1、結晶學全冊配套完整結晶學全冊配套完整教學課件教學課件結晶學結晶學Crystallography課程簡介：課程簡介：結晶學：以晶體為研究對象，主要研究晶體的對稱規結晶學：以晶體為研究對象，主要研究晶體的對稱規律。研究的是晶體的共同規律，不涉及到具體的晶體律。研究的是晶體的共同規律，不涉及到具體的晶體種類。種類。 特點：空間性、抽象性、邏輯性、理性、共性特點：空間性、抽象性、邏輯性、理性、共性與后續礦物學形成明顯的對比：與后續礦物學形成明顯的對比：礦物學：以礦物學：以礦物晶體為研究對象，主要研究各具體礦礦物晶體為研究對象，主要研究各具體礦物晶體的成分、物理性質、成因特點等。物晶體的成分、物理性質、

2、成因特點等。 特點：經驗性、具體性、歸納分類性、特點：經驗性、具體性、歸納分類性、感性感性、個性個性結晶學（晶體學）發展歷史及分支學科簡介：結晶學（晶體學）發展歷史及分支學科簡介： 結晶學始于結晶學始于17世紀中葉人類的礦業活動，與天文學一世紀中葉人類的礦業活動，與天文學一起成為人類認識物質世界發展最早的兩門自然科學。起成為人類認識物質世界發展最早的兩門自然科學。1718世紀：以研究晶體形態為主，也初步推測研究晶世紀：以研究晶體形態為主，也初步推測研究晶體內部結構的幾何規律；體內部結構的幾何規律；19世紀末世紀末20世紀初：世紀初：X射線的發現及其對晶體結構射線的發現及其對晶體結構的測量，進入

3、晶體內部結構研究階段；的測量，進入晶體內部結構研究階段；20世紀世紀70年代以來：透射電鏡研究晶體內部超微結構細年代以來：透射電鏡研究晶體內部超微結構細節；節；20世紀世紀80年代，發現準晶體，開辟了晶體對稱理論新領年代，發現準晶體，開辟了晶體對稱理論新領域。域。分支學科：分支學科：幾何結晶學研究晶體宏觀形態幾何規律，主要是對稱幾何結晶學研究晶體宏觀形態幾何規律，主要是對稱規律。規律。晶體結構學研究晶體內部結構幾何規律及缺陷。晶體結構學研究晶體內部結構幾何規律及缺陷。晶體化學研究晶體成分與結構的關系。晶體化學研究晶體成分與結構的關系。晶體生長學研究晶體生長機理及其影響因素。晶體生長學研究晶體生

4、長機理及其影響因素。晶體物理學研究晶體物理性質及其產生機理。晶體物理學研究晶體物理性質及其產生機理。本課程以晶體形態對稱規律及晶體內部結構對稱本課程以晶體形態對稱規律及晶體內部結構對稱規律為主，簡介晶體化學與晶體生長。規律為主，簡介晶體化學與晶體生長。第一章第一章 晶晶 體體 本章涉及一些重要的基本概念，這些概念在整個結晶學中都經常出現, 一定要牢固掌握。晶體 （遠古年代的定義：遠古年代的定義：自發形成規則形態的物體；自發形成規則形態的物體；(圖片圖片) 現代的定義：內部結構具有周期重復性，即具有現代的定義：內部結構具有周期重復性，即具有 格子構造格子構造 的物體。）的物體。） 格子構造（晶體

5、結構的周期重復規律，這種規律是可以晶體結構的周期重復規律，這種規律是可以 用格子狀的圖形用格子狀的圖形空間格子空間格子表示的。表示的。） 空間格子 （表示晶體結構周期重復規律的簡單幾何圖形。（表示晶體結構周期重復規律的簡單幾何圖形。 要畫出空間格子，就一定要找出要畫出空間格子，就一定要找出相當點相當點。）。） 相當點相當點 （兩個條件：兩個條件：1 1、性質相同，、性質相同，2 2、周圍環境相同。）、周圍環境相同。）導出空間格子的方法：導出空間格子的方法： 首先在晶體結構中找出首先在晶體結構中找出相當點相當點，再將相當，再將相當點按照一定的規律連接起來就形成了空間格點按照一定的規律連接起來就形

6、成了空間格子。子。相當點（兩個條件：兩個條件：1 1、性質相同，、性質相同，2 2、周圍環境相同。）、周圍環境相同。）空間格子與具體的晶體結構是什么關系？空間格子與具體的晶體結構是什么關系？可以認為具體的晶體結構是多套空間格子組成的，見圖。可以認為具體的晶體結構是多套空間格子組成的，見圖。具體的晶體結構是多種原子、離子組成的，使得其重復規具體的晶體結構是多種原子、離子組成的，使得其重復規律不容易看出來，而空間格子就是使其重復規律突出表律不容易看出來，而空間格子就是使其重復規律突出表現出來。空間格子僅僅是一個體現晶體結構中的周期重現出來。空間格子僅僅是一個體現晶體結構中的周期重復規律的幾何圖形，

7、比具體晶體結構要簡單的多。復規律的幾何圖形，比具體晶體結構要簡單的多。空間格子的要素：空間格子的要素： 結點結點: 空間格子中的點空間格子中的點,代表具體晶體結構中的相當點代表具體晶體結構中的相當點. 行列行列: 結點在直線上的排列結點在直線上的排列.（引出（引出: 結點間距結點間距 ）同一行列上的結點間距怎樣同一行列上的結點間距怎樣? 面網面網: 結點在平面上的分布結點在平面上的分布. （引出（引出: 面網間距、面網間距、 面網面網密度）密度）面網的形狀一定是平行四邊形！面網的形狀一定是平行四邊形！面網面網AA間距間距d1面網面網BB間距間距d2面網面網CC間距間距d3面網面網DD間距間距d

