條件例：一個物體做豎直上拋，一個物體斜拋。不同的初始條件 不同的運動狀態，但都服從牛頓第二定律。不同的運動狀態，但都服從牛頓第二定律。定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了問題的定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了問題的 特殊性，即個性。特殊性，即個性。7定解問題的完整提法定解問題的完整提法：

5、在給定的邊界條件和初始條件下，根據已知的物理規律，在在給定的邊界條件和初始條件下，根據已知的物理規律，在給定的區域里解出某個物理量給定的區域里解出某個物理量u，即求即求u(x,y,z,t)。-數學物理定解問題，簡稱定解問題數學物理定解問題，簡稱定解問題具體的問題的求解的一般過程：具體的問題的求解的一般過程：1 1、根據系統的內在規律列出泛定方程、根據系統的內在規律列出泛定方程客觀規律客觀規律2 2、根據已知系統的邊界狀況和初始狀況列出邊界條件和、根據已知系統的邊界狀況和初始狀況列出邊界條件和 初始條件初始條件求解所必須用的求解所必須用的3 3、求解方法、求解方法 行波法、分離變量法、等行波法、

6、分離變量法、等分離變量法分離變量法三類數學物理方程的一種最常用解法三類數學物理方程的一種最常用解法梯度梯度矢量矢量zkyjxi令令數學補充數學補充)()(zkyjxizkyjxi222222zyx222222zyx有時記有時記22222yx2222223zyx記記22tuutt22xuuxxtuut222222zyx7.1 7.1 數學物理方程的導出數學物理方程的導出步驟：步驟：1 1、明確要研究的物理量是什么？、明確要研究的物理量是什么？ 從所研究的系統中劃出任一微元，分析鄰近部從所研究的系統中劃出任一微元，分析鄰近部分與它的相互作用。分與它的相互作用。2 2、研究物理量遵循哪些物理規律？、

7、研究物理量遵循哪些物理規律？3 3、按物理定律寫出數理方程（泛定方程）。、按物理定律寫出數理方程（泛定方程）。（一）均勻弦微小橫振動方程（一）均勻弦微小橫振動方程弦的橫振動弦的橫振動 設：均勻柔軟的細弦沿設：均勻柔軟的細弦沿x軸繃緊，在平衡位置附軸繃緊，在平衡位置附近產生振幅極小的橫振動近產生振幅極小的橫振動 u(x,t): 坐標為坐標為x 的點在的點在t時刻沿時刻沿垂線方向垂線方向的位移的位移 求：細弦上各點的振動規律求：細弦上各點的振動規律12波動方程的導出 選取不包括端點的一微元選取不包括端點的一微元(x, x+dx), 弦長弦長dx 研究對象研究對象: (4) (4)設單位長度上弦受力

8、設單位長度上弦受力 ，力密度為：，力密度為：( , )F x t簡化假設：簡化假設： (1) (1)弦是柔軟的弦是柔軟的 ( (不抵抗彎曲不抵抗彎曲),),張力沿弦的切線方向張力沿弦的切線方向 (2) (2)振幅極小振幅極小, , 張力與水平方向的夾角張力與水平方向的夾角 1 1和和 2 2 很小，很小，僅考慮僅考慮 1 1和和 2 2的一階小量，略去二階小量的一階小量，略去二階小量 (3) (3)弦的重量與張力相比很小，可以忽略。弦的重量與張力相比很小，可以忽略。( , )( , )/f x tF x t 質量線密度質量線密度 ，u(x)u+ uu0 1xx+dxF2T21T弦的原長：弦的原

9、長：sx 振動拉伸后：振動拉伸后：sxuxx22()()d u(x)u+ uu0 1 2T2T1xx+dxBF弦長弦長dx ，質量線密度質量線密度 ，B段段的質量為的質量為m= dx沿沿x- -方向，不出現平移方向，不出現平移2211coscos0TT沿垂直于沿垂直于x x- -軸方向軸方向2211sinsin( , )()ttTTF x t dxdx u 1 21 20, cos1.，11sintanxxxuux 22sintanxxxu受力分析和牛頓運動定律：受力分析和牛頓運動定律：15在微小振動近似下：在微小振動近似下：由由（1）式，弦中各點的張力相等式，弦中各點的張力相等u(x)u+

