1、1.3 算法案例算法案例 第二課時第二課時 知識探究（一）知識探究（一）:輾轉相除法輾轉相除法思考思考1:18與與30的最大公約數是多少？你的最大公約數是多少？你是怎樣得到的？是怎樣得到的？知識探究（一）知識探究（一）:輾轉相除法輾轉相除法思考思考1:18與與30的最大公約數是多少？你的最大公約數是多少？你是怎樣得到的？是怎樣得到的？先用兩個數公有的質因數連續去除，先用兩個數公有的質因數連續去除，一直除到所得的商是互質數為止，然一直除到所得的商是互質數為止，然后把所有的除數連乘起來即為最大公后把所有的除數連乘起來即為最大公約數約數. 思考思考2: 對于對于8251與與6105這兩個數，由于這兩

2、個數，由于其公有的質因數較大，利用上述方法求其公有的質因數較大，利用上述方法求最大公約數就比較困難最大公約數就比較困難.注意到注意到8251=61051+2146，那么，那么8251與與6105這兩個數的公約數和這兩個數的公約數和6105與與2146的公約的公約數有什么關系？數有什么關系？思考思考3:又又6105=21462+1813，同理，同理，6105與與2146的公約數和的公約數和2146與與1813的公的公約數相等約數相等.重復上述操作，你能得到重復上述操作，你能得到8251與與6105這兩個數的最大公約數嗎？這兩個數的最大公約數嗎？8251=8251=610561051+1+2146

3、2146，思考思考3:又又6105=21462+1813，同理，同理，6105與與2146的公約數和的公約數和2146與與1813的公的公約數相等約數相等.重復上述操作，你能得到重復上述操作，你能得到8251與與6105這兩個數的最大公約數嗎？這兩個數的最大公約數嗎？8251=8251=610561051+1+21462146，61056105= =214621462+2+18131813，思考思考3:又又6105=21462+1813，同理，同理，6105與與2146的公約數和的公約數和2146與與1813的公的公約數相等約數相等.重復上述操作，你能得到重復上述操作，你能得到8251與與61

4、05這兩個數的最大公約數嗎？這兩個數的最大公約數嗎？21462146= =181318131+1+333333，8251=8251=610561051+1+21462146，61056105= =214621462+2+18131813，思考思考3:又又6105=21462+1813，同理，同理，6105與與2146的公約數和的公約數和2146與與1813的公的公約數相等約數相等.重復上述操作，你能得到重復上述操作，你能得到8251與與6105這兩個數的最大公約數嗎？這兩個數的最大公約數嗎？21462146= =181318131+1+333333，18131813= =3333335+5+1

5、48148，8251=8251=610561051+1+21462146，61056105= =214621462+2+18131813，思考思考3:又又6105=21462+1813，同理，同理，6105與與2146的公約數和的公約數和2146與與1813的公的公約數相等約數相等.重復上述操作，你能得到重復上述操作，你能得到8251與與6105這兩個數的最大公約數嗎？這兩個數的最大公約數嗎？21462146= =181318131+1+333333，333333= =1481482+2+3737，18131813= =3333335+5+148148，8251=8251=610561051+

6、1+21462146，61056105= =214621462+2+18131813，思考思考3:又又6105=21462+1813，同理，同理，6105與與2146的公約數和的公約數和2146與與1813的公的公約數相等約數相等.重復上述操作，你能得到重復上述操作，你能得到8251與與6105這兩個數的最大公約數嗎？這兩個數的最大公約數嗎？21462146= =181318131+1+333333，148148= =37374+0.4+0.333333= =1481482+2+3737，18131813= =3333335+5+148148，8251=8251=610561051+1+214

7、62146，61056105= =214621462+2+18131813，思考思考3:又又6105=21462+1813，同理，同理，6105與與2146的公約數和的公約數和2146與與1813的公的公約數相等約數相等.重復上述操作，你能得到重復上述操作，你能得到8251與與6105這兩個數的最大公約數嗎？這兩個數的最大公約數嗎？理論遷移理論遷移(1) 1515，600(2) 117，182例例1 用輾轉相除法求下列各數的最大用輾轉相除法求下列各數的最大公約數公約數.理論遷移理論遷移(1) 1515，600(2) 117，182例例1 用輾轉相除法求下列各數的最大用輾轉相除法求下列各數的最大