8、4面網間距依次減小面網間距依次減小,面網密度面網密度也是依次減小的也是依次減小的.所以所以: 面網密度與面網間距面網密度與面網間距成正比成正比.面網間距與面網間距與 面網密度的關系：面網密度的關系：平行六面體平行六面體: : 結點在三維空間形成的最小重結點在三維空間形成的最小重復單位復單位 (引出引出: a, b, c; ,a, b, c; , ,稱為軸長與稱為軸長與軸角軸角,也稱晶胞參數也稱晶胞參數 ）abc平行六面體對應的實際晶體平行六面體對應的實際晶體中相應的范圍叫晶胞。中相應的范圍叫晶胞。NaCl晶胞晶胞金紅石晶胞金紅石晶胞平行六面體可具有各種不同的形狀，各種形狀的平平行六面體可具有各

9、種不同的形狀，各種形狀的平行六面體的軸長與軸角（晶胞參數）怎么樣？行六面體的軸長與軸角（晶胞參數）怎么樣？我們以后將會看到，平行六面體的形狀一共有我們以后將會看到，平行六面體的形狀一共有7 7種，種，對應有對應有7 7套晶胞參數的形式，也對應套晶胞參數的形式，也對應7 7個晶系。個晶系。 由晶體的格子構造會導致晶體的基本性質。由晶體的格子構造會導致晶體的基本性質。晶體的基本性質：晶體的基本性質： 自限性自限性: 晶體能夠自發地生長成規則的幾何多面體晶體能夠自發地生長成規則的幾何多面體形態。形態。 均一性均一性:同一晶體的不同部分物理化學性質完全相同一晶體的不同部分物理化學性質完全相同。晶體是同

10、。晶體是絕對均一性絕對均一性，非晶體是，非晶體是統計的、平均統計的、平均近似均一性。近似均一性。 異向性：異向性：同一晶體不同方向具有同一晶體不同方向具有不同的物理性質。例如：不同的物理性質。例如： 藍晶石藍晶石的不同方向上硬度不同。的不同方向上硬度不同。 思考：思考： 均一性與異向性有矛盾嗎？均一性與異向性有矛盾嗎？ 異向性與自限性有什么聯系異向性與自限性有什么聯系?對稱性：對稱性：同一晶體中，同一晶體中，晶體形態相同的幾個晶體形態相同的幾個部分（或物理性質相同的幾個部分）有規律部分（或物理性質相同的幾個部分）有規律地重復出現。例如下面的晶體形態是對稱的：地重復出現。例如下面的晶體形態是對稱

11、的：思考：思考：對稱性與異向性有什么聯系？對稱性與異向性有什么聯系？最小內能性：最小內能性：晶體與同種物質的非晶體相比，內晶體與同種物質的非晶體相比，內能最小。晶體具有固定的熔點。能最小。晶體具有固定的熔點。穩定性：穩定性：晶體比非晶體穩定。晶體比非晶體穩定。 要學會用格子構造規律解釋這些基本性質！要學會用格子構造規律解釋這些基本性質！ 請同學們自己解釋。請同學們自己解釋。（重點解釋：異向性、最小（重點解釋：異向性、最小內能性、穩定性。）內能性、穩定性。）（課堂討論課堂討論）下面的問題請同學們思考并討論：下面的問題請同學們思考并討論：1) 非晶體（玻璃）的定義及特點？非晶體（玻璃）的定義及特點

12、？ （引出（引出遠程規律遠程規律與與近程規律近程規律）2) 液體、氣體的結構具有什么規律？液體、氣體的結構具有什么規律？3) 晶體與非晶體的轉化？晶體與非晶體的轉化？4) 準晶體的發現及定義：準晶體的發現及定義：1984年發現的新現象，年發現的新現象，具有具有遠程規律遠程規律但但沒有重沒有重復周期復周期。這是什么意思。這是什么意思呢？呢？5) 準晶體與晶體、非晶體準晶體與晶體、非晶體的關系？的關系？請大家將教材上圖請大家將教材上圖12（a）的平面晶）的平面晶體結構的空間格子畫出來。體結構的空間格子畫出來。 (答案答案)本章重點總結：本章重點總結：本章包括本章包括3組重要的基本概念組重要的基本概

13、念: 1) 晶體、格子構造、空間格子、相當點；它們之間晶體、格子構造、空間格子、相當點；它們之間的關系。的關系。 2) 結點、行列、面網、平行六面體結點、行列、面網、平行六面體; 結點間距、面結點間距、面網間距與面網密度的關系網間距與面網密度的關系. 3) 晶體的基本性質：自限性、均一性、異向性、對晶體的基本性質：自限性、均一性、異向性、對稱性、最小內能、穩定性，并解釋為什么。稱性、最小內能、穩定性，并解釋為什么。返回返回返回黃銅礦黃銅礦NaCl (石鹽石鹽)石墨石墨返回返回第二章第二章 晶體的測量與投影晶體的測量與投影一、面角守恒定律：一、面角守恒定律： 實際晶體形態（歪晶）：偏離理想晶體形

14、態。實際晶體形態（歪晶）：偏離理想晶體形態。 盡管形態各不相同盡管形態各不相同, 看似無規看似無規, 但對應的晶面面角相等但對應的晶面面角相等, 即即發現發現“面角守恒定律面角守恒定律”： 同種礦物的晶體，其對應晶面間角度守恒。同種礦物的晶體，其對應晶面間角度守恒。面角守恒定律的意義：結晶學發展的奠基石。面角守恒定律的意義：結晶學發展的奠基石。“歪晶歪晶”導致導致同種礦物晶同種礦物晶體形態變化體形態變化無常，給形無常，給形態研究帶來態研究帶來困難。困難。二、晶體測量：二、晶體測量： 就是測量晶面之間的夾角。就是測量晶面之間的夾角。 注意：注意：晶面夾角晶面夾角與與面角面角（晶面法線的夾角）（晶

15、面法線的夾角）的區別！的區別！它們之間的關系為互補的關系。它們之間的關系為互補的關系。通常都用面角（晶面法線的夾角）通常都用面角（晶面法線的夾角）接觸測角反射測角：單圈反射測角儀單圈反射測角儀 雙圈反射測角儀雙圈反射測角儀三、晶體的投影：三、晶體的投影： 將晶面的空間分布轉化為平面圖.（一）極射赤平投影： 投影的原理及過程：投影球、投影面（赤平面）、投影軸投影軸, , 北極點與南極點（目測北極點與南極點（目測點）。點）。 具體投影過程為：球面上任一點具體投影過程為：球面上任一點A與南極點與南極點S連線，連線，此連線與投影面（赤道平面）的交點此連線與投影面（赤道平面）的交點A即為投影點。即為投影

