1、 計算方法計算方法 鄭海標鄭海標數學學院數學學院Email：n計算的目的不在于數據，而在于洞察事物計算的目的不在于數據，而在于洞察事物。 理查德理查德哈明哈明nThe purpose of computing is insight，not numbers. Richard Wesley Hamming理論分析理論分析 科學實驗科學實驗 科學計算科學計算計算方法課程簡介計算方法課程簡介n教材教材 數值計算數值計算方法方法 李乃成李乃成 鄧建中編鄧建中編n參考書目參考書目 數值計算數值計算方法方法 馮康等編馮康等編 數值數值分析簡明教程分析簡明教程 王能超編王能超編 Numerical Analy

2、sis (Seventh Edition) 數值分析數值分析 （第七版（第七版 影印版）影印版） Richard L. Burden & J. Douglas Faires （高等教育出版社）（高等教育出版社）計算方法學什么？計算方法=數值分析=科學計算n計算方法n數值逼近n數值代數或者矩陣計算n微分方程數值解法n非線性數值解法 成績的評定方法n期末考試：70% 閉卷n平時成績：30%=10%平時 +20%上機n上機： 周四 7：00-10:30 理科樓二樓西側機房 考試： 暫定十月底十一月初第一講第一講 引論引論引論n數值計算的研究內容n誤差與有效數字n數值算法設計要點1 1、數值計

3、算的研究內容、數值計算的研究內容研究過程 （理論上有解，而無求解公式或計算（理論上有解，而無求解公式或計算量過大難以用手工實現的數學問題）量過大難以用手工實現的數學問題）實際問題數學模型數值分析理論程序設計上機計算重點內容重點內容研究并求解數學問題的研究并求解數學問題的數值（近似）解的方法數值（近似）解的方法地球外部大氣流動模型地球外部大氣流動模型飛機外形優化設計問題飛機外形優化設計問題研究內容n線性方程組的直接法n插值方法n數值積分n常微分方程的差分方法n方程求根的迭代法n線性方程組的迭代法數值分析課程的期望n掌握各種解決數學問題的數值方法n對近似解進行評估n在計算機上實現求解n仿真模擬2

4、2、誤差與有效數字、誤差與有效數字誤差無處不在防不勝防誤差無處不在防不勝防例例 (病態問題)（系數保留小數點后4位,再精確計算）x1=x2=x3=1 x1=1.1788, x2= 0.0006, x3= 1.9658. 病態問題病態問題:失之毫厘謬之千里12312312349321949 36440360336310614144107202137693739401036003600 xxxxxxxxx1231231231.36110.75000.52502.63610.75000.43600.30001.47360.52500.30000.21361.0386xxxxxxxxxa. 誤差來源與

5、分類誤差來源與分類 從實際問題中抽象出數學模型從實際問題中抽象出數學模型 模型誤差模型誤差 通過測量得到模型中參數的值通過測量得到模型中參數的值 觀測誤差觀測誤差 求求(數學表達的數學表達的)近似解近似解 方法誤差方法誤差 (截斷誤差截斷誤差) 模型的準確解模型的準確解與用與用數值方法求得的準確解數值方法求得的準確解之差稱為之差稱為“截斷誤差截斷誤差”。 機器字長有限機器字長有限 舍入誤差舍入誤差（理論計算誤差）（理論計算誤差）模型誤差 ( Modeling Error )n處理實際問題時，要建立數學模型，通常模處理實際問題時，要建立數學模型，通常模型只是近似的。由此產生的型只是近似的。由此產

6、生的數學模型解數學模型解與與實實際問題的解際問題的解 之間的誤差叫之間的誤差叫模型誤差模型誤差。n例如例如 是是實際問題的解，而若數學模型的解是實際問題的解，而若數學模型的解是 由此由此產生的誤差叫作模型誤差。產生的誤差叫作模型誤差。8656sin,010yxxx656,010 ,yxx觀測誤差 ( Measurement Error )n數學模型中包含某些變量，如時間、長度、數學模型中包含某些變量，如時間、長度、電壓等，它們一般是通過觀測來獲得。由于電壓等，它們一般是通過觀測來獲得。由于觀測得到的數據與實際數據之間有誤差，這觀測得到的數據與實際數據之間有誤差，這種誤差叫種誤差叫觀測誤差觀測誤

