1、課題三課題三 圓軸圓軸 扭扭 轉轉 概述概述第一節第一節 扭轉時的內力扭轉時的內力第二節第二節 圓軸扭轉時的應力和強度計算圓軸扭轉時的應力和強度計算第三節第三節 圓軸扭轉時變形和剛度計算圓軸扭轉時變形和剛度計算 下一頁下一頁上一頁上一頁概述概述工程實例工程實例: 下一頁下一頁上一頁上一頁軸：工程中以扭轉為軸：工程中以扭轉為 主要變形的桿件。主要變形的桿件。1.受力特點：都受外力偶作用，其作用受力特點：都受外力偶作用，其作用 面垂直于桿件軸線。面垂直于桿件軸線。2.變形特點：橫截面繞軸線作相對轉動。變形特點：橫截面繞軸線作相對轉動。 3.扭轉軸的兩個基本概念：扭轉軸的兩個基本概念：ABOMMOB

2、A扭轉角（扭轉角（ ）：任意兩橫截面間繞軸線轉動）：任意兩橫截面間繞軸線轉動 而發生的相對角位移弧度）而發生的相對角位移弧度）切應變或角應變（切應變或角應變（ ）：圓柱面上平行于軸線的縱）：圓柱面上平行于軸線的縱 向線變形前后的夾角弧度）向線變形前后的夾角弧度） 下一頁下一頁上一頁上一頁一、外力偶矩的計算一、外力偶矩的計算nPM9550式中，式中，M外力偶矩，外力偶矩，Nm； P軸傳遞的功率，軸傳遞的功率，kW n軸的轉速，軸的轉速，rpm或或r/min。 下一頁下一頁上一頁上一頁第一節第一節 扭轉時的內力扭轉時的內力或或PM 式中，式中，M外力偶矩，外力偶矩，Nm； P軸傳遞的功率，軸傳遞的

3、功率，W 軸的轉速，軸的轉速，rad/s二、扭矩和扭矩圖二、扭矩和扭矩圖1 . 扭轉內力扭轉內力-扭矩：扭矩： 構件受扭時，橫截面上構件受扭時，橫截面上的內力偶矩，的內力偶矩， 用用“T表示。表示。2. 截面法求扭矩截面法求扭矩扭矩的符號規定扭矩的符號規定 扭矩的轉向與截面外法扭矩的轉向與截面外法線方向滿足右手螺旋規則為線方向滿足右手螺旋規則為正，反之為負。正，反之為負。MMxMTnTMMx=0 T-M=0 T=M 下一頁下一頁上一頁上一頁4. 扭矩圖：表示截面上的扭矩沿軸線變化規律的簡圖。扭矩圖：表示截面上的扭矩沿軸線變化規律的簡圖。解：解：計算外力偶矩計算外力偶矩 例例1 知：知：n =

4、300r/min， P1=221kW，P2=148kW， P3=73kW，試繪制扭矩圖。，試繪制扭矩圖。 03. 7)1003. 730022195509550311m(NnPMkNm71. 4955022nPM（kNm）32. 2955033nPM（kNm） 下一頁下一頁上一頁上一頁 下一頁下一頁上一頁上一頁M3M1M2求求11、22截面扭矩截面扭矩 （扭矩按正方向假設）（扭矩按正方向假設） 11截面：截面： （留左段）（留左段） Mx=0，T1+M3=0 T1= M3= 2.32kNm22截面：截面： （留右段）（留右段） Mx=0， T2 + M2=0 T2=M2=4.71 kNm繪制扭

