1、菱形的判定專項練習30 題（有答案）1如圖，梯形ABCD 中， AD BC，BA=AD=DC=BC ，點 E 為 BC 的中點（ 1）求證：四邊形 ABED 是菱形；（ 2）過 A 點作 AF BC 于點 F，若 BD=4cm ，求 AF 的長2如圖，四邊形 ABCD 中，對角線 AC、BD 相交于點O，且 AC BD 點 M ，N 分別在 BD 、AC 上，且 AO=ON=NC ，BM=MO=OD 求證： BC=2DN 3如圖，在 ABC 中， AB=AC ，D ，E， F 分別是 BC ，AB ， AC 的中點（ 1）求證：四邊形 AEDF 是菱形；（ 2）若 AB=12cm ，求菱形 A

2、EDF 的周長4如圖，在 ?ABCD 中， EF BD ，分別交 BC ， CD 于點 P， Q，交 AB ，AD 的延長線于點 E， F已知 BE=BP 求證：（ 1） E= F；（ 2） ?ABCD 是菱形菱形的判定 -15如圖，在 ABC 中， D 是 BC 的中點， E 是 AD 的中點，過點 A 作 AF BC ， AF 與 CE 的延長線相交于點 F，連接 BF（ 1）求證： AF=DC ；（ 2）若 BAC=90 °，求證：四邊形AFBD 是菱形6已知平行四邊形ABCD 中，對角線BD 平分 ABC ，求證：四邊形ABCD 是菱形7如圖，在一個含 30°的三角

3、板 ABC 中，將三角板沿著 AB 所在直線翻轉 180°得到 ABF ，再將三角板繞點 C 順時針方向旋轉 60°得到 DEC ，點 F 在 AC 上，連接 AE （ 1）求證：四邊形 ADCE 是菱形（ 2）連接 BF 并延長交 AE 于 G，連接 CG請問：四邊形 ABCG 是什么特殊平行四邊形？為什么？8如圖，已知四邊形ABCD 是平行四邊形，DE AB ， DF BC ，垂足分別是為EF，并且 DE=DF 求證：四邊形 ABCD 是菱形9如圖，在 ABC 中， DE BC，分別交 AB ，AC 于點 D ， E，以 AD ， AE 為邊作 ?ADFE 交 BC 于

4、點 G， H，且 EH=EC 求證：（ 1） B= C；（ 2） ?ADFE 是菱形菱形的判定 -210如圖，在 ABC 中， ACB=90 °， CD 是 AB 邊上的高， BAC 的平分線AE 交 CD 于 F， EG AB 于 G（ 1）求證： AEG AEC ；（ 2） CEF 是否為等腰三角形，請證明你的結論；（ 3）四邊形 GECF 是否為菱形，請證明你的結論11如圖，在 ABC 中， AB=AC ，點 D 、E、 F 分別是 ABC 三邊的中點求證：四邊形ADEF 是菱形12如圖，在四邊形 ABCD 中， AB=CD ， M 、 N、 E、 F 分別為 AD 、 BC

5、、BD 、 AC 的中點，求證：四邊形 MENF 為菱形13已知：如圖，在梯形 ABCD 中， AD BC， AB=AD ， BAD 的平分線 AE 交 BC 于點 E，連接 DE 求證：四邊形 ABED 是菱形14如圖，在 ABC 中， AB=AC ， M 、 O、 N 分別是 AB 、 BC 、 CA 的中點求證：四邊形AMON 是菱形菱形的判定 -315如圖：在 ABC 中， BAC=90 °， AD BC 于 D， CE 平分 ACB ，交 AD 于 G，交 AB 于 E， EF BC 于 F求證：四邊形AEFG 是菱形16如圖，矩形ABCD 繞其對角線交點旋轉后得矩形AEC