10、uu0 1 2T2T1xx+ xBF21TT （1 1）（2 2）( , )( , )xx dxxxxxttuuTF x tTuF x tudx 2/aT 波動方程：波動方程：振動在弦上傳播的速度極：波速振動在弦上傳播的速度極：波速a( , )( , )/f x tF x t ( , )()xx dxxxttT uuF x t dxdx u （）受迫振動方程受迫振動方程2( , )ttxxua uf x t單位質量所受單位質量所受外力，力密度外力，力密度令令22ttd ufmmudt 牛頓運動定律：牛頓運動定律：一維波動方程一維波動方程程此方程稱為自由振動方程變為，即沒有外力作用，方）若, 0

11、-0,(2xxttuautxf二、均勻桿的縱振動二、均勻桿的縱振動將細桿分成許多段將細桿分成許多段t時刻，時刻，B段兩端的段兩端的位移為位移為),(),(tdxxutxu),(),(txutdxxutduF)(xuxxdxx )(dxxuABCt時刻，時刻，B段伸長段伸長相對伸長相對伸長dxtxutdxxu),(),(xu事實上，相對伸長事實上，相對伸長是位置的函數，如是位置的函數，如xxudxxxu相對伸長相對伸長由虎克定律，由虎克定律，B兩端的兩端的張應力（單位橫截面張應力（單位橫截面的力）分別為的力）分別為xxudxxxuxxuYdxxxuYB段運動方程為段運動方程為22)(tuSdxx

12、uYSxuYSxdxxttxxdxxxudxuuYF)(xuxxdxx )(dxxuABCB段運動段運動方程為方程為ttxxdxxxudxuuYttxuxuYttxxuYuYa 202xxttuau記記22)(tuSdxxuYSxuYSxdxx擴散方程擴散方程 擴散現象：擴散現象：系統的濃度系統的濃度 u(x,y,z,t) 不均勻時，不均勻時，將出現物質從高濃度處到低濃度處的轉移，叫將出現物質從高濃度處到低濃度處的轉移，叫擴散擴散。擴散的起源：濃度不均勻擴散的起源：濃度不均勻 ，不均勻程度用濃度梯來表示，不均勻程度用濃度梯來表示：u擴散運動的強弱用擴散流強度來表示：擴散運動的強弱用擴散流強度來

13、表示：q擴散流強度擴散流強度 ，即單位，即單位 時間內流過單位面積的分子數時間內流過單位面積的分子數或質量，與或質量，與濃度濃度 u(單位體積內的粒子數）單位體積內的粒子數） 的下降成正的下降成正比比quDq D 為擴散系數為擴散系數 負號表擴散方向負號表擴散方向與濃度梯度相反與濃度梯度相反)(kzujyuixuDqxuDqxyuDqyzuDqzdydzdtqx x方向左表面，方向左表面，dt 時間流時間流入六面體的流量為入六面體的流量為流出六面體的流量為流出六面體的流量為dydzdtqdxxx),(zyxxyzdxdydzdydzdtqdydzqdxxxxxdydzdtqqxxdxxx)(d

14、xdydzdtxqx凈流入量：dxdydzdtxuDx)(dxdydzdtyuDy)(dxdydzdtzuDz)(y 方向凈流入量為方向凈流入量為z 方向凈流入量為方向凈流入量為),(zyxxyzdxdydz立方體凈流入量為立方體凈流入量為dxdydzdtzuDzdxdydzdtyuDydxdydzdtxuDx)()()(如立方體內無源和匯如立方體內無源和匯dt時間內粒子增加數為時間內粒子增加數為dxdydzuutdtt)(dxdydzduzyx,dxdydzdttudxdydztudxdydzzuDzdxdydzyuDydxdydzxuDx)()()(0)()()(dxdydzzuDzyuD

