1、常微分方程 Ordinary Differential Equation教材及參考資料 教 材：常微分方程(第三版）， 王高雄等, 高教出版社 參考書目： 1 常微分方程, 東北師大數學系編，高教出版社 2 常微分方程講義，王柔懷、伍卓群編，高教出版社 3 常微分方程及其應用，周義倉等編，科學出版社 4 微分方程定性理論，張芷芬等編，科學出版社教學安排 第1周第18周，共72學時 第5周周一(4.6)清明節，第8周周五(5.1)勞動節，第16周周一(6.22)端午節放假，實際授課時66學時） 授課內容：第1章第5章 考試安排：在結課后一周考試 總成績=平時（20%）+期末（80%），有小論文可

2、以加分，每周五課后按學號尾數單雙號交替交作業 答疑地點: 25教15樓 尚月強辦公室第一章 緒論常微分方程是現代數學的一個重要分支，是人們解決各種實際問題的有效工具，它在幾何、力學、物理、電子技術、航空航天、生命科學、經濟領域等都有廣泛的應用。隨著計算技術和計算機的快速發展，常微分方程已經滲透到自然科學、社會科學、工程技術等學科的任何一個領域，正發揮著越來越大的作用。動力系統 Dynamical system describes the evolution of a state over time /article/History_of_dy

3、namical_systems , Philip Holmes (2007), Scholarpedia, 2(5):1843 Curator: Dr. Eugene M. Izhikevich, Editor-in-Chief of Scholarpedia, the free peer reviewed encyclopedia第一章 緒論 線性方程、二次方程、高次方程、指數方程、對數方程、三角方程和方程組。 這些方程都是要把研究問題中的已知數和未知數之間的關系找出來，列出包含一個未知數或幾個未知數的一個或者多個方程式。 在實際工作中，常常出現一些特點和以上方程完全不同的問題 比如：某個物

4、體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時間變化的規律 火箭在發動機推動下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道等 研究這些問題所建立的數學方程不僅與未知函數有關，而且與未知函數的導數有關，這就是我們要研究的微分方程 基本思想: 把研究的問題中已知函數和未知函數之間的關系找出來，從列出的包含未知函數及其導數的一個或幾個方程中去求得未知函數的表達式，即求解微分方程 微分方程差不多是和微積分同時先后產生的 牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數來求解 瑞士數學家雅各布貝努利、歐拉、法國數學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論 法國數學家Poincare及前蘇聯數學家L

5、yapunov等對現代微分方程理論的建立做出了巨大的貢獻 常微分方程的形成與發展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術的發展密切相關的 數學的其他分支的新發展，如復變函數、李群、組合拓撲學等，都對常微分方程的發展產生了深刻的影響 當前計算機的發展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具1.1 常微分方程模型 RLC電路 數學擺 人口模型 傳染病模型 兩生物種群生態模型 Lorenz方程RL電路基爾霍夫(Kirchhoff)第二定律在閉合回路中，所有支路上的電壓的代數和等于零RLC電路數學擺數學擺 數學擺是系于一根長度為數學擺是系于一根長度為 的線上而質量為的線上而質量為 的質點

6、的質點M. 在重力作用下在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圓周運動它在垂直于地面的平面上沿圓周運動.如圖所示如圖所示.試確定擺的運動方程試確定擺的運動方程. lm解解: Newton第二定律第二定律: .maF 取反時針運動方向為計量擺與鉛垂線所成的角取反時針運動方向為計量擺與鉛垂線所成的角 的正方的正方向向. 則由則由Newton第二定律第二定律, 得到擺的運動方程為得到擺的運動方程為 22sin .dgdtl 附注附注1: 如果研究擺的微小振動如果研究擺的微小振動,即當即當 比較小時比較小時, 可以取可以取 的近似值的近似值 代入上式代入上式,這樣就得到微小振動時擺的運動方程這樣就得到

7、微小振動時擺的運動方程: sin 22.dgdtl 附注附注2: 假設擺是在一個有粘性的介質中作擺動假設擺是在一個有粘性的介質中作擺動, 如果阻力如果阻力系數為系數為 則擺的運動方程為則擺的運動方程為:, 22.ddgdtm dtl 附注附注3: 假設擺還沿著擺的運動方向受到一個外力假設擺還沿著擺的運動方向受到一個外力F(t)的作的作用用,則擺的運動方程為則擺的運動方程為:).(122tFmllgdtdmdtd人口模型 馬爾薩斯(Malthus)假設：在人口自然增長的過程中，凈相對增加率（單位時間內人口的凈增長數與人口總數之比）是常數，記為r人口模型的改進 Verhulst：引入常數Nm（環境