16、點。這樣就將球面上三維空間的東西投影到二維平面上。這樣就將球面上三維空間的東西投影到二維平面上。如果如果A點在下半球，就與北極點點在下半球，就與北極點N連線。連線。下面進行晶體的投影。下面進行晶體的投影。1 1、晶面的球面投影：、晶面的球面投影： 將晶面轉化為球面上的點：將晶面轉化為球面上的點：晶面的方位就可用點的球面坐晶面的方位就可用點的球面坐標標方位角方位角與與極距角極距角來表征。來表征。（相當于緯度與經度）（相當于緯度與經度） 重點要掌握方位角與極重點要掌握方位角與極距角的含義距角的含義! ! 2 2、極射赤平投影：、極射赤平投影： 將晶面的球面投影點再轉化為赤平面上的點：將晶面的球面投

17、影點再轉化為赤平面上的點：即：將球面上即：將球面上的點與南極點的點與南極點（或北極點）（或北極點）連線，該連線連線，該連線與赤平面的交與赤平面的交點就是極射赤點就是極射赤平投影點。平投影點。這樣，晶體上所有晶面的分布規律就反映在赤平面上的這樣，晶體上所有晶面的分布規律就反映在赤平面上的對應點的分布規律。對應點的分布規律。 下圖的下圖的4 4個點代表個點代表4 4個怎么樣的晶面？個怎么樣的晶面？（對于晶體上的對稱面我們通常不將之轉化為點，而是（對于晶體上的對稱面我們通常不將之轉化為點，而是直接投影成一條直線或弧線。實習課時再講。）直接投影成一條直線或弧線。實習課時再講。）在赤平投影圖上在赤平投影

18、圖上, , 方位角與極距角怎么體現方位角與極距角怎么體現? ?即：方位角在基圓上度量，極距角則體現為投即：方位角在基圓上度量，極距角則體現為投影點距圓心的距離影點距圓心的距離（h = r tan /2） 。= 03、吳氏網：、吳氏網：用來進行極射赤平投影的工具。用來進行極射赤平投影的工具。 吳氏網的組成：吳氏網的組成：基圓、直徑、基圓、直徑、大圓弧、小圓弧大圓弧、小圓弧它們各是什么投影它們各是什么投影而成？而成？ 水平大圓的投影形成基圓，水平大圓的投影形成基圓，直立大圓的投影形成直徑直立大圓的投影形成直徑傾斜大圓的投影形成大圓弧傾斜大圓的投影形成大圓弧直立小圓的投影形成小圓弧直立小圓的投影形成

19、小圓弧吳氏網是一個平面網，吳氏網是一個平面網， 但要把它看成是一個空間的球體，網但要把它看成是一個空間的球體，網格能夠測量球面上任一點的方位角與極距角，所以，只要知格能夠測量球面上任一點的方位角與極距角，所以，只要知道方位角與極距角，就可以用吳氏網進行投影。道方位角與極距角，就可以用吳氏網進行投影。晶體的上述投影過程可借用吳氏網很方便地進行，下面舉例說晶體的上述投影過程可借用吳氏網很方便地進行，下面舉例說明。明。1、已知晶面的球面坐標（方位角與極距角），作晶面的投影。、已知晶面的球面坐標（方位角與極距角），作晶面的投影。2、已知兩晶面的球面坐標，求這兩個晶面的面角、已知兩晶面的球面坐標，求這兩

20、個晶面的面角。（二）心射極平投影（二）心射極平投影:與極射赤平投影相反,是將目測點置于投影球中心,在過北極點的切面上投影.本章總結：本章總結： 1. 面角守恒定律及其意義面角守恒定律及其意義; 2.晶面的投影過程，晶面的投影過程， 3. 吳氏網的構成與應用，吳氏網的構成與應用， 4. 方位角與極距角的概念，方位角與極距角的概念， 5. 投影圖的解讀，即從投影圖上點的分布規律投影圖的解讀，即從投影圖上點的分布規律能看出晶體上晶面的空間分布規律，例如：能看出晶體上晶面的空間分布規律，例如：（給出模型）（給出模型）請課后思考：吳氏網所在的平面與一般地圖所在請課后思考：吳氏網所在的平面與一般地圖所在的

21、平面是什么關系？的平面是什么關系？第三章第三章 晶體的宏觀對稱晶體的宏觀對稱一、一、 對稱的概念對稱的概念 對稱就是物體相同部分有規律的重復。對稱就是物體相同部分有規律的重復。對稱性在日常生活中很常見，但對稱的概念還有更深邃和對稱性在日常生活中很常見，但對稱的概念還有更深邃和更廣泛的含義：更廣泛的含義：變換中的不變性；建造大自然的密碼；審變換中的不變性；建造大自然的密碼；審美要素。對稱的概念還在不斷被科學賦予新意。美要素。對稱的概念還在不斷被科學賦予新意。二、二、 晶體對稱的特點晶體對稱的特點1）由于晶體內部都具有格子構造，通過平移，可）由于晶體內部都具有格子構造，通過平移，可使相同質點重復，

22、因此，所有的晶體結構都是使相同質點重復，因此，所有的晶體結構都是對稱的（這種對稱叫平移對稱）。對稱的（這種對稱叫平移對稱）。2）晶體的對稱受格子構造規律的限制，因此，晶）晶體的對稱受格子構造規律的限制，因此，晶體的對稱是有限的，它遵循體的對稱是有限的，它遵循“晶體對稱定律晶體對稱定律” 。3）晶體的對稱不僅體現在外形上，同時也體現在）晶體的對稱不僅體現在外形上，同時也體現在物理性質上。物理性質上。由以上可見由以上可見:格子構造使得所有晶體都是對稱的，格子構造使得所有晶體都是對稱的，格子構造也使得并不是所有對稱都能在晶體中格子構造也使得并不是所有對稱都能在晶體中出現的。出現的。三、晶體的宏觀對稱