6、F ， AB 交 EC 于點 N ， CD 交 AF 于點 M 求證：四邊形ANCM 是菱形17如圖，四邊形 ABCD 、 DEBF 都是矩形， AB=BF ， AD 、BE 交于 M ， BC 、DF 交于 N，那么四邊形 BMDN 是菱形嗎？如果是，請寫出證明過程；如果不是，說明理由18已知如圖所示， AD 是 ABC 的角平分線， DE AC 交 AB 于 E， DFAB 交 AC 于 F，四邊形 AEDF 是菱形嗎？說明理由19已知：如圖所示，BD 是 ABC 的角平分線， EF 是 BD 的垂直平分線，且交AB 于 E，交 BC 于點 F求證：四邊形 BFDE 是菱形菱形的判定 -4

7、20如圖，在平行四邊形ABCD 中， O 是對角線AC 的中點，過點O 作 AC 的垂線與邊AD 、 BC 分別交于E、 F求證：四邊形AFCE 是菱形21如圖，在矩形ABCD 中， EF 垂直平分BD （ 1）判斷四邊形 BEDF 的形狀，并說明理由（ 2）已知 BD=20 ， EF=15 ，求矩形 ABCD 的周長22如圖所示，在?ABCD 中，點 E 在 BC 上， AE 平分 BAF ，過點 E 作 EF AB 求證：四邊形ABEF 為菱形23已知，如圖，矩形 ABCD 中， AB=4cm ， AD=8cm ，作 CAE= ACE 交 BC 于 E，作 ACF= CAF 交 AD 于F

8、（ 1）求證： AECF 是菱形；（ 2）求四邊形AECF 的面積24如圖， 平行四邊形 ABCD 的對角線 AC 的垂直平分線與邊 AD 、BC 分別交于 E、F問四邊形 AFCE 是菱形嗎？請說明理由25如圖：在平行四邊形 ABCD 中， E、F 分別是邊 AB 、CD 的延長線上一點，且 BE=DF ，連接 EF 交 AC 于 O（ 1） AC 與 EF 互相平分嗎？為什么？（ 2）連接 CE、AF ，再添加一個什么條件，四邊形AECF 是菱形？為什么？菱形的判定 -526已知： 如圖， ABC 和 DBC 的頂點在 BC 邊的同側， AB=DC ，AC=BD 交于 E， BEC 的平分

9、線交 BC 于 O，延長 EO 到 F，使 EO=OF 求證：四邊形 BFCE 是菱形27如圖，在 ABC 中， D 是 BC 邊的中點， F， E 分別是 AD 及其延長線上的點，CF BE（ 1）求證： BDE CDF ；（ 2）請連接 BF， CE，試判斷四邊形 BECF 是何種特殊四邊形，并說明理由；（ 3）在（ 2）下要使 BECF 是菱形，則 ABC 應滿足何條件？并說明理由28如圖，在 ABC 中， ACB=90 °， BC 的垂直平分線 DE 交 BC 于 D ，交 AB 于 E， F 在 DE 上，并且 AF=CE （ 1）求證：四邊形 ACEF 是平行四邊形；（

10、2）當 B 的大小滿足什么條件時，四邊形ACEF 是菱形？請回答并證明你的結論29如圖，在 ABC 中， AD 是 BAC 的平分線， EF 垂直平分 AD 交 AB 于 E，交 AC 于 F求證：四邊形AEDF 是菱形30如圖， ABC 中，點 O 是邊 AC 上一個動點， 過 O 作直線 MN BC，設 MN 交 BCA 的平分線于點 E，交 BCA 的外角平分線于點 F（ 1）探究：線段OE 與 OF 的數量關系并加以證明；（ 2）當點 O 運動到何處，且 ABC 滿足什么條件時，四邊形AECF 是正方形？（ 3）當點 O 在邊 AC 上運動時，四邊形BCFE 會是菱形嗎？若是，請證明，