8、最大容納量），假設：凈相對增長率為)(1 (mNtNrlogistic模型傳染病模型 假設傳染病傳播期間其地區總人數不變，為常數n，開始時染病人數為x0，在時刻t的健康人數為y(t)，染病人數為x(t) 假設單位時間內一個病人能傳染的人數與當時的健康人數成正比，比例系數為kSI模型易感染者：Susceptible y(t) 已感染者：Infectivex(t)SIS模型 對無免疫性的傳染病，假設病人治愈后會再次被感染，設單位時間治愈率為muSIR模型（R：移出者（Removed） 對有很強免疫性的傳染病，假設病人治愈后不會在被感染，設在時刻t的愈后免疫人數為r(t)，稱為移出者，而治愈率l為常

9、數兩生物種群生態模型 意大利數學家沃特拉(Volterra)建立了一個關于捕食魚與被食魚生長情形的數學模型 假設在時刻t，被食魚的總數為x(t)，而捕食魚的總數為y(t) 假設單位時間內捕食魚與被捕食魚相遇的次數為bxy 捕食魚的自然減少率同它們的存在數目y成正比 捕食魚的自然增長率同它們它們的存在數目y及被被捕食魚x成正比Volterra被捕食-捕食模型兩種群競爭模型相互競爭同一資源：Lorenz方程Lorenz吸引子系統總體穩定性和局部不穩定性: 在吸引子外的一切運動都趨向（吸引）到吸引子，一切到達吸引子內的運動都互相排斥蝴蝶效應 一只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，

10、可以在兩周以后引起美國德克薩斯州的一場龍卷風對初值的敏感性電影蝴蝶效應 當一個人小時候受到微小的心理刺激，長大后這個刺激會被放大 分形（fractal）一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀。總結 微分方程反映量與量之間的關系，與時間有關，是一個動態系統 從已知的自然規律出發，考慮主要因素，構造出由自變量、未知函數及其導數的關系史，即微分方程，從而建立數學模型 數學模型的建立有多種方式 研究微分方程的解和解結構的性質，檢查是否與實際相吻合，不斷改進模型 由微分方程發現或預測新的規律和性質1.2 基本概念與常微分方程的發展史 1.2.1 常微分方

11、程基本概念定義（微分方程）定義（微分方程） 聯系自變量、未知函數及聯系自變量、未知函數及未知函數未知函數導數導數（或微分）的關系式稱為微分方程（或微分）的關系式稱為微分方程; 2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd; sin35 )4(2244txdtxddtxd; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu例1：下列關系式都是微分方程微分方程微分方程 如果在一個微分方程中，自變量的個數只有一個，則這樣的微分方程稱為常微分方程常微分方程;2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdt

12、xd;sin35 )4(2244txdtxddtxd都是常微分方程常微分方程常微分方程如 如果在一個微分方程中,自變量的個數為兩個或兩個以上,稱為偏微分方程偏微分方程; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu 注: 本課程主要研究常微分方程，同時把常微分方程簡稱為微分方程或方程偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程定義定義 微分方程中出現的未知函數的最高階導數或微微分方程中出現的未知函數的最高階導數或微分的分的階階數稱為微分方程的階數數稱為微分方程的階數. . 2 ) 1 (xdxdy是一階微分方程 0 (2) ydxxdy是二階微分方程 0 )3(322xdtdxtxdtxd是

13、四階微分方程 sin35 )4(2244txdtxddtxd微分方程的階微分方程的階如:) 1 (0),dxdyy,F(x,nndxydn階微分方程的一般形式為.,dxdyy,x,0),dxdyy,F(x,是自變量是未知函數而且一定含有的已知函數是這里xydxyddxyddxydnnnnnn 2 ) 1 (xdxdy 是線性微分方程 0 (2) ydxxdy sin35 )4(2244txdtxddtxd線性和非線性0),dxdyy,F(x,nndxyd如如.,dxdyy階線性方程則稱其為的一次有理式及的左端為ndxydnn如果方程 是非線性微分方程 如如 0 )3(322xdtdxtxdtx

