2024年7月濟南市高二期末學習質量檢測數學試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.大明湖是濟南三大名勝之一，素有“泉城明珠”之美譽，自2017年1月1日起全面向社會免費開放.景區有東南西北4個大門，每個大門進去都有不同景致，小明從一個門進，另一個門出，則不同進出方式的種數為（）A7 B.8 C.12 D.162.函數在點處的切線斜率為（）A. B.0 C.1 D.3.下列殘差滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定的是（）A. B.C. D.4.濟南市某高中組織全部學生參加公益活動，其中高一、高二、高三年級人數之比為4：3：3，這三個年級分別又有20%，30%，40%的學生參加公益活動中的環保活動.從三個年級中任選一名學生，該學生參加環保活動的概率是（）A.27% B.28% C.29% D.30%5.隨機變量X的分布列為，，.若，則（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.86.某城市高中數學統考，假設考試成績服從正態分布.如果按照的比例將考試成績由高到低分為四個等級，那么等級的最高分數線約為（）參考數據：若，則A.71 B.78 C.85 D.927.人們很早以前就開始探索高次方程的數值求解問題.對于方程，如果用二分法求近似解，給定初始區間，若精確度，則至少需要經過4次迭代才能求出其近似解.牛頓在《流數法》一書中用“作切線”的方法求高次方程的近似解.從函數的觀點看，給定一個初始值，在橫坐標為的點處作函數的切線，切線與x軸交點的橫坐標就是，用代替重復上面的過程得到，一直繼續下去得到，，…，.它們越來越逼近函數的零點r，當時，或即為方程的近似解.現給定初始值，利用牛頓法求的近似解，至少需要幾次迭代也能達到同樣的精確度（）A.1 B.2 C.3 D.48.函數有兩個極值點，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分.9.的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式共有7項B.展開式的二項式系數的和為128C.展開式中的系數為14D.展開式中第3項或者第4項的二項式系數最大10.下列函數中，有兩個零點的是（）A. B.C. D.11.設A，B是兩個隨機事件，，，下列說法正確的是（）A.若A，B相互獨立，，，則B.若A，B互斥，，，則C.若，則D.若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.從0，1，2，3，4，5，6中任取3個數字，可以組成的沒有重復數字的三位數的個數是________.（用數字作答）13.袋子中有大小形狀完全相同的2個白球和4個黑球，從中任取3個球，1個白球得2分，1個黑球得1分.記X為取出的3個球的得分總和，則________.14.以半徑為R，圓心角為α的扇形鐵皮為圓錐的側面，制成一個圓錐形容器.當扇形的圓心角α為________時，容器的容積最大.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.一個質點從數軸上的原點0開始移動，通過拋擲一枚質地均勻的硬幣決定質點向左或者向右移動.若硬幣正面向上，則質點向右移動一個單位；若硬幣反面向上，則質點向左移動一個單位.拋擲硬幣4次后，質點所在位置對應數軸上的數記為隨機變量，求：（1）質點位于2位置的概率；（2）隨機變量的分布列和期望.16.函數.（1）當時，求的單調區間；（2）當時，記在區間上的最大值為M，最小值為m，求的取值范圍.17.長時間近距離看電子產品會影響視力.泉泉調查了某校1000名學生，發現40%的學生近視；而該校20%的學生每天近距離看電子產品時間超過1h，這些人的近視率為50%.（1）請完成下列2×2列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，判斷近視與每天近距離看電子產品時間超過1h是否有關聯；近視每天近距離看電子產品時間超過1h合計是否是

否

合計

