1、 第三章第三章 矩陣的初等變換與線性方程組矩陣的初等變換與線性方程組3.1 矩陣的初等變換矩陣的初等變換 3.2 初等矩陣初等矩陣3.3 矩陣的秩矩陣的秩3.4 線性方程組的解線性方程組的解3.1 矩陣的初等變換矩陣的初等變換引例引例求解線性方程組求解線性方程組 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342)1()1(2 132 , 97963, 232, 22, 424321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342)(1B2 132 33 14 , 3433, 6355, 0222, 424324

2、324324321xxxxxxxxxxxxx1342)(2B5 221 33 422 , 3, 62, 0, 42444324321xxxxxxxxx1342)(3B32 443 , 00, 3, 0, 4244324321xxxxxxxx1342)(4B于是解得于是解得 33443231xxxxx.3為任意取值為任意取值其中其中x方程組的解可記作方程組的解可記作或令或令,3cx ,3344321 cccxxxxx 30340111cx即即.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中c小結(jié)：小結(jié)：1上述解方程組的方法稱為消元法上述解方程組的方法稱為消元法.2始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如始終把方程組看

3、作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換下三種變換（1）交換方程次序；）交換方程次序；ij（與相互換）（與相互換）（2）以不等于的數(shù)乘某個(gè)方程；）以不等于的數(shù)乘某個(gè)方程；（以換（以換 ）iik（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍倍j（以替換）（以替換）ik i3上述三種變換都是可逆的上述三種變換都是可逆的ji)(A若若),(B)(B則則);(Aji)(A若若),(Bik )(B則則);(Aik k )(A若若),(Bji)(B則則).(Ak ji 由于三種變換都是可逆的，所以變換前由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這的方程組與變換后的方程組是同

4、解的故這三種變換是同解變換三種變換是同解變換.定義定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換下面三種變換稱為矩陣的初等行變換: ）；記記作作兩兩行行對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)兩兩行行（對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以數(shù)數(shù) k）記記作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）記記作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 同理可定義矩陣的初等列變換同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把所用記號(hào)是把“r”換成換成“c”)定義定義2 矩陣的矩陣的初等列變換初等列變換與與初等

5、行變換初等行變換統(tǒng)統(tǒng)稱為稱為初等變換初等變換初等變換的逆變換仍為初等變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同且變換類型相同jirr ;jirr 逆變換逆變換kri 逆變換逆變換;)1(krkrii 或或jikrr 逆變換逆變換.)(jijikrrrkr 或或等價(jià)，記作等價(jià)，記作與與就稱矩陣就稱矩陣，矩陣矩陣經(jīng)有限次初等變換變成經(jīng)有限次初等變換變成如果矩陣如果矩陣BABABA；反反身身性性）（A A 1A;B , B A 2則則若若對(duì)稱性對(duì)稱性）（C. AC,BB, A 3則則若若）傳傳遞遞性性（等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：.BABA行行（列列）等等價(jià)價(jià)與與，就就稱稱矩矩陣陣成成矩

6、矩陣陣變變換換變變經(jīng)經(jīng)有有限限次次初初等等行行（列列）如如果果矩矩陣陣用矩陣的初等行變換用矩陣的初等行變換 解方程組（解方程組（1）：）： 97963422644121121112B21rr 23 r197963211322111241211B 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 331000620000111041211B 4 00000310000111041211B 43rr 342rr 5 00000310003011040101B 21rr 32rr 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的方方程程組組為為5B 33443231xxxxx方

7、程組的解可記作方程組的解可記作或令或令,3cx 3344321cccxxxxx 30340111c.為為任任意意常常數(shù)數(shù)其其中中c.54都都稱稱為為行行階階梯梯形形矩矩陣陣和和矩矩陣陣BB特點(diǎn)：特點(diǎn)：1）可劃出一條階）可劃出一條階梯線，線的下方全梯線，線的下方全為零；為零；2）每個(gè)臺(tái)階）每個(gè)臺(tái)階 只有一行，只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元零元5 00000310003011040101B .1 5的的其其他他元元素素都都為為零零列列，且且這這些些非非零零