23、要素和對稱操作三、晶體的宏觀對稱要素和對稱操作 使對稱圖形中相同部分重復的操作，叫使對稱圖形中相同部分重復的操作，叫對對稱操作稱操作。 在進行對稱操作時所應用的輔助幾何要素在進行對稱操作時所應用的輔助幾何要素（點、線、面），稱為（點、線、面），稱為對稱要素對稱要素。 晶體外形可能存在的對稱要素和相應的對稱晶體外形可能存在的對稱要素和相應的對稱操作如下：操作如下：對稱面對稱面P P 操作為反映。操作為反映。 可以有多個對稱面存可以有多個對稱面存在，如在，如3P3P、6P6P等等. . ( (請同學們在晶體模型上找對稱面請同學們在晶體模型上找對稱面: :示范模型示范模型) )該切面該切面不是矩不是

24、矩形體的形體的對稱面對稱面該切面是該切面是對稱面對稱面對稱軸對稱軸Ln 操作為旋轉操作為旋轉 。其中其中n 代表軸次代表軸次，意，意指旋轉指旋轉360度相同部分重復的次數。旋轉一次的度相同部分重復的次數。旋轉一次的角度為角度為基轉角基轉角 ，關系為：，關系為：n=360/ 。 ( (請同學們在晶體模型上找對稱軸請同學們在晶體模型上找對稱軸) )晶體的對稱定律：晶體的對稱定律：由于晶體是具有格子構造的固體物質，這種質點格子由于晶體是具有格子構造的固體物質，這種質點格子狀的分布特點決定了晶體的對稱軸只有狀的分布特點決定了晶體的對稱軸只有n n = 1 = 1，2 2，3 3，4 4，6 6這五種，

25、不可能出現這五種，不可能出現n = n = 5 5， n n 6 6的情況。的情況。為什么呢？為什么呢？1 1、直觀形象的理解：直觀形象的理解：垂直五次及高于六次的垂直五次及高于六次的對稱軸的平面結構不能對稱軸的平面結構不能構成面網，且不能毫無構成面網，且不能毫無間隙地鋪滿整個空間間隙地鋪滿整個空間, 即不能成為晶體結構。即不能成為晶體結構。2 2、數學的證明方法為：、數學的證明方法為：t = mt= mtt= 2tsin(= 2tsin( -90-90)+ t = -2tcos )+ t = -2tcos + t + t所以，所以，mtmt = -2tcos = -2tcos + t + t

26、 2cos 2cos = 1- m = 1- m coscos = (1 - m)/2 = (1 - m)/2 -2 -2 1 - m 1 - m 2 2 m = -1,0,1,2,3 m = -1,0,1,2,3相應的相應的 0 0 或或2 2 ， /3, /3, /2 /2， 2 2 /3, /3, （但是，在準晶體中可以有（但是，在準晶體中可以有5 5、8 8、1010、1212次次軸）軸）tttt對稱中心對稱中心C C 操作為反伸。只可能在晶體中心，操作為反伸。只可能在晶體中心，只可能一個。只可能一個。 但這種反伸操作不容易在晶體模型上體現但這種反伸操作不容易在晶體模型上體現。凡是有對

27、稱中心的晶體，凡是有對稱中心的晶體，晶面總是成對出現且兩兩反晶面總是成對出現且兩兩反向平行、同形等大。向平行、同形等大。（ 請同學們在晶體模型上找對稱中心）請同學們在晶體模型上找對稱中心）反伸操作演示：反伸操作演示：旋轉反伸軸旋轉反伸軸 Lin 操作為操作為旋轉旋轉+ +反伸的復合操作。反伸的復合操作。 具體的操作過程：具體的操作過程： Li 1= C Li 2= P Li 3= L3C Li 4 Li 6= L3P值得指出的是，除值得指出的是，除Li4外，其余各種旋轉反伸軸外，其余各種旋轉反伸軸都可以用其它簡單的對稱要素或它們的組合來都可以用其它簡單的對稱要素或它們的組合來代替，其間關系如下

28、：代替，其間關系如下： Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C， Li6 = L3 + P但一般我們在寫晶體的對稱要素時，保留但一般我們在寫晶體的對稱要素時，保留Li4 和和Li6，而其他旋轉反伸軸就用簡單對稱要素代而其他旋轉反伸軸就用簡單對稱要素代替。這是因為替。這是因為Li4 不能被代替，不能被代替， Li6在晶體對稱在晶體對稱分類中有特殊意義。分類中有特殊意義。 （請同學們在模型上找（請同學們在模型上找L Li i4 4 和和L Li i6 6）但是，在晶體模型上找但是，在晶體模型上找Li4往往是比較困難的，因為容往往是比較困難的，因為容易誤認為易誤認為L2。我們不能

29、用我們不能用L2代替代替Li4 ，就像我們不能用，就像我們不能用L2代替代替L4一樣。一樣。 因為因為L4高于高于L2 ， Li4也高于也高于L2 。在晶體模型上找對在晶體模型上找對稱要素，一定要找出最高的。稱要素，一定要找出最高的。* 最后，請同學們找出幾個模型上所有對稱要素。最后，請同學們找出幾個模型上所有對稱要素。 (模型示范模型示范) 第三章第一次課結束第三章第一次課結束四、對稱要素的組合四、對稱要素的組合我們首先回憶一下上次實習課的結果：我們首先回憶一下上次實習課的結果：例如：例如：1810號：號：L44L25PC 2508號：號：L66L27PC 1308號：號：L33L23PC從

30、上面的結果可以看出什么規律？從上面的結果可以看出什么規律？ 對稱要素組合是有規律的，其規律就是：必須對稱要素組合是有規律的，其規律就是：必須遵循對稱要素的組合定律；遵循對稱要素的組合定律； 當對稱要素共存時，也可導出新的對稱要素。當對稱要素共存時，也可導出新的對稱要素。第三章第二次課開始第三章第二次課開始對稱要素組合定理：對稱要素組合定理：定理定理1：Ln L2 LnnL2 (L2與與L2的夾角是的夾角是Ln基轉角的一半基轉角的一半)逆定理：逆定理： L2與與L2相交，在其交點且垂直兩相交，在其交點且垂直兩L2會產生會產生Ln，其基，其基轉角是兩轉角是兩L2夾角的兩倍。并導出夾角的兩倍。并導出

