1、角概念的推廣【復習要求】1了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化；【知識要點】1角的概念(1) 任意角：定義：角可以看成平面內的一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形；分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角.(2)所有與角 終邊相同的角，連同角 在內，構成的角的集合是 S |k·360 °，kZ .(3) 象限角：使角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x 軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，那么這個角不屬于任何一個象限.2弧度制(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，正角

2、的弧度數是正數，負角的弧度數是負數，零角的弧度數是0.(2)rad,1 rad180°.角度制和弧度制的互化： 180 ° rad,1 °180112(3)扇形的弧長公式： l | ·r，扇形的面積公式：S2lr 2| r·.3終邊相同的角的表示所有和角 終邊相同的角，連同 角在內可用式子 k·360°， kZ 或 2k ， k Z 表示【基礎練習】1給出下列命題：（ 1）小于 90°的角是銳角；（ 2）銳角是第一象限角，反之亦然；（ 3）第三象限的角必大于第二象限的角；（ 4）終邊相同的角的不一定相等；（ 5）相

3、等的角必是終邊相同的角；（ 6）若角和角有相同的終邊，則角（）的終邊必在x 軸的非負軸上其中正確命題的序號是2已知角 的終邊經過點 (3， 1)，則角 的最小正值是 _解析： 因為 sin 1111 6 2k(kZ )故 112 2，且 的終邊在第四象限，所以的最小正值是6 .答案： 1163弧長為3，圓心角為135 °的扇形半徑為 _ ，面積為 _第1頁共6頁解析： 弧長 l 3，圓心角 3，4由弧長公式 l ·r得 r l 33 4，面積 S12lr 6.114是第 _象限角4 4115解析： 4 44 . 答案：三1”的 _條件5“ ”是“ cos 262答案：充分而

4、不必要6若 n·360° ， m·360 ° (m， n Z )，則 ， 終邊關于直線 _對稱答案： x 軸【例題精析】考點一角的概念的推廣例 1(1) 已知角 45°，在 720°到 0°內找出所有與角 有相同終邊的角 ；(2)設集合 M x x k×180° 45°， k Z ，2N xxk× 180° 45°， k Z ，判斷兩集合的關系4解 (1) 所有與角有相同終邊的角可表示為 45° k× 360 °(kZ ) ，則令 72

5、0° 45° k× 360° 0°，得 765° k× 360° 45°，解得 765360 k 36045，從而 k 2 或 k 1，代入得 675°或 315°.(2)因為 M x|x (2k 1)×45°， kZ 表示的是終邊落在四個象限的平分線上的角的集合；而集合 N x|x (k 1)× 45°，kZ 表示的是終邊落在坐標軸或四個象限平分線上的角的集合，從而MN.方法歸納 (1) 利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫

6、出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數k 賦值來求得所需角(2)已知角 的終邊位置，確定形如k，k±等形式的角的終邊的方法：先表示角的范圍，再寫出k、 k±等形式的角的范圍，然后就k 的可能取值討論所求角的終邊位置6遷移練習1：（ 1）若角 的終邊與角的終邊相同， 求在 0,2)內終邊與角的終邊相同的角；73解： 所有與角 67的終邊相同的角的集合是 | 67 2k， kZ ， 22所以所有與角3的終邊相同的角可表示為 3 7 3k， kZ .22034所以在 0,2)內終邊與角 3的終邊相同的角有7， 21， 21.（ 2）已知角是第一象限角，試確定角

7、2， 所在的象限2解： 因為 2k<<2 k ， kZ，2第2頁共6頁所以 4k <2<4k ， k<<k， kZ .24所以角 2的終邊在第一或第二象限或在y軸非負半軸上， 角2的終邊在第一或第三象限例 2半徑為1 的圓的圓心位于坐標原點，點P從點 A（ 1，0）出發，依逆時針方向等速沿單位圓周旋轉 . 已知 P 在 1 s內轉過的角度為 (0 ° 180°），經過 2 s 到達第三象限，經過 14 s后又恰好回到出發點A，求 .解：4或577考點二扇形的弧長與面積例 2已知一扇形的圓心角為(>0) ，所在圓的半徑為R.(1)若

8、60°， R 10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長是一定值C(C>0)，當 為多少弧度時，該扇形有最大面積？解 (1) 設弧長為 l，弓形面積為S 弓，則10 60°3， R 10， l 3×103 (cm) ，1×10505033S弓 S扇3×10 1×102× sin2)S 2233 250 32(cm(2)扇形周長 C 2R l 2RR，C121C2C21所以 R， 所以S 扇 2·R2·2 2·222 24 4 2C1 C2C 2·416.當