11、若不是，則說明理由菱形的判定 -6參考答案：1 1）證明： 點 E 為 BC 的中點， BE=CE= BC， BA=AD=DC= BC ， AB=BE=ED=AD ， 四邊形 ABED 是菱形；（ 2）解：過點D 作 DH BC ，垂足為H ， CD=DE=CE ， DEC=60 °， DBE=30 °，在 Rt BDH 中， BD=4cm ， DH=2cm ， AF=DH ， AF=2cm 2 AO=ON ，BM=MO ， 四邊形 AMND 是平行四邊形， AC BD ， 平行四邊形 AMND 是菱形， MN=DN ， ON=NC ， BM=MO ， MN= BC ， B

12、C=2DN3（ 1） D， E 分別是 BC ， AB 的中點， DE AC 且 DE=AF= AC 同理 DF AB 且 DF=AE=AB 又 AB=AC ， DE=DF=AF=AE ， 四邊形 AEDF 是菱形（ 2） E 是 AB 中點， AE=AB=6cm ，因此菱形AEDF1=2，在AEF 和DEC 中， AFE DCE（ AAS ）， AF=DC ；（ 2）證明： D 是 BC 的中點， DB=CD= BC， AF=CD ， AF=DB ， AF BD ， 四邊形 AFBD 是平行四邊形， BAC=90 °， D 為 BC 中點， AD= CB=DB ， 四邊形 AFBD

13、 是菱形6 對角線 BD 平分 ABC ，1=2， 四邊形 ABCD 是平行四邊形， AB DC ， 3= 1， 3= 2， DC=BC ，又 四邊形 ABCD 是平行四邊形， 四邊形 ABCD 是菱形的周長為 4×6=24cm 4（ 1） BE=BP ， E=BPE，7（ 1） 三角板 ABC 中，將三角板沿著AB 所在直線BCAF ，翻轉 180°得到 ABF ， BPE= F， E= F ABC ABF ，且 BAC= BAF=30 °，（2）EFBD ， FAC=60 °， E=ABD ， F= ADB ， AD=DC=AC ，ABD= ADB

14、，又 ABC EFC， AB=AD ， CA=CE ， 四邊形 ABCD 是平行四邊形，又 ECF=60 °， ABCD 是菱形 AC=EC=AE ，5 1）證明： E 是 AD 的中點， AD=DC=CE=AE ， AE=DE ， 四邊形 ADCE 是菱形；AFBC，菱形的判定 -7（ 2）證明：由（ 1）可知： ACD ， AFC 是等邊三角形， ACB AFB ， EDC= BAC= FAC=30 °，且 ABC 為直角三角形， BC= AC ， EC=CB ， EC= AC， E為AC 中點， DE AC ， AE=EC ， AGBC， EAG= ECB ， AGE

15、= EBC ， AEGCEB ， AG=BC ，（ 7 分） 四邊形 ABCG 是平行四邊形， ABC=90 °， 四邊形 ABCG 是矩形8在 ADE 和 CDF 中， 四邊形 ABCD 是平行四邊形，A=C， DE AB ， DF BC， AED= CFD=90 °又 DE=DF ， ADE CDF（AAS ） DA=DC ， 平行四邊形 ABCD 是菱形9（ 1） 在 ?ADFE 中， AD EF， EHC= B （兩直線平行，同位角相等） EH=EC （已知）， EHC= C（等邊對等角） ， B= C（等量代換）；（ 2） DE BC （已知）， AED= C，

16、ADE= B B=C， AED= ADE ， AD=AE ， ?ADFE 是菱形10 1）證明： ACB=90 °， AC EC又 EG AB ，AE 是 BAC 的平分線， GE=CE 在 RtAEG 與 Rt AEC 中， RtAEG Rt AEC （HL ）；（ 2）解： CEF 是等腰三角形理由如下： CD 是 AB 邊上的高， CDAB 又 EGAB ， EG CD ， CFE= GEA 又由（ 1）知， Rt AEG Rt AEC ， GEA= CEA ， CEA= CFE，即 CEF= CFE， CE=CF ，即 CEF 是等腰三角形；（ 3）解：四邊形GECF 是菱形