7、差。截斷誤差 ( Truncation Error)n求解數學模型所用的數值計算方法，如果是求解數學模型所用的數值計算方法，如果是一種近似的方法，只能得到模型的近似解，一種近似的方法，只能得到模型的近似解，由此產生的誤差稱為由此產生的誤差稱為 截斷誤差截斷誤差 或或 方法誤差方法誤差。71513114,9171513114舍入誤差 ( Roundoff Error )n由于計算機的字長有限，參加運算的數據及其運算結果在計算機中存放會產生誤差。這種誤差叫舍入誤差舍入誤差 或 計算誤差計算誤差。n例如，在 16 位微機上計算，單精度實數存放僅有 7 位有效數字。在其上運算，會有1 3 0.333

8、333 3, (1.000 002)2 1.000 004 0;后者的準確結果是 4 1012。dxex 102 近近似似計計算算: :例例解法之一解法之一：將將 作作Taylor展開后再積分展開后再積分2xe 91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R4dxex 102 近近似似計計算算: :例例,104 Sdxe2x取取則則 111!5191!414R稱為稱為截斷誤差截斷誤差 ( Truncation Error ).005091!414.R 這這里里7430024010333014211013114.S 0010200050. |

9、舍入誤差舍入誤差 ( Roundoff Error ) |006000100050102.dxe-x 的的總總體體誤誤差差計計算算= 0.747 由截掉部分引由截掉部分引起起( excluded terms )由留下部分引由留下部分引起起( included terms )b. 誤差誤差與誤差限與誤差限 絕對誤差絕對誤差xxe *其中x為精確值，x*為x的近似值。 10006074302.dxex，例如：，例如：*xx 上常記為上常記為|*e*，稱為，稱為絕對誤差限，絕對誤差限，一般地，一般地， 的上限記為的上限記為e*0 時，時，x*稱為強近似值，稱為強近似值，e*0 時，時，x*稱為弱近似

10、值稱為弱近似值 由于通常準確值 x 是不知道的，所以誤差e* 的準確值也不可能求出，但根據具體情況根據具體情況，可事先估計出誤差事先估計出誤差的范圍的范圍誤差絕對值不能超過某個正數 ，我們把 叫做誤差絕對值的“上界”，或稱“誤差限”。 *xx*xxx *工程工程c. 相對誤差相對誤差與相對誤差限與相對誤差限xeer* |*xr x 的的相對誤差限相對誤差限 常定義為常定義為*r *re*xexe*xe*xeer 實際計算中，相對誤差通常取為：實際計算中，相對誤差通常取為：相對誤差相對誤差 d. 有效數字有效數字 若近似值 x*的誤差限是某一位的半個單位,該位到 x* 的第一位非零數字共有 n

11、位,就說 x*有 n 位有效數字.1415.3*;8979321415926535.3 例例:問：問： 有幾位有效數字？請證明你的結論。有幾位有效數字？請證明你的結論。* 43* 用科學計數法，記用科學計數法，記 （其中（其中 ）。若）。若 （即（即 的截取按四舍五入規則），則的截取按四舍五入規則），則 有有n 位有效數字，精確到位有效數字，精確到 。mnaa.ax10021* 01 anm.xx 1050|*na*xnm 10注：關于有效數字有以下幾點說明：注：關于有效數字有以下幾點說明：1、用四舍五入法取準確值的前、用四舍五入法取準確值的前n位作為近似值，則位作為近似值，則x*必必有有n位

12、有效數字；位有效數字；2、有效數字位數相同的兩個近似數，絕對誤差限不一、有效數字位數相同的兩個近似數，絕對誤差限不一定相同；定相同；3、將任何數乘以、將任何數乘以10m(m為整數為整數)，等于移動該數的小數，等于移動該數的小數點，并不影響它的有效數字的位數；點，并不影響它的有效數字的位數；4、準確值被認為具有無窮位有效數字、準確值被認為具有無窮位有效數字.e. 有效數字有效數字與相對誤差的關系與相對誤差的關系 有效數字有效數字 相對誤差限相對誤差限11121102102101001050* nnmnnmra.aaa.a.x*已知已知 x* 有有 n 位位有效數字有效數字，則其，則其相對誤差限相

