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文檔簡介

1、均值不等式均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數學中的一個重要公式：公式內容為HnGnAnQn，即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數。中文名均值不等式外文名mean inequality表達式HnGnAnQn應用學科數學適用領域范圍不等式定義 被稱為均值不等式。·即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數，簡記為“調幾算方”。其中： ，被稱為調和平均數。 ，被稱為幾何平均數。 ，被稱為算術平均數。 ，被稱為平方平均數。證明關于均值不等式的

2、證明方法有很多，數學歸納法（第一數學歸納法或反向歸納法）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以證明均值不等式，在這里簡要介紹數學歸納法的證明方法：（注：在此證明的，是對n維形式的均值不等式的證明方法。）用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。引理：設A0，B0，則  ，且僅當B=0時取等號。注：引理的正確性較明顯，條件A0，B0可以弱化為A0，A+B0，有興趣的同學可以想想如何證明（用數學歸納法）。原題等價于：  , 當且僅當  時取等號。當n=2時易證；假設當n=k時命題成立，即  ,

3、 當且僅當  時取等號。那么當n=k+1時，不妨設  是  、  .  中最大者，則 設  ，  ，根據引理 ，當且僅當  且  時，即  時取等號。利用琴生不等式法也可以很簡單地證明均值不等式，同時還有柯西歸納法等等方法。推廣一般形式設函數  (  )；  。 是  上的連續單調遞增函數

4、。  時，  。可以注意到，minanHnGnAnQnmaxan僅是上述不等式的特殊情形。特例對實數a,b，有  （當且僅當a=b時取“=”號），  （當且僅當a=-b時取“=”號）對非負實數a,b，有  ，即 對非負實數a,b，有 對非負實數a,b，ab,有 對非負實數a,b，有 對實數a,b，有 對實數a,b,c，有 對非負數a,b，有 對非負數a,b,c，有 在幾個特例中，最著名的當屬算術幾何均值不等式（AM-GM不等式）：當n=

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