17、理由如下： 由（ 1）知，RtAEG Rt AEC ，則 GE=EC ；由（ 2）知， CE=CF ， GE=EC=FC 又 EGCD ，即 GE FC， 四邊形 GECFR 是菱形11 D、 E、F 分別是 ABC 三邊的中點，DEAC，EFAB ， 四邊形 ADEF 為平行四邊形又 AC=AB ， DE=EF 四邊形 ADEF 為菱形12 M 、 E、分別為AD 、 BD 、的中點， MEAB ，ME= AB ，同理： FHAB ， FH=AB ， 四邊形 MENF 是平行四邊形，MF 是 AD ，AC 中點， MF= DC ， AB=CD ， MF=ME ， 四邊形 MENF 為菱形13

18、AE 平分 BAD ， BAE= DAE ，（1 分）在 BAE 和 DAE 中，菱形的判定 -8 平行四邊形 AEFG 是菱形，證法二： AD BC， CAB=90 °， EF BC， CE 平分 BAE DAE （ SAS） （ 2 分）ACB ， BE=DE ， （ 3 分） AD EF， 4= 5，AE=EF ，AD BC， 1=180° 90° 4， 2=180 ° 90° 5， DAE= AEB ，（ 4 分）1=2， BAE= AEB ， AD EF， AB=BE ， （ 5 分）2=3， AB=BE=DE=AD，（6 分）1=3

19、， 四邊形 ABED 是菱形 AG=AE ， AE=EF ， AG=EF ， AG EF， 四邊形 AGFE 是平行四邊形，14 AB=AC ，M 、 O、 N 分別是 AB 、 BC、 CA 的中 AE=EF ，點， 平行四邊形 AGFE 是菱形 AM= AB= AC=AN ，M0 AC ， NO AB ，且 MO= AC=AN ，NO= AB=AM （三角形中位線定理） ，16 CD AB ， AM=MO=AN=NO ，FMC= FAN， 四邊形 AMON 是菱形（四條邊都相等的四邊形是菱 NAE= MCF （等角的余角相等） ，形）在 CFM 和 AEN 中，15證法一： AD BC ，

20、 ADB=90 °， BAC=90 °， B+ BAD=90 °， BAD+ CAD=90 °， CFM AEN （ASA ），B=CAD ， CM=AN ， CE 平分 ACB ， EF BC， BAC=90 °（ EA CA ）， 四邊形 ANCM 為平行四邊形， AE=EF （角平分線上的點到角兩邊的距離相等），在ADM 和 CFM 中， CE=CE ， 由勾股定理得： AC=CF ，ACG 和 FCG 中ADM CFM （AAS ）， AM=CF ， 四邊形 ANCM 是菱形ACGFCG，17四邊形 BMDN 是菱形 CAD= CFG，

21、AM BC，B=CAD ，AMB= MBN ， B= CFG，BM FNGFAB ，MBN= BNF ，AD BC，EF BC，AMB= BNF ，AD EF，又 A= F=90°， AB=BF ，即 AG EF，AE GF，ABM BFN ， 四邊形 AEFG 是平行四邊形， BM=BN ， AE=EF ，同理， EMD CND，菱形的判定 -9 DM=DN ， ED=BF=AB ， E= A=90 °， AMB= EMD ， ABM EDM， BM=DM ， MB=MD=DN=BN ， 四邊形 BMDN 是菱形18如圖， 由于 DE AC ，DF AB ，所以四邊形 A

22、EDF 為平行四邊形 DE AC ， 3= 2，又 1= 2， 1=3， AE=DE ， 平行四邊形 AEDF 為菱形19 EF 是 BD 的垂直平分線， EB=ED ， EBD= EDB BD 是 ABC 的角平分線， EBD= FBD FBD= EDB ，EDBF同理， DF BE ， 四邊形 BFDE 是平行四邊形又 EB=ED ， 四邊形 BFDE 是菱形20方法一： AE FC EAC= FCA （ 2 分）又 AOE= COF， AO=CO ，AOECOF（5 分） EO=FO 又 EFAC ， AC 是 EF 的垂直平分線 （ 8 分） AF=AE ， CF=CE ，又 EA=E