31、n個在垂直個在垂直Ln平面內的平面內的L2。例如例如: L4 L2 L44L2 , L3 L2 L33L2思考思考: 兩個兩個L2相交相交30, 交點處并垂直交點處并垂直L2所在平面會產生什么所在平面會產生什么對稱軸對稱軸?定理定理2：Ln P LnP C (n為偶數為偶數)逆定理：逆定理： Ln C LnP C (n為偶數為偶數) P C L2P C這一定理說明了這一定理說明了L2、P、C三者中任兩個可三者中任兩個可以產生第三者。以產生第三者。因為偶次軸包含因為偶次軸包含L2 。定理定理3：Ln P/ LnnP/（P與與P夾角夾角為為Ln基轉角的一基轉角的一半）；半）；逆定理：逆定理：兩個兩

32、個P相交，其交線必為相交，其交線必為一一Ln，其基轉角為，其基轉角為P夾角的兩倍，并導出夾角的兩倍，并導出n個包含個包含Ln的的P。 （定理（定理3與定理與定理2對應）對應）思考思考:兩個對稱面相交兩個對稱面相交60,交線處會產生什么對稱軸交線處會產生什么對稱軸?定理定理4：Lin P/ =Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P/ （n為偶數）為偶數） Linn L2 nP/（n為奇數）為奇數）五、五、32個對稱型（點群）及其推導個對稱型（點群）及其推導 晶體形態中，全部對稱要素的組合，稱為該晶晶體形態中，全部對稱要素的組合，稱為該晶體形態的體形態的對稱型對稱型 或或 點群點群。一般來說

33、，當強調對。一般來說，當強調對稱要素時稱對稱型，強調對稱操作時稱點群。稱要素時稱對稱型，強調對稱操作時稱點群。為什么叫點群？為什么叫點群？因為對稱型中所有對稱操作可構因為對稱型中所有對稱操作可構成一個群，符合數學中群的概念，并且在操作時成一個群，符合數學中群的概念，并且在操作時有一點不動，所以稱為點群。有一點不動，所以稱為點群。 根據晶體中可能存在的對稱要素及其組合規律，推導根據晶體中可能存在的對稱要素及其組合規律，推導出晶體中可能出現的對稱型（點群）是非常有限的，僅出晶體中可能出現的對稱型（點群）是非常有限的，僅有有3232個。那么，這個。那么，這3232個對稱型怎么推導出來？個對稱型怎么推

34、導出來？ A A類對稱型（高次軸不多于一個）的推導：類對稱型（高次軸不多于一個）的推導：1 1）對稱軸）對稱軸L Ln n單獨存在，可能的對稱型為單獨存在，可能的對稱型為L L1 1；L L2 2；L L3 3；L L4 4；L L6 6 。2 2）對稱軸與對稱軸的組合。在這里我們只考慮）對稱軸與對稱軸的組合。在這里我們只考慮L Ln n與垂與垂直它的直它的L L2 2的組合。根據上節所述對稱要素組合規律的組合。根據上節所述對稱要素組合規律L Ln n L L2 2L Ln nnLnL2 2，可能的對稱型為：，可能的對稱型為：（L L1 1L L2 2= =L L2 2）；）；L L2 22

35、2L L2 2=3=3L L2 2；L L3 33 3L L2 2；L L4 44 4L L2 2；L L6 66 6L L2 2 如果如果L L2 2與與L Ln n斜交有可能斜交有可能出現多于一個的高次軸，出現多于一個的高次軸，這時就不屬于這時就不屬于A類對稱型了。類對稱型了。3）對稱軸）對稱軸Ln與垂直它的對稱面與垂直它的對稱面P的組合。根據組合的組合。根據組合規律規律Ln(偶次偶次)PLn(偶次偶次)PC，則可能的對稱型為：，則可能的對稱型為：（L1P=P）；）；L2PC；（；（L3P=Li6）；）；L4PC；L6PC。4）對稱軸）對稱軸Ln與包含它的對稱面的組合。根據組合規與包含它的

36、對稱面的組合。根據組合規律律Ln PLnnP，可能的對稱型為：，可能的對稱型為：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。 5）對稱軸）對稱軸Ln與垂直它的對稱面以及包含它的對與垂直它的對稱面以及包含它的對稱面的組合。垂直稱面的組合。垂直Ln的的P與包含與包含Ln的的P的交線的交線必為垂直必為垂直Ln的的L2，即，即Ln P P=Ln P P=LnnL2(n + 1)P（C）（C只在有偶次軸垂只在有偶次軸垂直直P的情況下產生）的情況下產生），可能的對稱型為：，可能的對稱型為：(L1L22P=L22P ）；）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；）；

37、L44L25PC；L66L27PC。 6 6）旋轉反伸軸單獨存在。可能的對稱型為：）旋轉反伸軸單獨存在。可能的對稱型為：L Li i1 1= =C C；L Li i2 2= =P P；L Li i3 3= =L L3 3C C；L Li i4 4；L Li i6 6= =L L3 3P P。7）旋轉反伸軸）旋轉反伸軸Lin與垂直它的與垂直它的L2（或包含它的（或包含它的P）的）的組合。根據組合規律，當組合。根據組合規律，當n為奇數時為奇數時LinnL2nP，可能，可能的對稱型為：的對稱型為：（Li1L2P=L2PC）；）；Li33L23P=L33L23PC；當當n為偶數時為偶數時 Lin(n

38、/2)L2(n /2)P，可能的對稱型為：，可能的對稱型為：（Li2L2P=L22P）；）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。 這樣推導出來的對稱型共有這樣推導出來的對稱型共有27個，見表個，見表32。 還有還有5個是個是B類（高次軸多于一個）對稱型，不要求推導。類（高次軸多于一個）對稱型，不要求推導。 請同學們將表請同學們將表32中空格的內容填上，空格中的內容與中空格的內容填上，空格中的內容與表中其他內容是重復的。表中其他內容是重復的。L Ln nL Ln nnL L2 2Ln P(C)Ln nPLn nL L2 2 (n+1)P(C)L Li in nL Li in n

