1、復(fù)變函數(shù)與積分變換（修訂版）課后答案（復(fù)旦大學(xué)出版社）習(xí)題 七1.證明：如果f(t)滿(mǎn)足傅里葉變換的條件，當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，則有其中當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)，則有其中證明：因?yàn)槠渲袨閒(t)的傅里葉變換當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)，從而為偶函數(shù)，從而故 有為奇數(shù)。 =所以，當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí)，有同理，當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí)，有.其中 2.在上一題中，設(shè).計(jì)算的值.解:3.計(jì)算函數(shù).解:4.求下列函數(shù)的傅里葉變換 解：(2)解：因?yàn)樗愿鶕?jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)可得(3)解：(4)解:令，則在上半平面有兩個(gè)一級(jí)極點(diǎn).故.(5) 解:同(4).利用留數(shù)在積分中的應(yīng)用,令則.5.設(shè)函數(shù)F(t)是解析

2、函數(shù)，而且在帶形區(qū)域內(nèi)有界.定義函數(shù)為證明當(dāng)時(shí)，有 對(duì)所有的實(shí)數(shù)t成立.(書(shū)上有推理過(guò)程)6.求符號(hào)函數(shù) 的傅里葉變換.解:因?yàn)榘押瘮?shù).不難看出 故：7.已知函數(shù)的傅里葉變換求解:8.設(shè)函數(shù)f(t)的傅里葉變換，a為一常數(shù). 證明F當(dāng)a>0時(shí),令u=at.則當(dāng)a<0時(shí),令u=at,則.故原命題成立.9.設(shè)證明.證明：10.設(shè)，證明：以及證明：同理：11.設(shè)計(jì)算.解：當(dāng)時(shí)，若則故=0.若則若則故12.設(shè)為單位階躍函數(shù)，求下列函數(shù)的傅里葉變換.習(xí)題八1.求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.(1)， (2)， (3)(4)， (5) 解: (1) (2) (3) (4) (5) 2.求下列函數(shù)的拉

3、普拉斯變換.（1） (2)解: (1) (2) 3.設(shè)函數(shù),其中函數(shù)為階躍函數(shù), 求的拉普拉斯變換.解: 4.求圖8.5所表示的周期函數(shù)的拉普拉斯變換解：5. 求下列函數(shù)的拉普拉斯變換.(1) (2) (3)(4) (5 (6 (7) (8) 解:(1) (2)(4)(5) (6)(7)(8)6.記，對(duì)常數(shù)，若，證明證明: 7 記，證明:證明：當(dāng)n=1時(shí),所以，當(dāng)n=1時(shí), 顯然成立。假設(shè)，當(dāng)n=k-1時(shí), 有現(xiàn)證當(dāng)n=k時(shí)8. 記，如果a為常數(shù),證明:證明：設(shè)，由定義9. 記，證明:,即證明：10.計(jì)算下列函數(shù)的卷積(1) (2) (3) (4) (5) (6 解：(1) (2) (3) (

4、4)(5) (6)11.設(shè)函數(shù)f, g, h均滿(mǎn)足當(dāng)t<0時(shí)恒為零，證明以及證明：12.利用卷積定理證明證明：設(shè)，則，則，所以13. 求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.(1) (2) (3)(4) (5) (6 解：(1)(2)(3故(4)因?yàn)樗?5)其中所以(6)所以14.利用卷積定理證明證明：又因?yàn)樗?，根?jù)卷積定理15.利用卷積定理證明證明：因?yàn)樗?，根?jù)卷積定理有16. 求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換.(1) (2) (3)(4)解:(1) 故(2)：(3)故(4)故且所以17.求下列微分方程的解(1) (2) (3) (4) (5) 解: (1)設(shè)方程兩邊取拉氏變換,得為Y(s)的三個(gè)一級(jí)極點(diǎn),則(2) 方程兩邊同時(shí)取拉氏變換,得(3)方程兩邊取拉氏變換,得因?yàn)橛衫献儞Q的微分性質(zhì)知，若Lf(t)=F(s),則即因?yàn)樗怨视?4)方程兩邊取拉氏變換,設(shè)Ly(t)=Y(s),得故(5)設(shè)Ly(t)=Y(s),則方程兩邊取拉氏變換,得故18.求下列微分方程組的解(1) (2) 解:(1) 設(shè)微分方程組兩式的兩邊同時(shí)取拉氏變換,得得(2)代入(1)，得(3)代入(1)，得(2)設(shè) 方程兩邊取拉氏變換,得(3)代入(1)：所以故19.求下列方