1000（2）研究發現，近視兒童每年眼軸的增速要大于非近視兒童，長時間近距離看電子產品會導致眼軸快速增長，最終影響視力.高度近視者的眼軸長度一般大于26mm.下圖是每天近距離看電子產品時間超過1h近視兒童和非近視兒童6~16歲的眼軸生長發育散點圖.①根據散點圖判斷，和哪一個更符合每天近距離看電子產品時間超過1h的近視兒童的眼軸生長發育情況？（給出判斷即可，不必說明理由）②根據①中的判斷結果，建立該類近視兒童眼軸長度y（單位：mm）關于年齡x（，且）的經驗回歸方程；③根據②中的結果，估計該類近視兒童開始高度近視時的年齡.（結果保留整數）參考公式及數據：（ⅰ），，α0.010.0050.00166357.87910.828（ⅱ）回歸方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為：，；（ⅲ）散點圖1中，；散點圖2中，.18.將函數的圖象繞坐標原點逆時針旋轉后，所得曲線仍然是一個函數的圖象，即函數的圖象與直線至多有1個交點，則稱函數具有“α旋轉不變性”.（1）證明：函數，具有“旋轉不變性”；（2）若函數具有“旋轉不變性”，求m的取值范圍.19.某校數學興趣小組的同學對楊輝三角性質進行探究發現：“第n行各數平方和等于第2n行中間的數，即：”，證明如下.證明：考慮多項式中的系數，一方面：代數式中，的系數為.另一方面：代數式中，的系數為.因為，所以.所以.（1）如果證明過程中考慮中的系數，能得到的組合恒等式為________.請先填空，再構造一個實際背景，對所得恒等式的意義作出解釋；（2）證明：①；②.注：組合數，若，則.2024年7月濟南市高二期末學習質量檢測數學試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.大明湖是濟南三大名勝之一，素有“泉城明珠”之美譽，自2017年1月1日起全面向社會免費開放.景區有東南西北4個大門，每個大門進去都有不同景致，小明從一個門進，另一個門出，則不同進出方式的種數為（）A.7 B.8 C.12 D.16【答案】C【解析】【分析】根據分步乘法計數原理求解即可.【詳解】由題意，分兩步完成，第一步選一個大門進去有4種選法，第二步選一個大門出去有3種選法，所以由分步乘法計數原理可知共有種.故選：C2.函數在點處的切線斜率為（）A. B.0 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】求出函數導數，代入即可得解.【詳解】因為，所以，所以.故選：A3.下列殘差滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差假定的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據一元線性回歸模型對隨機誤差的假定即可判斷結果.【詳解】圖A顯示殘差與觀測時間有非線性關系，應在模型中加入時間的非線性函數部分；圖B說明殘差的方差不是一個常數，隨觀測時間變大而變大；圖C顯示殘差與觀測時間有線性關系，應將時間變量納入模型；圖D的殘差較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區域內，可見D滿足一元線性回歸模型對隨機誤差的假定．故選：D．4.濟南市某高中組織全部學生參加公益活動，其中高一、高二、高三年級人數之比為4：3：3，這三個年級分別又有20%，30%，40%的學生參加公益活動中的環保活動.從三個年級中任選一名學生，該學生參加環保活動的概率是（）A.27% B.28% C.29% D.30%【答案】C【解析】【分析】根據已知條件結合全概率公式求解即可.【詳解】由題意可得從三個年級中任選一名學生，該學生參加環保活動的概率是.故選：C5.隨機變量X的分布列為，，.若，則（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8【答案】B【解析】【分析】根據題意可得求出，再利用方差公式可求得結果.【詳解】因為隨機變量X的分布列為，，，，所以，解得，所以.故選：B6.某城市高中數學統考，假設考試成績服從正態分布.如果按照的比例將考試成績由高到低分為四個等級，那么等級的最高分數線約為（）參考數據：若，則.A.71 B.78 C.85 D.92【答案】C【解析】【分析】由正態分布的對稱性即可求解.【詳解】因為等級概率為，且服從正態分布,且,所以等級范圍在,所以等級的最高分數線約為.故選：C.7.人們很早以前就開始探索高次方程的數值求解問題.對于方程，如果用二分法求近似解，給定初始區間，若精確度，則至少需要經過4次迭代才能求出其近似解.牛頓在《流數法》一書中用“作切線”的方法求高次方程的近似解.從函數的觀點看，給定一個初始值，在橫坐標為的點處作函數的切線，切線與x軸交點的橫坐標就是，用代替重復上面的過程得到，一直繼續下去得到，，…，.它們越來越逼近函數的零點r，當時，或即為方程的近似解.現給定初始值，利用牛頓法求的近似解，至少需要幾次迭代也能達到同樣的精確度（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用切點和斜率求得切線方程，結合牛頓法求得、，即可得解.【詳解】令，則，，，所以曲線在點處的切線方程為，令，得.又，，所以曲線在點處的切線方程為，令，解得，因為，所以利用牛頓法求的近似解，至少需要次迭代也能達到同樣的精確度.故選：B.8.函數有兩個極值點，則實數a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得有兩個不等的正根，即有兩個不等的正根，設，利用導數求出的單調區間，畫出大致圖象，結合圖象求解即可.