8、元元所所在在的的零零行行的的第第一一個(gè)個(gè)非非零零元元為為即即非非還還稱稱為為行行最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形矩矩陣陣，行行階階梯梯形形矩矩陣陣B.,A nm和和行行最最簡(jiǎn)簡(jiǎn)形形變變換換把把他他變變?yōu)闉樾行须A階梯梯形形總總可可經(jīng)經(jīng)過過有有限限次次初初等等行行對(duì)對(duì)于于任任何何矩矩陣陣 注意：注意：行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行行最簡(jiǎn)形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過初等列行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形nmrOOOEF .,的行數(shù)的行數(shù)行階梯形矩陣中非零行行階梯形矩陣中非零行就是就是三個(gè)數(shù)唯

9、一確定，其中三個(gè)數(shù)唯一確定，其中此標(biāo)準(zhǔn)形由此標(biāo)準(zhǔn)形由rrnm3.2 3.2 初等矩陣初等矩陣定義定義 由單位矩陣由單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換得到的方經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣陣稱為初等矩陣. .E三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣. 行行（列列）上上去去乘乘某某行行（列列）加加到到另另一一以以數(shù)數(shù)乘乘某某行行或或某某列列；以以數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)調(diào)調(diào)兩兩行行或或兩兩列列；kk. 30. 2. 1對(duì)調(diào)兩行或兩列對(duì)調(diào)兩行或兩列、1，得得初初等等方方陣陣兩兩行行，即即中中第第對(duì)對(duì)調(diào)調(diào))rr(j , iEji 1101111011),(jiE行行第第i行行第第 j 02乘乘某

10、某行行或或某某列列、以以數(shù)數(shù) k).()(0 kiEkriki矩矩陣陣，得得初初等等行行乘乘單單位位矩矩陣陣的的第第以以數(shù)數(shù) 1111)(kkiE行行第第i上上去去列列加加到到另另一一行行列列乘乘某某行行、以以數(shù)數(shù))()(03 k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)kcc(jiEk)krr(ijEkijji 1111)(kkijE行行第第i行行第第j 定理定理1 1 設(shè)設(shè) 是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，對(duì)矩陣，對(duì) 施行一施行一次初等行變換，相當(dāng)于在次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對(duì)階初等矩陣；對(duì) 施行一次初等列變換

11、，相當(dāng)于施行一次初等列變換，相當(dāng)于在在 的右邊乘以相應(yīng)的的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣階初等矩陣. .nm mnAAAAA ),(),(1；則則的的逆逆變變換換是是其其本本身身，變變換換jiEjiErrji );1()(11kiEkiEkrkrii 則則，的的逆逆變變換換為為變變換換. )()()(1kijEkijErkrkrrjiji 則則，的的逆逆變變換換為為變變換換 定理定理2 2 設(shè)設(shè)A A為可逆方陣，則存在有限個(gè)初等為可逆方陣，則存在有限個(gè)初等方陣方陣.,2121llPPPAPPP 使使.,: BPAQQnPmBAnm 使使階可逆方陣階可逆方陣及及階可逆方陣階可逆方陣存在存在的充分必要

12、條件是的充分必要條件是矩陣矩陣推論推論求逆矩陣的方求逆矩陣的方法法)A,E()E,A(r1 , 1作作初初等等列列變變換換，則則可可對(duì)對(duì)矩矩陣陣如如果果要要求求 CACAY,CA 1 CAE列變換列變換.1 CAY即即可可得得作作初初等等行行變變換換，也也可可改改為為對(duì)對(duì)),(TTCA),)( ,(),1TTTTCAECA （列變換列變換TT1C)( AYT即可得即可得,C)(T1 TA3.3 矩陣的秩矩陣的秩一、矩陣秩的概念一、矩陣秩的概念.,Anm的的秩秩非非零零行行的的行行數(shù)數(shù)稱稱為為矩矩陣陣數(shù)數(shù)是是唯唯一一確確定定的的梯梯形形矩矩陣陣中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行階階把把它它變