15、yxuDxtuD=恒量，恒量， 令令 a2=D0)(2zzyyxxtuuuau02uaut02xxtuau 一維擴散方程一維擴散方程三維擴散方程2 tuauF x y z t( , , , )26如果研究空間存在源，源強度與如果研究空間存在源，源強度與u(x,y,z,t)無關，且為無關，且為F(x,y,z)，即單位時間內單位體積中產生的粒子數為即單位時間內單位體積中產生的粒子數為F(x,y,z),這時擴散方程修改為這時擴散方程修改為如果研究空間存在源，源強度與如果研究空間存在源，源強度與u(x,y,z,t)成正比，即成正比，即F(x,y,z)= =bu( (x,y,z) )這時擴散方程修改為這

16、時擴散方程修改為22 tuaub u x y z t( , , , )熱傳導方程熱傳導方程由于溫度的不均勻，熱量總是從溫度高的地方向溫度低的地方傳遞。-熱傳導研究對象：溫度在空間的分布和在時間中的變化u(x,y,z,t)溫度的不均勻程度：溫度梯度表示u熱傳導的強弱：熱流強度來表示。q為熱傳導系數由熱傳導定律kukq,- 位面積的熱量表示單位時間內通過單q3、熱傳導方程、熱傳導方程),(),()(txuttxuxAcQ0t設有一根恒截面為設有一根恒截面為A的均勻細桿，沿桿長有溫度差，的均勻細桿，沿桿長有溫度差，其側面絕熱其側面絕熱u(x,t) 為為 x 處處 t 時刻溫度，時刻溫度， 為桿密度為

17、桿密度xxx+ x （1）、）、dt 時間時間內引起小段內引起小段 x溫度升高所需熱溫度升高所需熱量為量為txAucQtxxx+ xnnxukqxAdtqxx x方向左表面，方向左表面，dt 時間時間流入流入圓圓柱體的熱量為柱體的熱量為dt 時間時間流出流出圓柱體的熱量為圓柱體的熱量為Adtqdxxxxxx+ xAdtqAdtqdxxxxxdt 時間凈流時間凈流入的熱量為入的熱量為AdxdtxqxdxdtAucQtAdxdtkudxdtAucxxtAdxdtkuxxxukqx02xxtuaucka2泊松方程或拉普拉斯方程（穩定場方程）靜電場的電勢方程靜電場的電勢方程 直角坐標系中泊松方程泊松方

18、程為 0若空間若空間無電荷，即電荷密度無電荷，即電荷密度，上式成為，上式成為 稱這個方程為拉普拉斯方程拉普拉斯方程. 電勢電勢V (x,y,z)確定所要研究的物理量：確定所要研究的物理量：根據由物理規律電場、電勢和電荷密度間有如下規律：根據由物理規律電場、電勢和電荷密度間有如下規律：VE/ E()EV 2/V 20V建立泛定方程：建立泛定方程：V 2V 泊松方程泊松方程 7.2 7.2 定解條件定解條件常微分方程定解問題回顧常微分方程定解問題回顧 常微分方程求解就是積分。常微分方程求解就是積分。積分過程會出現積分常積分過程會出現積分常數。數。常微分方程定解問題就是確定積分常數常微分方程定解問題

19、就是確定積分常數。 利用在自變量取一個特定值時的值，如初值利用在自變量取一個特定值時的值，如初值u(t=0)確定積分常數。確定積分常數。積分一次，出現一個積分常數；求解二積分一次，出現一個積分常數；求解二階常微分方程出現兩個積分常數。階常微分方程出現兩個積分常數。數學物理方程的定解問題數學物理方程的定解問題),(tzyxu要求給定：要求給定：初始條件和邊界條件初始條件和邊界條件32初始時刻的溫度分布：初始時刻的溫度分布：B B、熱傳導方程的初始條件、熱傳導方程的初始條件0(, )|()tu M tMC C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件不含初始條件，只含邊界