14、dn階線性微分方程的一般形式111( )( )( )(2)nnnnnd ydya xax yf xdxdx.)(),(),(1的已知函數是這里xxfxaxan不是線性方程的方程稱為非線性方程微分方程的解定義:,),(滿足條件如果函數Ixxy;)() 1 (階的連續導數上有直到在nIxy, 0)(),(),(,(:)2(xxxxFIxn有對.0),dxdyy,F(x,(x)y上的一個解在為方程則稱Idxydnn)(xy稱為方程的顯示解例.),(0ycosxysinx,y上的一個解在都是微分方程驗證y證明:由于對sinx,y xsinycosx,y(,),x 故對有 yyxsin0 xsin.),

15、(0ysinxy上的一個解在是微分方程故y.),(0yxcosy上的一個解在是微分方程同理y顯式解與隱式解是方程的一個則稱的解為方程所確定的隱函數如果關系式0),(,0),dxdyy,F(x,Ix(x),y0),(yxdxydyxnn隱式解注:顯式解與隱式解統稱為微分方程的解例如yxdxdy對一階微分方程有顯式解2211.yxyx 和和隱式解:. 122 yx通解與特解定義 如果微分方程的解中含有任意常數,且所含的相互獨立的任意常數的個數與微分方程的階數相同,則稱這樣的解為該方程的通解例如:為任常數2121,ccosx,sinxyccc.0y的通解是微分方程 yn階微分方程通解的一般形式為),

16、(1nccxy.,1為相互獨立的任常數其中ncc 注:使得行列式的某一鄰域存在是指個獨立常數含有稱函數,),(,),(11nnccxnccxy0),(),()1(2)1(1)1(212121)1(nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中例.62y2y3cy2321的通解是微分方程驗證yyececexxxxxxecece23212cy證明: 由于,4cy2321 xxxececexxxecece2321 8cy故yy2y2y)2(c2321xxxecece)8(c2321xxxecece)4(c22321xxxecece)32(c2321xxxecece6xe )c2c

17、c2c (1111xecccc)22(-2222xecccc23333)228(86.62y2y3cy2321的通解是微分方程故yyececexxx又3 3 1 321321ccccccccc2222264xxxxxxxxxxeeeeeeeeee 0.62y2y3cy2321的解微分方程是故yyececexxx類似可定義方程的隱式通解 如果微分方程的隱式解中含有任意常數,且所含的相互獨立的任意常數的個數與微分方程的階數相同,則稱這樣的解為該方程的隱式通解以后不區分顯式通解和隱式通解,統稱為方程的通解隱式通解也稱為“通積分” 在通解中給任意常數以確定的值而得到的解稱為方程的特解例如.0ycosx

18、ysinx,y的特解都是方程y中分別取可在通解cosxsinxy21cc:, 0, 1c21得到c:, 1, 0c21得到csinx,y cosx.y 定義定解條件 為了從通解中得到合乎要求的特解,必須根據實際問題給微分方程附加一定的條件,稱為定解條件求滿足定解條件的求解問題稱為定解問題 常見的定解條件是初始條件,n階微分方程的初始條件是指如下的n個條件:)1(01)1()1(000,xxnnnydxydydxdyyy時當.1,)1(0)1 (000個常數是給定的這里nyyyxn當定解條件是初始條件時,相應的定解問題稱為初值問題注1: n階微分方程的初始條件有時也可寫為)1(010)1()1(

19、0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy通常記為問題的解的初值問題也稱滿足條件階微分方程求,)(,)(,)(, 0),(:)1(010)1()1(0000CauchyydxxydydxxdyyxydxyddxdyyxFnnnnnn注2:0),(nndxyddxdyyxF)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy例（P19）.1)0(, 2)0(,045yecy-4x21的特解并求滿足初始條件的通解是方程驗證yyyycexyy45y-4x21)ec (cex)e16c (-4x21cex0-4x21)ec (5cex)ec (4-4x21cex)e4c (5-4x21cex)ec (4-4x21cex解由于且xxxxeeee4442121cccc0.045yecy-4x21的通解是方程故yycex有由初始條件1)0(, 2)0(yy221cc1421cc解以上方程組得1, 321cc的特解為滿足初始條件故方程1)0(, 2)0(045yyyyy-4xe3yxe積分曲線和方向場 積分曲線一階微分方程),(dxdyyxf