9、且僅當 4，即 2 時，扇形面積有最大值16.4 名師點評 (1) 在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷(2)從扇形面積出發，在弧度制下使問題轉化為關于的不等式或利用二次函數求最值的方法確定相應最值112(3)記住下列公式：l R； S2lR； SR2.其中 R 是扇形的半徑， l 是弧長，(0< <2)為圓心角， S 是扇形面積例 3 蒸汽機飛輪的直徑為1.2 m，以 300 r/min( 轉 /分 )的速度作逆時針旋轉，求：(1)飛輪 1 s 內轉過的弧度數；(2)輪周上一點1 s 內所經過的路程解： (1)飛輪速度 300 r/min 5 r/s.所以 1

10、 s 內轉過的弧度數為 5× 2 10rad.(2)l | ·r 10× 0.66m，即 1 秒內所經過的路程為6m.4已知扇形周長為40，當它的半徑和圓心角取何值時，才使扇形面積最大？解： 設圓心角是，半徑是r ，則 2r r 40，得 402r，r121所以 S 2·r 2r(40 2r) r(20 r) (r 10)2 100 100，當且僅當 r 10時， Smax 100.第3頁共6頁所以當 r 10， 2 時，扇形面積最大例 3 如圖， A ， B 是單位圓上的兩個質點，B 點的初始坐標為 (1,0) ，BOA60 ，質點 A 以 1 弧度

11、/秒的角速度按逆時針方向在單位圓上運動；質點 B 以 1 弧度 / 秒的角速度按順時針方向在單位圓上運動，過點A作 AA1y 軸于點 A1 ，過點 B 作 BB1y 軸于點 B1 ，（1）求經過 1 秒后，BOA 的弧度數；y（2）求質點 A, B 在單位圓上第一次相遇的時間；A（3）記 A1 , B1 的距離為 y ，請寫出 y 關于時間 t 的函數關系式【鞏固練習】OB x1 tan 60 cos90sin 45 cos 452已知角45 ，在區間 720,0 內找出所有與角有相同終邊的角3將表的分針撥快10 分鐘，則分針旋轉過程中形成的角的弧度數是_解析： 將表的分針撥快應按順時針方向旋

12、轉，為負角又因為撥快10 分鐘，故應轉過11的角為圓周的，即為× 2 .663答案： 32 cm2，則扇形的圓心角的弧度數是_4已知扇形的周長是6 cm，面積是l 2r 6，解析： 設扇形的半徑和弧長分別為r， l ，則易得 12lr 2，l 4，l 2，4或1.解得或故扇形的圓心角的弧度數是r 1r 2.答案：1或45已知角 和角 的終邊關于直線y x 對稱，且 ，則 sin _.3解析： 因為角 和角 的終邊關于直線y x 對稱，所以 2k(kZ )，又 5123，所以 2k6 (kZ )，即得 sin 2.1答案： 26設 是第三象限角，且cos cos ，則 是第 _象限角2

13、22解析： 因為 是第三象限角，所以cos2 cos2，所2為第二或第四象限角又因為以 cos2 0，知2為第二象限角答案：二第4頁共6頁7若角 和角 的終邊關于x 軸對稱，則角可以用 表示為 _答案： 2k (k Z )8已知 為第三象限的角，則在第 _象限2答案：二或四解析 是第三象限角， 180° k·360°<<270°k·360°(k Z ) 90° k·180°<2<135 ° k·180 °(k Z ) 當 k2m (m Z )時可得 9

14、0° m·360°<2<135 ° m·360 °，故 2的終邊在第二象限 當 k2m1 (m Z)時可得 270° m·360°<2<315 °m·360 °，故 2的終邊在第四象限綜上，可知 2是第二或第四象限的角9若 1 弧度的圓心角所對弦長等于2，則這個圓心角所對的弧長等于_答案：11sin 2解析設圓的半徑為r ， r ·sin1 r111.2 1.1. 弧長 l ·rsin2sin210已知扇形 AOB 的周長為 8，這

15、個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小為_解析： 設扇形 AOB 的半徑為 r ，弧長為 l ，圓心角為 ，111 l 2r 218 2因為 2rl 8，所以 S 扇 2lr 4l·2r 4(2) 4×(2) 4，l當且僅當 2r l，即 r 2 時，扇形面積取得最大值4.答案： 211某時鐘的秒針端點A 到中心點 O 的距離為 5cm,秒針均勻地繞點O 旋轉 , 當時間 t=0 時 ,點 A 與鐘面上標 12 的點 B重合 . 將 A、B 兩點間的距離d（ cm）表示成 t(s) 的函數 , 則 d= ,其中 t 0,60.答案：10 sint12已知601910 （ 1）把寫成k 360( k Z ,0360 ) 的形式；（ 2 ）求，使 與的終邊相同，且7200解：（ 1）19106360250 ；（2）110或47013一個扇形 OAB 的面積是1 cm2，它的周長是4 cm，求圓心角的弧度數和弦長AB.解： 設扇形的半徑為r cm，弧長為 l cm ，第5頁共6頁1則2lr 1，r 1，解得l 2r 4，l 2.l所以圓心角 r 2.如圖，過 O 作 OH AB 于 H ，則AOH 1 弧度所以 AH 1·sin 1sin 1(cm) ，所以 AB 2 sin 1(cm)