【詳解】由，得，因為有兩個極值點，所以有兩個不等的正根，即有兩個不等的正根，令，則，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，當時，，當時，，所以的大致圖象如圖所示，由圖可知當時，與的圖象有兩個不同的交點，所以當時，有兩個極值點.故選：D【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數的綜合問題，考查利用導數解決極值點問題，考查利用導數求函數的單調區間，解題的關鍵是將問題轉化為有兩個不等的正根，然后構造函數，利用函數圖象求解，考查數形結合的思想，屬于較難題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分.9.的展開式，下列說法正確的是（）A.展開式共有7項B.展開式的二項式系數的和為128C.展開式中的系數為14D.展開式中第3項或者第4項的二項式系數最大【答案】BC【解析】【分析】對于A，根據二項式展開式的性質判斷，對于B，根據二項式展開式的系數的性質求解判斷，對于C，求出通項公式，令的次數為2，求出，從而可求出的系數，對于D，根據二項式展開式的系數的性質判斷.【詳解】對于A，的展開式有8項，所以A錯誤，對于B，的展開式的二項式系數的和為，所以B正確，對于C，展開式的通項公式為，令，得，所以展開式中的系數為，所以C正確，對于D，因為的展開式有8項，所以展開式中第4項或者第5項的二項式系數最大，所以D錯誤.故選：BC10.下列函數中，有兩個零點的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據題意，逐個分析，先對函數求導，利用導數分析函數的單調性，再結合零點存在性定理分析函數零點的個數即可.【詳解】對于A，由，得，當時，，當時，，所以上遞減，在上遞增，所以，所以有且只有一個零點，所以A錯誤，對于B，由，得，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，因為，，所以在上有且只有一個零點，在上有且只有一個零點，所以有兩個零點，所以B正確，對于C，由，得，當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以，因為當，，所以在上有且只有一個零點，在上有且只有一個零點，所以有兩個零點，所以C正確，對于D，由，得，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，因為，，所以在上有且只有一個零點，在上有且只有一個零點，所以有兩個零點，所以D正確，故選：BCD11.設A，B是兩個隨機事件，，，下列說法正確的是（）A.若A，B相互獨立，，，則B.若A，B互斥，，，則C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】由互斥、對立事件概率公式及相互獨立事件乘法公式判斷AB；根據條件概率公式判斷C,應用條件概率公式、相互獨立事件乘法公式判斷D.【詳解】對A，A，B相互獨立，，，所以，故A正確；對B，，故B正確；對C，，若時，得不出，即得不出，得不出，故C錯誤；對D，，，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.從0，1，2，3，4，5，6中任取3個數字，可以組成的沒有重復數字的三位數的個數是________.（用數字作答）【答案】180【解析】【分析】根據取到0與取不到0分類討論即可由排列求解.【詳解】當取不到0時，一共有個三位數，若取到時，不能排首位，共有個三位數，由分類加法計數原理可知，共有三位數的個數為.故答案為：18013.袋子中有大小形狀完全相同的2個白球和4個黑球，從中任取3個球，1個白球得2分，1個黑球得1分.記X為取出的3個球的得分總和，則________.【答案】4【解析】【分析】根據題意，由條件可得的可能取值為，分別求得其對應概率，再由期望的計算公式代入計算，即可得到結果.【詳解】由題可知，的可能取值為，則，，，所以.故答案為：414.以半徑為R，圓心角為α的扇形鐵皮為圓錐的側面，制成一個圓錐形容器.當扇形的圓心角α為________時，容器的容積最大.【答案】##【解析】【分析】設圓錐底面半徑為，高為，那么，再根據，代入得到，利用導數求得函數的最大值，以及和，由圓心角得解.【詳解】設圓錐的底面半徑為，高為，體積為，則，因此，則，令，解得，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以當時容積最大，把代入，得由，得，即圓心角為時容積最大.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.一個質點從數軸上的原點0開始移動，通過拋擲一枚質地均勻的硬幣決定質點向左或者向右移動.