39、nL L2 2 nPL Li in n n/2L L2 2 n/2PL L1 1L Li in n = CL L2 23L3L2 2L2 PCL2 2P3L L2 2 3PCL Li i2 2 = PL L3 3L L3 33L L2 2L3 3PL Li in n =L L3 3 C L3 3L L2 2 3PCL L4 4L L4 44L L2 2L4 PCL4 4PL4 4L L2 2 5PCL Li i4 4L Li i4 4 2L2 2PL L6 6L L6 66L L2 2L6 PCL6 6PL6 6L L2 2 7PCL Li i6 6=L L3 3 PL Li i6 6 3L

40、L2 2 3P= L L3 3 3L L2 2 4P六、晶體的對稱分類六、晶體的對稱分類1、晶族、晶系、晶類的劃分，見表、晶族、晶系、晶類的劃分，見表3-4。 這個表非常重要，一定要熟記。這個表非常重要，一定要熟記。 從這個表可知有從這個表可知有7個晶系，在第一章我們已經知道有個晶系，在第一章我們已經知道有7種空間格子形式，對應種空間格子形式，對應7個晶系。個晶系。 請同學們思考：由對稱形式可以劃出請同學們思考：由對稱形式可以劃出7個晶系，由空間個晶系，由空間格子形式也可以劃出格子形式也可以劃出7個晶系，兩種方法怎么統一？個晶系，兩種方法怎么統一？ （實際上，一個是從宏觀的，另一個是從微觀的。

41、）（實際上，一個是從宏觀的，另一個是從微觀的。）32個對稱型見表個對稱型見表3-4。 2、功能晶體材料的劃分，見表、功能晶體材料的劃分，見表3-5。3、在自然界出現概率的劃分，見表、在自然界出現概率的劃分，見表3-6。 通過對比表通過對比表35與表與表36，可知，自然界出現概，可知，自然界出現概率高的是一些對稱程度高的晶體，而功能晶體率高的是一些對稱程度高的晶體，而功能晶體材料要求是一些對稱程度低的。所以需要人工材料要求是一些對稱程度低的。所以需要人工晶體。晶體。七、五次對稱軸、二十面體與準晶七、五次對稱軸、二十面體與準晶這部分內容只要求大概了解。這部分內容只要求大概了解。當球體（原子、離子）

42、堆積時，形成二十面體最穩定，當球體（原子、離子）堆積時，形成二十面體最穩定，但二十面體上有五次軸，不能在晶體結構中出現，所但二十面體上有五次軸，不能在晶體結構中出現，所以當晶體進一步長大后，晶體結構就不得不放棄二十以當晶體進一步長大后，晶體結構就不得不放棄二十面體結構。面體結構。但在準晶體中有二十面體結構，在生物界也有二十面體但在準晶體中有二十面體結構，在生物界也有二十面體結構，所以，準晶為生物界與非生物界架起一座橋梁結構，所以，準晶為生物界與非生物界架起一座橋梁。原子緊密堆積形成的各種配位多面體原子緊密堆積形成的各種配位多面體本章重點總結：本章重點總結： 1) 對稱要素：對稱要素：P, Ln

43、, C, Lin； 2) 對稱要素組合：對稱要素組合：4個定理；個定理； 3) 對稱型：要學會用組合定理判斷正確與否；對稱型：要學會用組合定理判斷正確與否； 4) 晶體的對稱分類：晶體的對稱分類：3個晶族，個晶族，7個晶系，個晶系，32個晶類。個晶類。第四章第四章 晶體的定向與結晶符號晶體的定向與結晶符號一、一、 晶體定向的方法晶體定向的方法 以晶體中心為原點建立一個坐標系以晶體中心為原點建立一個坐標系, ,由由X,Y,ZX,Y,Z三軸組成三軸組成, ,也可也可由由X,Y,U,ZX,Y,U,Z四軸組成四軸組成( (對三方晶系與六方晶系對三方晶系與六方晶系).). 那么那么,怎么選出這些晶軸怎么

44、選出這些晶軸?ZYX三個晶軸不一定垂直三個晶軸不一定垂直YZXU120選晶軸的原則選晶軸的原則: :1）與晶體的對稱特點相符合）與晶體的對稱特點相符合(既一般都以對稱要素作晶既一般都以對稱要素作晶軸，要么對稱軸，要么對稱面法線軸，要么對稱軸，要么對稱面法線);2）在遵循上述原則的基礎上盡量使晶軸夾角為）在遵循上述原則的基礎上盡量使晶軸夾角為90度度.每個晶系的對稱特點不同每個晶系的對稱特點不同,因此每個晶系的選擇因此每個晶系的選擇晶軸的具體方法也不同晶軸的具體方法也不同,見表見表4-1(此表非常重要，此表非常重要，要熟記要熟記). 表4-1定向舉例定向舉例: (示范模型示范模型: 等軸、四方、

45、六方、斜方等軸、四方、六方、斜方) 請注意請注意: 在晶體的宏觀形態上根據對稱特在晶體的宏觀形態上根據對稱特點選出的三根晶軸點選出的三根晶軸,與晶體內部結構的空與晶體內部結構的空間格子的三個不共面的行列方向是一致間格子的三個不共面的行列方向是一致的的. 為什么為什么?因為空間格子中三個不共面因為空間格子中三個不共面的行列也是根據晶體的的行列也是根據晶體的對稱性對稱性,人為地畫人為地畫出來的出來的.而晶軸也是根據晶體的而晶軸也是根據晶體的對稱性對稱性,人人為地選出來的為地選出來的.晶體的內部對稱與晶體的晶體的內部對稱與晶體的宏觀對稱是一致的宏觀對稱是一致的,所以所以 晶軸與三個行列晶軸與三個行列