13、對誤差限為為 相對誤差限相對誤差限 有效數字有效數字nmmnmnr.aaa.aaxxx 105010)1()1(210100)1(210|*|*|*|111121111110)1(21* nra已知已知 x* 的的相對誤差限相對誤差限可寫為可寫為則則可見可見 x* 至少至少有有 n 位位有效數字有效數字。3.數值算法設計要點數值算法設計要點算法設計的幾算法設計的幾點注意事項點注意事項1. 避免相近二數相減避免相近二數相減例：例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有，各有5位有效數字。位有效數字。 而而 a2 a1 = 0.00001，只剩下，只剩下1位有效數字。位有效數字。

14、 幾種經驗性避免方法：幾種經驗性避免方法：;xxxx ;1lnlnln xxx當當 | x | 1 時：時：;2sin2cos12xx .6121112xxxex2. 避免小分母避免小分母 : 分母小會造成舍入誤差增大分母小會造成舍入誤差增大3. 避免大數避免大數吃吃小數小數例：用單精度計算例：用單精度計算 的根。的根。010)110(992 xx精確解為精確解為110291 x,x x 3.81574 y 0.0001= 38157.4 x 3.81574 y+ y 0.0001+0.00001= 34688.5 算法算法1 1：利用求根公式利用求根公式aacbbx242 在計算機內，在計算

15、機內，109存為存為0.1 1010，1存為存為0.1 101。做加法時，做加法時，兩加數的指數先向大指數對齊，再將浮點部分相加。即兩加數的指數先向大指數對齊，再將浮點部分相加。即1 的指數部分須變為的指數部分須變為1010，則：，則：1 = 0.0000000001 1010，取，取單精度時就成為：單精度時就成為： 109+1=0.10000000 1010+0.00000000 1010=0.10000000 1010024,102422921 aacbbxaacbbx大數大數吃吃小數小數算法算法2：先解出先解出 再利用再利用2914102bbacxa 11010991221 xacxac

16、xx求和時求和時從小到大從小到大相加，可使和的誤差減小。相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1 + 2 + 3 + + 40 + 1094. 先化簡再計算，減少步驟，避免誤差積累。先化簡再計算，減少步驟，避免誤差積累。一般來說，計算機處理下列運算的速度為一般來說，計算機處理下列運算的速度為 exp ,例：多項式求值：給定例：多項式求值：給定x x, , 求求n n次多項式的值次多項式的值方法方法1 1：直接求和法；：直接求和法；方法方法2 2：利用前一次求冪的結果進行計算；：利用前一次求冪的結果進行計算；方法方法3 3：秦

17、九韶方法；：秦九韶方法；2012( )nna xaPaaxxx5. 選用穩定的算法。選用穩定的算法。.210110,n,dxexeIxnn 例：計算例：計算11.nnIn I公式一：公式一：111111000011dd1d .nxnxnxnxnx exx en xexxexeee 此公式成立此公式成立, 因為因為 10011d1063212056 xIex.ee記為記為*0,I80000 5 10 .EII.則初始誤差則初始誤差 1101001111dd ,(1)1nnnnxexIxexIeee nn39141423151959424941412276480713163289600012103

18、0592000111088128000101.367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.II.II.II.II.II.II.II ? ! !考察第考察第 n 步的誤差步的誤差nE| )1()1( |*11* nnnnnnInIIIE1nn|E|(unstable algorithm), 我們有責任改變。我們有責任改變。 這種算法是這種算法是不穩定的算法不穩定的算法 迅速積累迅速積累, ,可見初始的小擾動可見初始的小擾動801050| .E誤差遞增誤差遞增. .0!|nE2(1)nn nE11,(1)1NIe NN*111,2(1)1NNI

19、Ie NN可取可取當 N 時，*|0.NNNEII1111(1)nnnnIn IIIn 公式公式方法：先估計一個方法：先估計一個IN , ,再反推要求的再反推要求的 In ( n N )。 避免誤差積累的方法避免誤差積累的方法101nxnIx e dxe11010011dd ,nnnxexIxexee632120560)1(11367879440)1(210838771150)1(1110773517320)1(1210717792140)1(1310668702200)1(1410638169180)1(151042746233016116121*1*0*2*1*11*10*12*11*13