若硬幣正面向上，則質點向右移動一個單位；若硬幣反面向上，則質點向左移動一個單位.拋擲硬幣4次后，質點所在位置對應數軸上的數記為隨機變量，求：（1）質點位于2的位置的概率；（2）隨機變量的分布列和期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，期望為0【解析】【分析】（1）拋擲硬幣4次后，質點要位于2，則可知4次中向右移動3次，向左移動1次，然后根據獨立事件的概率公式求解即可；（2）由題意可知的可能取值為，求出相應的概率，從而可求得的分布列和期望.【小問1詳解】由題意可知，拋擲硬幣4次后，質點要位于2，則4次中向右移動3次，向左移動1次，所以質點位于2的位置的概率為；【小問2詳解】由題意可知的可能取值為，則，，，，，所以分布列為024所以.16.函數.（1）當時，求的單調區間；（2）當時，記在區間上的最大值為M，最小值為m，求的取值范圍.【答案】（1）單調遞增區間為和，單調遞減區間為（2）【解析】【分析】（1）對函數求導后，由導數的正負可求出函數的單調區間；（2）對函數求導后，求得在上遞增，在上遞減，可得，從而可得，然后構造函數，利用導數可求出其范圍.【小問1詳解】當時，（），則，由，得或，由，得，所以的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；【小問2詳解】由，得，由，得或，因為，所以，所以當時，，當時，，所以在上遞增，在上遞減，所以的最大值為，即，，因為，所以，所以的最小值為，即，所以，令，，則，令，得或，所以當時，，所以在上單調遞增，所以，所以，即，所以.17.長時間近距離看電子產品會影響視力.泉泉調查了某校1000名學生，發現40%的學生近視；而該校20%的學生每天近距離看電子產品時間超過1h，這些人的近視率為50%.（1）請完成下列2×2列聯表，并根據小概率值的獨立性檢驗，判斷近視與每天近距離看電子產品時間超過1h是否有關聯；近視每天近距離看電子產品時間超過1h合計是否是

否

合計

1000（2）研究發現，近視兒童每年眼軸的增速要大于非近視兒童，長時間近距離看電子產品會導致眼軸快速增長，最終影響視力.高度近視者的眼軸長度一般大于26mm.下圖是每天近距離看電子產品時間超過1h近視兒童和非近視兒童6~16歲的眼軸生長發育散點圖.①根據散點圖判斷，和哪一個更符合每天近距離看電子產品時間超過1h的近視兒童的眼軸生長發育情況？（給出判斷即可，不必說明理由）②根據①中的判斷結果，建立該類近視兒童眼軸長度y（單位：mm）關于年齡x（，且）的經驗回歸方程；③根據②中的結果，估計該類近視兒童開始高度近視時的年齡.（結果保留整數）參考公式及數據：（ⅰ），，α0010.0050.0016.6357.87910.828（ⅱ）回歸方程中斜率和截距最小二乘估計公式分別為：，；（ⅲ）散點圖1中，；散點圖2中，.【答案】（1）2×2列聯表見解析，近視與每天近距離看電子產品時間超過1h有關聯（2）①②③18歲【解析】【分析】（1）根據題意列出2×2列聯表，計算，根據小概率值的獨立性檢驗得出結論；（2）①由散點圖直接寫出，②根據最小二乘法求回歸直線方程，③根據回歸直線方程得預測值.【小問1詳解】2×2列聯表近視每天近距離看電子產品時間超過1h合計是否是100300400否100500600合計2008001000零假設為：近視與每天近距離看電子產品時間超過1h無關根據列聯表中的數據，并計算得到，因為，根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為近視與每天近距離看電子產品時間超過1h有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005.【小問2詳解】①適宜每天近距離看電子產品時間超過1h的近視兒童的眼軸生長發育情況.②由題意可得，因此，再由題意得，所以，從而該類近視兒童眼軸長度)(單位：mm)關于年齡x的回歸方程為.③，解得，所以該類近視兒童開始高度近視時大約18歲.18.將函數的圖象繞坐標原點逆時針旋轉后，所得曲線仍然是一個函數的圖象，即函數的圖象與直線至多有1個交點，則稱函數具有“α旋轉不變性”.（1）證明：函數，具有“旋轉不變性”；（2）若函數具有“旋轉不變性”，求m的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據新定義轉化為函數的圖象與至多有1個交點，利用導數判斷函數單調性即可得證；（2）根據函數具有“旋轉不變性”轉化為，構造函數求出函數的最大值即可得解.【小問1詳解】由題意可知，當時，,令，，則，在上單調遞減.故與至多有1個交點，即與至多有1個交點，故函數具有“旋轉不變性”.【小問2詳解】由題意得：當時，，函數與函數的圖象至多有1個交點，即方程至多有一個根,即函數與函數的圖象至多1個交點，因此函數在上為單調函數，，而當時，，所以