46、就是一致的就是一致的.在三個行列上有在三個行列上有晶胞參數晶胞參數(a,b,c; ,),這些參數就構成了三個晶軸上的軸單位和這些參數就構成了三個晶軸上的軸單位和晶軸之間的夾角晶軸之間的夾角.xyz宏觀形態宏觀形態微觀結構微觀結構 晶體外形不可能知道軸單位晶體外形不可能知道軸單位,但根據對稱性可以但根據對稱性可以知道軸單位之間的比值關系知道軸單位之間的比值關系,即：即： a:b:c 例如例如, 等軸晶系的等軸晶系的 a:b:c =? 四方晶系的四方晶系的 a:b:c =?我們將我們將a:b:c 稱為軸率稱為軸率, ,稱軸角稱軸角, ,軸率與軸率與軸角統稱軸角統稱晶體常數晶體常數. .見表見表4

47、41.1.表中列出的是表中列出的是晶體晶體常數特點常數特點. .因為根據晶體的宏觀形態只能定出晶因為根據晶體的宏觀形態只能定出晶體常數特點體常數特點, ,不能定出晶體常數不能定出晶體常數. .舉例：舉例：在模型上定出晶體常數特點：等軸、四方、斜方在模型上定出晶體常數特點：等軸、四方、斜方二二、 對稱型的國際符號對稱型的國際符號 對稱型的國際符號很簡明，對稱型的國際符號很簡明，1 1）它不將所有的對）它不將所有的對稱要素都寫出來稱要素都寫出來,2,2）并且可以表示出對稱要素的方）并且可以表示出對稱要素的方向性向性,3,3）但它不容易看懂）但它不容易看懂. . 特點是特點是: :凡是可以派生出來的

48、對稱要素都省略了凡是可以派生出來的對稱要素都省略了. .對稱軸以對稱軸以 1 1，2 2，3 3，4 4，6 6表示表示; ;對稱面以對稱面以m m表示表示, ,旋旋轉反伸軸以轉反伸軸以1、2、3、4、6表示表示,若對稱面與對稱軸若對稱面與對稱軸垂直，則兩者之間以斜線或橫線隔開，如垂直，則兩者之間以斜線或橫線隔開，如L2PC以以2/m表示，表示，L4PC以以4/m表示表示(由此可以看出，對稱中由此可以看出，對稱中心心C就不必再表示出來了，因為偶次軸垂直對稱面就不必再表示出來了，因為偶次軸垂直對稱面定會產生一個定會產生一個C)。 具體的寫法為具體的寫法為: :設置三個序號位設置三個序號位( (最

49、多只有三最多只有三個個),),每個序號位中規定了寫什么方向上的對稱要每個序號位中規定了寫什么方向上的對稱要素素( (序號位與方向對應，這是國際符號的最主要序號位與方向對應，這是國際符號的最主要的特色的特色) ), ,對稱意義完全相同的方向上的對稱要素對稱意義完全相同的方向上的對稱要素, ,不管有多少不管有多少, ,只寫一個就行了只寫一個就行了（簡化，這是國際（簡化，這是國際符號的另一特色）符號的另一特色）. . 不同晶系中不同晶系中, ,這三個序號位所代表的方向完全這三個序號位所代表的方向完全不同不同, ,所以所以, ,不同晶系的國際符號的寫法也就完全不同晶系的國際符號的寫法也就完全不同不同,

50、 ,一定不要弄混淆一定不要弄混淆. . 每個晶系的國際符號寫法見表每個晶系的國際符號寫法見表4 42 2( (此表很重此表很重要，要熟記！要，要熟記！) ). .表表4-2:國際符號舉例國際符號舉例: (示范模型示范模型: 等軸、四方、六方、斜方等軸、四方、六方、斜方)三、三、 晶面符號與晶棱符號晶面符號與晶棱符號1. 晶面符號晶面符號: 晶體定向后晶體定向后, 晶面在空間的相對位置就可以根晶面在空間的相對位置就可以根據它與晶軸的關系來確定據它與晶軸的關系來確定, 表示晶面空間方位表示晶面空間方位的符號就叫晶面符號的符號就叫晶面符號,常用的是常用的是米氏符號米氏符號:晶面在三根晶軸上的截距系數

51、的倒數比，用小括晶面在三根晶軸上的截距系數的倒數比，用小括號括起來。號括起來。舉例舉例: 某晶面在某晶面在X,Y,Z軸上的截距為軸上的截距為2a,3b,6c, 那么截距系數為那么截距系數為2, 3, 6, 倒數為倒數為1/2, 1/3, 1/6, 化簡以后的倒數比為化簡以后的倒數比為3:2:1, 寫做寫做(321),這就是該晶面的這就是該晶面的米氏符號米氏符號.注意：注意：三個晶軸上的軸單位三個晶軸上的軸單位不一定相等，所以，截距不一定相等，所以，截距系數與截距不一定成正比。系數與截距不一定成正比。 例如：例如： 通常用通常用(hkl)表示表示. h,k,l 叫晶面指數叫晶面指數. 但對于三方

52、但對于三方, 六方晶系來六方晶系來說說,可以用四軸定向可以用四軸定向, 要用四個晶面指數要用四個晶面指數h,k i,l, 晶面符號為晶面符號為(hkil), 前面三個指數的代數前面三個指數的代數和等于和等于0. 例如例如:（1120）（1011）等。）等。u 在晶體模型上怎么寫晶面符號在晶體模型上怎么寫晶面符號?因為我們并不知道晶面截晶因為我們并不知道晶面截晶軸的截距系數軸的截距系數, 但我們可以知道截距大小相對關系但我們可以知道截距大小相對關系. 例如例如: (示范模型示范模型): 八面體（八面體（111）、四方雙錐（）、四方雙錐（hhl）斜方雙錐（）斜方雙錐（hkl）2. 晶棱符號晶棱符號

53、: 為直線符號為直線符號, 表示這一直線的方向即可表示這一直線的方向即可. 方法為方法為:將將晶棱晶棱(或其他直線或其他直線)移至經過晶體中心移至經過晶體中心(即坐標原點即坐標原點), 然然后在直線上任取一點后在直線上任取一點,該點在三根晶軸上的坐標系數比該點在三根晶軸上的坐標系數比值寫進方括號即可值寫進方括號即可:rst舉例舉例: : 立方體、八面體垂直晶面的直線符號分別立方體、八面體垂直晶面的直線符號分別:100,111:100,111四、四、 整數定律與晶帶定律整數定律與晶帶定律1. 整數定律整數定律 晶面指數為簡單整數晶面指數為簡單整數.為什么為什么? 因為指數越簡單的晶面因為指數越簡

