1、第六節和、差、倍角的三角函數第六節和、差、倍角的三角函數(2)(2)基礎梳理基礎梳理1. 兩角差的余弦公式為_；兩角和的余弦公式為_；兩角差的正弦公式為_；兩角和的正弦公式為_；上述公式對任意的a、b都成立cos(a-b)=cos acos b+sin asin bcos(a+b)=cos acos b-sin asin bsin(a-b)=sin acos b-cos asin bsin(a+b)=sin acos b+cos asin b2. 公式T(a-b)是_ _ _ ，公式T(a+b)是_，它們成立的條件是_()1tantantantan tanababab()1tantantant

2、an tanababab,.222kkkkZabab3. 二倍角公式在S(a+b)中，令_，可得到sin 2a=_，簡記為S2a.在C(a+b)中，令_，可得到cos 2a=_，簡記為C2a.在T(a+b)中，令_，可得到tan 2a=_，簡記為T2a.b=a b=a b=a 2sin acos a cos2a-sin2a22tan1atan a4. 在C2a中考慮sin2a+cos2a=1可將C2a變形為cos 2a=cos2a-sin2a=_=_，它簡記為C2a. 2cos2a-1 1-2sin2a5. 半角公式在C2a中，用_得cos a=2cos2 -1=1-2sin2 將公式變形可得

3、 2a22_;_;aaCS,2aa代替a 121 cos2a1 cos2a6. 升降冪公式主要用于化簡、求值和證明，其形式為：升冪公式：1+cos 2a=_；1-cos 2a=_. 降冪公式：cos2a=_；sin2a=_； tan22a=_. 2cos2a 2sin2a 122cos a122cos a1 cos1cosaa7. 派生公式(1)(sin acos a)2=_；(2)1+cos a=_；(3)1-cos a=_；(4)tan a+tan b=_.1sin 2a 2cos2 2a2a2sin2 tan(a+b)(1-tan atan b) 基礎達標基礎達標1. (必修4P115第

4、5題改編)若 cos2sin5,aa 則 tan_.a解析：由 25,221,cossinsincosaaaa 得 22(52)1,sinsinaa 解得 25,55,5sincosaa tan2.a解析： 221113( )coscos2coscoscos2224f xxxxxx （），而cos x-1,1，則函數的最大值為 3.43. 不查表求值：tan 20+4sin 20=_.2. (2011 黃橋中學高三期中試題)函數f(x)=cos x- cos2x(xR R)的最大值等于_12解析： tan 20+4sin 20= 20202404202020sinsinsinsincoscos

5、 202602020320203.2020sinsinsincossincoscos4. 在ABC中，已知BC=8，AC=5，三角形面積為12，則cos 2C=_.解析： SABC= 13sin12,sin,25AC BCCC27cos212sin.25CC 5. 若f(tan x)=sin 2x，則f(-1)的值是_解析：f(tan x)=sin 2x= 22222.1sinxcosxtanxsin xcos xtan x即f(x)= 22.1xx f(-1)= 2211.11 經典例題經典例題題型一sinx+cosx，sinx-cosx，sinxcosx三者之間的轉換問題【例1】已知- x

6、0，sin x+cos x= .(1)求sin x-cos x的值；215(2)求 22322222xxxxsinsincoscostanxcotx的值 分析：由(sinx-cosx)2=(sinx+cosx)2-4sinxcosx知，只需求出sinxcosx即可 解：(1)方法一：由sinx+cosx= ，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x= ，即2sinxcosx=- .(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx= ，又- x0，sinx0，cosx0，sinx-cosx0，sinx-cosx=- 1512524254925275方法二：聯立方程 1(1),5(2)22

7、1,sinxcosxsin xcos x由得sinx= -cosx，將其代入，整理得1525cos2x-5cosx-12=0，cosx=- 或cosx= ，4535- x0， 23,54,5sinxcosx sinx-cosx=- 7.5222322122222(2)xxxxxsinsincoscossinsinxsinxcosxtanxcotxcosxsinx=sinxcosx(2-cosx-sinx)1211082.255125 變式 1-1 已知 7 27sin,cos2,41025aa求 sina及tan .3a解析：由題設條件，應用兩角差的正弦公式得 7 22sin()(sincos

8、),1042aaa即7sincos.(1)5aa由題設條件，應用二倍角余弦公式得227cos2cossin(cossin)(cossin)25aaaaaaa7(cossin),5aa 故 1cossin.(2)5aa 由和式得 34sin,cos,55aa 因此 3tan,4a 由兩角和的正切公式得 3334 334825 34tan.311133 343 314tantanaaa題型二三角恒等式證明【例2】在ABC中，已知sinAcos2 +sinCcos2 = sinB 求證：sinA+sinC=2sinB.2C2A32分析：條件與結論不僅在角上存在差異，而且在式子的結構上存在較大的差異，

9、條件是一個三次式，而結論是一個一次式，為縮小這種差異，需對條件進行降次等變形 證明：由 223sincossincossin.222CAACB得 1cos1cos3sinsinsin,222CAACB化簡得 113(sinsin)sin()sin,222ACACB即 113(sinsin)sinsin,222ACBB故sinA+sinC=2sin B.變式2-1 已知A、B為銳角，求證：A+B= 的充要條件是(1+tanA)(1+tanB)=2.4解析：充分性：(1+tanA)(1+tanB)=2，1+(tanA+tanB)+tanAtanB=2，且tanAtanB 1，tan(A+B)(1-tanAtanB)=1-tanAtanB，tan(A+B)=1，0A ，0B ，0A+B ，A+B= .2241tanAtanBtanAtanB必要性：A+B= ，tan(A+B)=tan ，即 =1，整理得(1+tanA)(1+tanB)=2.44綜上，若A、B為銳角，則A+B= 的充要條件是(1+tan A)(1+tan B)=2.4題型三三角恒等變換中角的拆、拼【例3】已知 12cos,sin,2923baab 且 ,0,22ab求 cos.2ab分析：抓住條件中的角 與結論中的角 的關系： ,22ba