20、條件不含初始條件，只含邊界條件A A、 波動方程的初始條件波動方程的初始條件00|( )( )ttuxuxt描述系統的初始狀態描述系統的初始狀態系統各點的初位移系統各點的初位移系統各點的初速度系統各點的初速度（一）（一） 初始條件初始條件和和 是空間坐標的函數是空間坐標的函數( , , )x y z ( , , )x y z 例：例：02 0222 , ( , )() , thlxxlu x thllxxll注意注意：初始條件給出系統在初始狀態下物理量的分布，：初始條件給出系統在初始狀態下物理量的分布，而不是一點處的情況。而不是一點處的情況。一一根長為根長為l的弦，兩端固定于的弦，兩端固定于0

21、和和l。在中點位置將弦沿著橫向拉在中點位置將弦沿著橫向拉開距離開距離h ，如圖所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。如圖所示，然后放手任其振動，試寫出初始條件。 l x l/2h解：解：初始時刻就是放手的那一瞬間，按題意初始時刻就是放手的那一瞬間，按題意初始速度為零，即有初始速度為零，即有00( , )ttu x t初始位移初始位移（二）邊界條件（二）邊界條件 定義：系統的物理量始終在邊界上具有的情況。定義：系統的物理量始終在邊界上具有的情況。 A.A.第一類邊界條件第一類邊界條件直接給出系統邊界上物理量的函數形式。直接給出系統邊界上物理量的函數形式。如：兩端固定的弦振動如：兩端固定的弦振動

22、00( , )xu x t0( , )x lu x t和和常見的線性邊界條件分為三類：常見的線性邊界條件分為三類：( , , , )(, )u x y z tf M t細桿熱傳導細桿熱傳導0 xlx 0( , )x lu x tu或隨時間變化的溫度或隨時間變化的溫度( , )( )x lu x tf t恒溫恒溫B.B.第二類邊界條件第二類邊界條件第一類邊界條件的基本形式：第一類邊界條件的基本形式：000000,( , , , )(, )xyzu x y z tf xyzt邊界細桿的縱振動：細桿的縱振動：當端點當端點“自由自由”，即無應力。根據胡，即無應力。根據胡克定律，桿的克定律，桿的相對伸長

23、也為零相對伸長也為零：0( , )xx lux t細桿熱傳導：細桿熱傳導：端點絕熱，端點絕熱，熱流強度為零熱流強度為零，由熱傳導定律：，由熱傳導定律：0( , )xx lux t向導數值邊界法外法線方向的方規定了所研究物理量在( , , , )(, )u x y z tf M tnC.C.第三類邊界條件第三類邊界條件細桿熱傳導：細桿熱傳導：端點端點“自由自由”冷卻冷卻 ( (熱流正比于溫差熱流正比于溫差) )。牛頓冷卻定律：牛頓冷卻定律：()qh uTT 為環境溫度為環境溫度。nquT根據熱傳導定律，在根據熱傳導定律，在 x=l 處處：()nx lx lkuh uT0 xlx 負負x方向方向n

24、n正正x方向方向00()xxxkuh uT()xx luHuT0()xxuHuT在在x=0 處處 nnqkunxqku000000,()(, )邊界xyzuuHf xyztn界的值向導數的線性組合在邊規定了物理量及其外法細桿縱振動：細桿縱振動：端點與固定點彈性連接。應力為彈性力端點與固定點彈性連接。應力為彈性力胡克定律：胡克定律：xfYSu彈性力：彈性力：fku 則在端點則在端點xkuYSu0()xx lYSuuk一般表達式：一般表達式：000000,()(, )邊界xyzuuHf xyztn這些是最常見的線性邊界條件，還有其它形式。這些是最常見的線性邊界條件，還有其它形式。（三）銜接條件（三