8、公約數公約數.答案答案：(1)15 (2)13例例2 求求325，130，270三個數的最大公約數三個數的最大公約數. 例例2 求求325，130，270三個數的最大公約數三個數的最大公約數. 因為因為325=1302+65，130=652，所所以以325與與130的最大公約數是的最大公約數是65.例例2 求求325，130，270三個數的最大公約數三個數的最大公約數. 因為因為325=1302+65，130=652，所所以以325與與130的最大公約數是的最大公約數是65.因為因為270=654+10，65=106+5，10=52，所以所以65與與270最大公約數是最大公約數是5. 例例2

9、求求325，130，270三個數的最大公約數三個數的最大公約數. 因為因為325=1302+65，130=652，所所以以325與與130的最大公約數是的最大公約數是65.因為因為270=654+10，65=106+5，10=52，所以所以65與與270最大公約數是最大公約數是5. 故故325，130，270三個數的最大公三個數的最大公約數是約數是5.知識探究（二）知識探究（二）:更相減損術更相減損術 思考思考1:設兩個正整數設兩個正整數mn，若，若m-n=k，則則m與與n的最大公約數和的最大公約數和n與與k的最大公約的最大公約數相等數相等.反復利用這個原理，可求得反復利用這個原理，可求得98

10、與與63的最大公約數為多少？的最大公約數為多少？知識探究（二）知識探究（二）:更相減損術更相減損術 98-63=3598-63=35，思考思考1:設兩個正整數設兩個正整數mn，若，若m-n=k，則則m與與n的最大公約數和的最大公約數和n與與k的最大公約的最大公約數相等數相等.反復利用這個原理，可求得反復利用這個原理，可求得98與與63的最大公約數為多少？的最大公約數為多少？知識探究（二）知識探究（二）:更相減損術更相減損術 98-63=3598-63=35，63-35=2863-35=28，思考思考1:設兩個正整數設兩個正整數mn，若，若m-n=k，則則m與與n的最大公約數和的最大公約數和n與

11、與k的最大公約的最大公約數相等數相等.反復利用這個原理，可求得反復利用這個原理，可求得98與與63的最大公約數為多少？的最大公約數為多少？知識探究（二）知識探究（二）:更相減損術更相減損術 98-63=3598-63=35，35-28=735-28=7，63-35=2863-35=28，思考思考1:設兩個正整數設兩個正整數mn，若，若m-n=k，則則m與與n的最大公約數和的最大公約數和n與與k的最大公約的最大公約數相等數相等.反復利用這個原理，可求得反復利用這個原理，可求得98與與63的最大公約數為多少？的最大公約數為多少？知識探究（二）知識探究（二）:更相減損術更相減損術 98-63=359

12、8-63=35，28-7=2128-7=21，35-28=735-28=7，63-35=2863-35=28，思考思考1:設兩個正整數設兩個正整數mn，若，若m-n=k，則則m與與n的最大公約數和的最大公約數和n與與k的最大公約的最大公約數相等數相等.反復利用這個原理，可求得反復利用這個原理，可求得98與與63的最大公約數為多少？的最大公約數為多少？知識探究（二）知識探究（二）:更相減損術更相減損術 98-63=3598-63=35，21-7=1421-7=14，28-7=2128-7=21，35-28=735-28=7，63-35=2863-35=28，思考思考1:設兩個正整數設兩個正整數m

13、n，若，若m-n=k，則則m與與n的最大公約數和的最大公約數和n與與k的最大公約的最大公約數相等數相等.反復利用這個原理，可求得反復利用這個原理，可求得98與與63的最大公約數為多少？的最大公約數為多少？知識探究（二）知識探究（二）:更相減損術更相減損術 98-63=3598-63=35，14-7=7.14-7=7.21-7=1421-7=14，28-7=2128-7=21，35-28=735-28=7，63-35=2863-35=28，思考思考1:設兩個正整數設兩個正整數mn，若，若m-n=k，則則m與與n的最大公約數和的最大公約數和n與與k的最大公約的最大公約數相等數相等.反復利用這個原理，可求得反復利用這個原理，可求得98與與63的最大公約數為多少？的最大公約數為多少？“更相減損術更相減損術”在中國古代數學專著在中國古代數學