23、C ， AF=AE=CE=CF 四邊形 AFCE 為菱形（ 10 分）方法二：同方法一，證得 AOE COF（ 5 分） AE=CF 四邊形 AFCE 是平行四邊形 （ 8 分）又 EF 是 AC 的垂直平分線， EA=EC ， 四邊形 AFCE 是菱形（ 10 分）方法三：同方法二， 證得四邊形 AFCE 是平行四邊形（ 8 分）又 EF AC ，（9 分） 四邊形 AFCE 為菱形21（ 1）四邊形 BEDF 是菱形在 DOF 和 BOE 中， FDO= EBO ，OD=OB ， DOF= BOE=90 °，所以 DOF BOE ，所以 OE=OF 又因為 EFBD ， OD=O

24、B ，所以四邊形 BEDF 為菱形（5 分）（ 2）如圖，在菱形 EBFD 中， BD=20 ， EF=15，則 DO=10 ， EO=7.5 由勾股定理得 DE=EB=BF=FD=12.5 S 菱形 EBFD=EF?BD=BE ?AD ，即所以得 AD=12 根據勾股定理可得AE=3.5 ，有 AB=AE+EB=16 由 2（AB+AD ） =2（ 16+12 ）=56 ，故矩形 ABCD 的周長為 5622 四邊形 ABCD 是平行四邊形， AF BE，又EFAB ， 四邊形 ABEF 為平行四邊形， AE 平分 BAF ， BAE= FAE，FAE=BEA ，BAE= BEA ， BA=

25、BE ， 平行四邊形 ABEF 為菱形23（ 1）證明：在矩形ABCD 中， AB CD ，BAC= DCA ，又CAE= ACE，ACF= CAF，EAC= FCA AE CF 四邊形 AECF 為平行四邊形，又CAE= ACE， AE=EC ?AECF 為菱形（ 2）設 BE=x ，則 EC=AE=8 x，在 RtABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即 42+x2=（ 8 x）2解之得 x=3 ，菱形的判定 -10所以 EC=5 ，即 S 菱形 AECF=EC ×AB=5 ×4=2024四邊形 AFCE 是菱形，理由是： 四邊形 ABCD 是平行四邊形， AD B

26、C， = ， AO=OC ， OE=OF ， 四邊形 AFCE 是平行四邊形， EFAC ， 平行四邊形AFCE 是菱形25（ 1） AC 與 EF 互相平分，連接CE，AF ， 平行四邊形ABCD ， AB CD ， AB=CD ，又 BE=DF ， AB+BE=CD+DF ， AE=CF ， AE CF， AE=CF ， 四邊形 AECF 是平行四邊形， AC 與 EF 互相平分；（ 2）條件： EF AC ， EFAC ，又 四邊形 AECF 是平行四邊形， 平行四邊形AECF 是菱形26 AB=DC AC=BD BC=CB，ABC DCB ，DBC= ACB ， BE=CE ，又 BEC 的平分線是EF， EO 是中線（三線合一） ， BO=CO ， 四邊形 BFCE 是平行四邊形（對角線互相平分） ，又 BE=CE ， 四邊形 BFCE 是菱形27（ 1）證明： CFBE ， EBD= FCD ，D 是 BC 邊的中點，則 BD=CD ， BDE= CDF ， BDE CDF （ 2）如圖所示，由（ 1）可得 CF=BE ，又 CF BE ，所以四邊形 BECF 是平行四邊形；（ 3） ABC 是等腰三角形， 即 AB=AC ，理由：當 AB=AC 時，則有 AD BC，又（ 2）中