25、）銜接條件xlx k 系統中可能出現物理性質急劇變化的點系統中可能出現物理性質急劇變化的點( (躍變點躍變點) )。如兩節。如兩節具有不同的楊氏模量的細桿在具有不同的楊氏模量的細桿在 x=0 處連接，這一點就是躍變點。處連接，這一點就是躍變點。躍變點兩邊的物理過程因此不同。但在躍變點，躍變點兩邊的物理過程因此不同。但在躍變點，某些物理量仍某些物理量仍然可以是連續的然可以是連續的，這就構成，這就構成銜接條件銜接條件。38例例ux0 x橫向力橫向力 作用于作用于 點。點。( )F t)(tF0 x弦在弦在 的左右斜率不同，但位移的極限值相同。的左右斜率不同，但位移的極限值相同。)0()0(00 x

26、uxu120( )sinsinF tTT這兩個等式就是銜接條件。這兩個等式就是銜接條件。0 x又，橫向力應與張力平衡：又，橫向力應與張力平衡：即即11022000sintan(, )sintan(, )xxuxtuxt 0000(, )(, )( )xxTuxtTuxtF t 1 2397.3 7.3 數學物理方程的分類數學物理方程的分類（一）線性二階偏微分方程（一）線性二階偏微分方程把所有自變量依次記作把所有自變量依次記作x1, x2, xn，線性二階偏微分方程可表為線性二階偏微分方程可表為1110ijinnnijx xixjiia ub ucuf其中其中 aij, bi, c, f 只是只

27、是 x1, x2, xn 的函數的函數（二）兩個自變數的方程分類（二）兩個自變數的方程分類1112221220 xxxyyyxya ua ua ub ub ucuf否則叫非齊次的，則方程稱為齊次的，如0f試做自變數代換)3 . 3 . 7(),(,yxyx）（)4 . 3 . 7(;,yyyxxxuuuuuu作如下計算：),(),(yyxx) 5 . 3 . 7(2)()()()2)()(22222222yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyxyxyyxyxyxyxxyyxyxxyyxyxxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu

28、uuuuuu0221221211FCuuBuBuAuAuA可得：其中系數代人方程把xyyyxxyxuuuuu,1112221220 xxxyyyxya ua ua ub ub ucuf)7 . 3 . 7(222)(22122121122122121112221221122221211122221221111fFcCbbaaaBbbaaaBaaaAaaaAaaaAyxyyxyxxyxyyxyxxyyxxyyxyyxxxyyxx方程仍然是線性的0221221211FCuuBuBuAuAuA0.A0A, 020222112221221122212211從而，作為新自變數的兩個特解yyxxyyxxa

29、aaaaa如果取一階偏微分方程)8 . 3 . 7(0222212211yyxxzazzaza方程0221221211FCuuBuBuAuAuA得到了化簡)8 . 3 . 7(0222212211yyxxzazzaza求解方程)9 . 3 . 7(022212211azzazzayxyx,/)(0.3.17),(yxzzdxdyxyyxz的方程，則當做定義隱函數）（常數如果把022212211adxdyadxdya022212211adxdyadxdya為1112221220 xxxyyyxya ua ua ub ub ucuf的特征方程叫做特征線常數”）（常數”和“）（特征方程的一般積分“y

30、xyx,）可分為兩個方程特征方程（1.3.17)13. 3 . 7()12. 3 . 7(1122112121211221121212aaaaadxdyaaaaadxdy的類型：的符號判斷偏微分方程根據1211212aaa橢圓型拋物型雙曲型, 0, 0, 0221121222112122211212aaaaaaaaa）雙曲型方程（1雙曲型方程的標準形式212112FCuuBuBAu）拋物型方程（2拋物型方程的標準形式212122FCuuBuBAu）橢圓型方程（3橢圓型方程的標準形式212112FCuuBuBAu常微分方程的求解一般是先得到方程的通解，常微分方程的求解一般是先得到方程的通解，再利

31、用初始條件確定通解中的任意常數而得再利用初始條件確定通解中的任意常數而得到特解。這個方法同樣也適用于偏微分方程到特解。這個方法同樣也適用于偏微分方程的求解。的求解。我們可以通過先求出偏微分方程的通解，再我們可以通過先求出偏微分方程的通解，再利用定解條件確定特解中的任意常數或函數。利用定解條件確定特解中的任意常數或函數。但是，偏微分方程的通解和利用定解條件確但是，偏微分方程的通解和利用定解條件確定特解都是比較困難的。而且這種方法主要定特解都是比較困難的。而且這種方法主要適用于求解無界區域的齊次波動方程問題。適用于求解無界區域的齊次波動方程問題。7.4 7.4 達朗貝爾公式達朗貝爾公式 定解問題定