54、單的晶面對應到內部結構是面對應到內部結構是面網密度大的面網網密度大的面網,而面而面網密度大的面網容易網密度大的面網容易形成晶面（因為能量形成晶面（因為能量低容易形成晶面）低容易形成晶面）,所所實際晶體上的晶面就實際晶體上的晶面就是晶面指數簡單的晶是晶面指數簡單的晶面面. 整數定律是繼面角守恒定律后的又一個在遠古年代根據晶整數定律是繼面角守恒定律后的又一個在遠古年代根據晶體形態特點發現的規律體形態特點發現的規律.2 . 晶帶定律晶帶定律:晶帶晶帶: 交棱相互平行的一組晶面交棱相互平行的一組晶面.晶帶軸晶帶軸:移至過晶體中心的一條交棱。移至過晶體中心的一條交棱。晶帶符號：交棱的晶棱符號晶帶符號：交

55、棱的晶棱符號.舉例舉例: 晶體上的晶面是以晶帶的形式發育的晶體上的晶面是以晶帶的形式發育的.晶帶定律晶帶定律: 任兩晶帶任兩晶帶(晶棱晶棱)相交可決定一可能晶面相交可決定一可能晶面,任兩晶面相交可決定一可能晶帶任兩晶面相交可決定一可能晶帶(晶棱晶棱).舉例舉例: 晶帶符號（晶棱符號）與晶面符號的關系：晶帶符號（晶棱符號）與晶面符號的關系：晶面（晶面（hkl）（）（mnp）所決定的晶帶：）所決定的晶帶： h k l h k l 如如: 1 0 0 1 0 0 m n p m n p 0 1 0 0 1 0 r s t 0 0 1晶帶晶帶rst uvw所決定的晶面：所決定的晶面： r s t r

56、s t 如如: 0 1 0 0 1 0 u v w u v w 0 0 1 0 0 1 h k l 1 0 0本章重點總結：本章重點總結：1）晶體定向：晶軸的選擇，坐標系的建立。）晶體定向：晶軸的選擇，坐標系的建立。2）在晶體定向的基礎上，寫出對稱型的國）在晶體定向的基礎上，寫出對稱型的國際符號。際符號。3）在晶體定向的基礎上，確定晶面符號，）在晶體定向的基礎上，確定晶面符號，一定要學會在宏觀形態上確定各晶面的晶面一定要學會在宏觀形態上確定各晶面的晶面符號。（并不知道軸長與截距系數）符號。（并不知道軸長與截距系數）第五章第五章 單形和聚形單形和聚形 一、單形一、單形1. 單形的概念單形的概念:

57、 是由對稱要素聯系起來的一組晶面的組合。也是由對稱要素聯系起來的一組晶面的組合。也就是說，單形是一個晶體上能夠由該晶體的所有就是說，單形是一個晶體上能夠由該晶體的所有對稱要素操作而使它們相互重復的一組晶面。對稱要素操作而使它們相互重復的一組晶面。 在理想的情況下，同一單形內的晶面應該同形在理想的情況下，同一單形內的晶面應該同形等大。例如：立方體、八面體、菱形十二面體和等大。例如：立方體、八面體、菱形十二面體和四角三八面體都是單形。四角三八面體都是單形。(示范模型示范模型) 這四個單形形狀完全不同，但對稱型是一樣的。即對稱型一這四個單形形狀完全不同，但對稱型是一樣的。即對稱型一樣的晶體，形態可以

58、完全不同。這是因為晶面與對稱要樣的晶體，形態可以完全不同。這是因為晶面與對稱要素的關系不同。素的關系不同。上述各單形的晶面與對稱要素是什么關系？上述各單形的晶面與對稱要素是什么關系？ZYXYX2單形的推導單形的推導 可以在對稱型中假設一個原始晶面，通過對稱操作可以在對稱型中假設一個原始晶面，通過對稱操作的作用而得到其它晶面，這些晶面共同組成一個單形，的作用而得到其它晶面，這些晶面共同組成一個單形，這就是單形的推導這就是單形的推導。 現以斜方晶系中的對稱型現以斜方晶系中的對稱型mm2(L22P)為例說明單為例說明單形的推導。形的推導。 位置位置1：單面：單面001 位置位置2：平行雙面：平行雙面

59、100 位置位置3：平行雙面：平行雙面010 位置位置4：雙面：雙面h0l 位置位置5：雙面：雙面0kl 位置位置 6：斜方柱：斜方柱hk0 位置位置 7：斜方單錐：斜方單錐hkl 在上述在上述7個單形中，第個單形中，第2、3號單形完全一樣，號單形完全一樣，第第4、5號單形也完全一樣（形狀一樣、對稱性號單形也完全一樣（形狀一樣、對稱性也一樣），這樣就可將之視為一個單形。也一樣），這樣就可將之視為一個單形。 因此，因此，mm2對稱型一共有對稱型一共有5個單形。個單形。3單形符號單形符號 首先復習晶面符號首先復習晶面符號(請同學們回憶晶面符號的寫法請同學們回憶晶面符號的寫法). 如果是幾個晶面共同

60、組成一個單形，則這幾個晶面如果是幾個晶面共同組成一個單形，則這幾個晶面的晶面符號具有某種相似性，這樣，我們可以選擇的晶面符號具有某種相似性，這樣，我們可以選擇同一單形內的某一個晶面作為代表，用其符號表示同一單形內的某一個晶面作為代表，用其符號表示該單形的符號。例如：立方體，八面體。該單形的符號。例如：立方體，八面體。 代表晶面代表晶面應選擇單形中正指數為最多的晶面，也應選擇單形中正指數為最多的晶面，也即選擇第一象限內的晶面，在此前提下，要求盡可即選擇第一象限內的晶面，在此前提下，要求盡可能使能使hkl，即盡可能靠近前面，其次靠，即盡可能靠近前面，其次靠近右邊，再次靠近上邊。近右邊，再次靠近上邊