13、變?yōu)闉樾行须A階變變換換總總可可經(jīng)經(jīng)過過有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩陣陣 ., 12階子式階子式的的稱為矩陣稱為矩陣階行列式，階行列式，的的中所處的位置次序而得中所處的位置次序而得變它們?cè)谧兯鼈冊(cè)诓桓牟桓脑卦靥幍膫€(gè)處的個(gè)），位于這些行列交叉），位于這些行列交叉列（列（行行中任取中任取矩陣矩陣在在定義定義kAkAknkmkkkAnm . 個(gè)個(gè)階階子子式式共共有有的的矩矩陣陣knkmCCkAnm . )(0102等等于于零零并并規(guī)規(guī)定定零零矩矩陣陣的的秩秩的的秩秩，記記作作稱稱為為矩矩陣陣的的最最高高階階非非零零子子式式，數(shù)數(shù)稱稱為為矩矩陣陣，那那末末于于）全全等等階階子子式式（如如果果

14、存存在在的的話話，且且所所有有式式階階子子的的中中有有一一個(gè)個(gè)不不等等于于設(shè)設(shè)在在矩矩陣陣定定義義ARArADrDkA .)( 子子式式的的最最高高階階數(shù)數(shù)中中不不等等于于零零的的是是的的秩秩矩矩陣陣AARAnm ，對(duì)于對(duì)于TA).()(ARART 顯有顯有，階階可可逆逆矩矩陣陣設(shè)設(shè)An , 0 A,AA的的最最高高階階非非零零子子式式為為,)(nAR .,EAEA的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形為為單單位位陣陣故故.為為滿滿秩秩矩矩陣陣，故故稱稱可可逆逆矩矩陣陣可可逆逆矩矩陣陣的的秩秩等等于于階階數(shù)數(shù).奇奇異異矩矩陣陣為為降降秩秩矩矩陣陣二、矩陣秩的求法二、矩陣秩的求法、 . ,1 BRARBA 則則若若定

15、定理理初等變換求矩陣秩的方法：初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.的的一一個(gè)個(gè)最最高高階階非非零零子子式式秩秩，并并求求的的求求矩矩陣陣設(shè)設(shè)AAA,41461351021632305023 例例 41461351021632305023 A解解：4241rrrr 141332rrrr 1281216011791201134041461 233rr 244rr 84000840001134041461 34rr 00000840001134041461 由

16、階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知. 3)( AR . 的的一一個(gè)個(gè)最最高高階階子子式式求求 A , 3)( AR . 3階階的的最最高高階階非非零零子子式式為為知知A階階子子式式共共有有的的 3A . 403534個(gè)個(gè) CC 的行階梯形矩陣，的行階梯形矩陣，考察考察A階梯形矩陣為階梯形矩陣為的行的行則矩陣則矩陣記記),(),(42154321aaaBaaaaaA 000400140161, 3)( BR .3階非零子式階非零子式中必有中必有故故 B.4個(gè)個(gè)且且共共有有的的前前三三行行構(gòu)構(gòu)成成的的子子式式計(jì)計(jì)算算B623502523 1106502523 116522 .

17、016 則這個(gè)子式便是則這個(gè)子式便是 的一個(gè)最高階非零子式的一個(gè)最高階非零子式.A3.4 線性方程組的解線性方程組的解個(gè)個(gè)方方程程的的線線性性方方程程組組個(gè)個(gè)未未知知數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)有有mn)(bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn122112222212111212111 bAxx)( 為為未未知知元元的的向向量量方方程程式式可可以以寫寫成成以以向向量量1bAxn 元線性方程組元線性方程組定理定理);b,A(R)A(R)i ( 無解的充分必要條件是無解的充分必要條件是;n)b,A(R)A(R)ii( 件件是是有有唯唯一一解解的的充充分分必必要要條條.n)b,A(R)A(R)i

18、ii( 條條件件是是有有無無限限多多解解的的充充分分必必要要 .nARxAnnm 矩矩陣陣的的秩秩的的充充分分必必要要條條件件是是系系數(shù)數(shù)有有非非零零解解元元齊齊次次線線性性方方程程組組定定理理0由上述定理可得齊次和非齊次線性方程組解的定理由上述定理可得齊次和非齊次線性方程組解的定理 .b,ABAbxAnnm的的秩秩陣陣的的秩秩等等于于增增廣廣矩矩矩矩陣陣的的充充分分必必要要條條件件是是系系數(shù)數(shù)有有解解元元非非齊齊次次線線性性方方程程組組定定理理 例例1 求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組.034022202432143214321 xxxxxxxxxxxx 341122121221A1312