32、解問題齊次波動方程反映了介質經過擾動后，激齊次波動方程反映了介質經過擾動后，激發的波一直向前傳播，形成行波，故使用發的波一直向前傳播，形成行波，故使用這種原理的方法稱為這種原理的方法稱為行波法行波法。本節將要介紹的本節將要介紹的行波法行波法（Travelling wave Travelling wave methodmethod）是求解波動方程初值問題的一種）是求解波動方程初值問題的一種有效方法，它只能夠求解無界區域波動方有效方法，它只能夠求解無界區域波動方程的定解問題。程的定解問題。 行波法 一維波動方程的達朗貝爾解考慮如下定解問題（無界弦的自由振動問題）：考慮如下定解問題（無界弦的自由振動

33、問題）： )(| )(| - ,)(002xuxuxuautttxxtt一、達朗貝爾公式為已知函數。和其中)()(xx視為無限或無界。略，可以那弦線的長度遠處的邊界條件可以忽內的振動情況，則開邊界很遠的一段范圍又僅僅是在較短的、離長，而需要知道的如果考察的弦線長度很這里“無界”的理解：將將 和和 看作如同數一樣的算子，可以進行加減乘除：看作如同數一樣的算子，可以進行加減乘除：tx0()() (, )aau x ttxtx變換：變換：12()x12()ta顯然，顯然，xat xat 111222()txatxa txatx111222()txatxa txatx 坐標變換坐標變換2240( ,)

34、au 520),(2u0),(2u(1) (1) 通解通解對對 積分：積分：(, )( )u x tf 積分常數依賴于積分常數依賴于 再積分：再積分：212( )( )( )( )ufdfff12( , )()()u x tf xatfxat以以f2為例討論其意義為例討論其意義XxatTt作坐標變換：作坐標變換： 新坐標的時間與舊坐標同，新坐標的原點新坐標的時間與舊坐標同，新坐標的原點 X=0 在舊坐在舊坐標中以速度標中以速度 a 運動；函數的圖像在動坐標系中保持不變運動；函數的圖像在動坐標系中保持不變。f2(x-at) 是以速度是以速度 a 沿沿 x 軸正方向運動的行波軸正方向運動的行波,f

35、1(x+at)是以速度是以速度 a 沿沿 x 軸反方向運動的行波軸反方向運動的行波。22()()fxatfX53222220() (, )au x ttx確定待定函數的形式確定待定函數的形式無限長，即無邊界條件無限長，即無邊界條件初始條件為初始條件為0( )tux 和和0( )ttux ()x 12( )( )( )f xfxx 12( )( )( )afxafxx 01210201( )( )( )()()xxf xfxdf xfxa 011020111222( )( )( )()()xxf xxdf xfxa 1122( , ) ()()( )x atx atu x txatxatda 1

36、2()()uf xatfxat001102021020111222111222()()( )()()()()( )()()x atxx atxf xatxatdf xfxafxatxatdf xfxa (2)(2)達朗貝爾公式達朗貝爾公式 5412( , )()()u x tf xatfxat設初速度為零設初速度為零112012121202211222220,( ),xxxxuxxxxxxxxxuxxxxxxxx 0( )x )(x1x2x122xx0u12( , ) ()()u x txatxat由達朗貝爾公式由達朗貝爾公式 55x1x2t=0t1t2t3t41122( , ) ()()( )x atx atu x txatxatda 設初位移為零設初位移為零01212 0 (,)( )(,)xx xxxx x 0( )x 假使初始速度在區間假使初始速度在區間x1,x2上是常數上是常數 0 0111222( , )( )( )( )x atx atx atx atu x tdddaaa 110011202121002112222( )( )()