5、矩圖繪制扭矩圖2.32kNm4.71kNm 下一頁下一頁上一頁上一頁簡便畫法口訣：簡便畫法口訣： 無載軸段水平線無載軸段水平線 力偶之處有突變力偶之處有突變M3M1M21122x1. 觀察扭轉實驗觀察扭轉實驗平面假設平面假設 橫截面變形后仍為平面橫截面變形后仍為平面軸向無伸縮，橫截軸向無伸縮，橫截 面上只會產生切應面上只會產生切應 力力x 下一頁下一頁上一頁上一頁第二節第二節 圓軸扭轉時的應力和強度計算圓軸扭轉時的應力和強度計算一、圓軸扭轉時的應力現象現象 圓周線距離、半徑不變圓周線距離、半徑不變2.剪切虎克定律剪切虎克定律 =G單位為單位為Pa, MPa 或或 GPa； G材料切變模量，與應

6、力材料切變模量，與應力 單位相同。單位相同。 當切應力當切應力不超過材料的剪切不超過材料的剪切比例極限比例極限 時，切應力時，切應力與切應與切應變變成線性關系，即：成線性關系，即：pOp低碳鋼薄壁圓管低碳鋼薄壁圓管 扭轉試驗曲線扭轉試驗曲線3. 變形幾何關系變形幾何關系dxRdADDDdxd橫截面上任意點的切橫截面上任意點的切應變應變 與該點到圓心與該點到圓心的距離的距離成正比。成正比。 下一頁下一頁上一頁上一頁HdxABCCDDFEO1O2GRHGddxCDMnmO2O1ABmnMCDdcD4 . 物理關系物理關系 橫截面上任意點處的切應力橫截面上任意點處的切應力與與該點到圓心的距離成正比。

7、該點到圓心的距離成正比。TOmax 虎克定律： =G代入上式得： = G =dxdG 下一頁下一頁上一頁上一頁5. 靜力學關系靜力學關系AdATAdAdxdG2AdAdxdG2PPAPGITdxddxdGITdAI2令令橫截面極慣性矩橫截面極慣性矩代入物理關系式代入物理關系式dxdG得：得：pITTOmaxdA 下一頁下一頁上一頁上一頁5. 計算極慣性矩計算極慣性矩IP圓截面圓截面APdAI22022Dd441 . 032DDOd D 下一頁下一頁上一頁上一頁空心圓截面空心圓截面dDd2222APdAI2)(3244dD (=d/D)1 (1 . 0)1 (324444DDOd dD 下一頁下

8、一頁上一頁上一頁6. 應力分布規律應力分布規律工程中采用空心截面構件：提高強度，節約材料，減輕重量。工程中采用空心截面構件：提高強度，節約材料，減輕重量。（空心截面）（空心截面）（實心截面）（實心截面） 下一頁下一頁上一頁上一頁二、圓軸扭轉時的強度計算二、圓軸扭轉時的強度計算1 . 確定最大切應力確定最大切應力PIT由由知：當知：當=D/2時，時， max令令PPPPPWTDIWDITIDTmaxmax22/2抗扭截面系數抗扭截面系數 下一頁下一頁上一頁上一頁2. 計算抗扭截面系數計算抗扭截面系數圓截面圓截面空心圓截面空心圓截面3. 強度計算強度計算強度條件：強度條件： max332 . 01

9、62DDDIWPP434312 . 01162DDDIWPP PWTmaxmax即即注意：對于階梯軸，因注意：對于階梯軸，因WP各段不同，各段不同，max不一定發生在不一定發生在maxT所在截面上，應綜合考慮所在截面上，應綜合考慮WP和和T來確定來確定max。 下一頁下一頁上一頁上一頁例例2 已知機器主軸受外力偶作用，已知機器主軸受外力偶作用，圓軸直徑圓軸直徑D=28mm,=40MPa。試。試校核軸的強度。校核軸的強度。解：解：1. 畫出扭矩圖畫出扭矩圖2. 計算最大切應力并校核強度計算最大切應力并校核強度3maxmaxmax16DTWTP33281015516=36MPa=40MPa故此軸滿

10、足強度要求。故此軸滿足強度要求。40Nm155Nm40Nm195Nm155Nm 下一頁下一頁上一頁上一頁max=155Nm一、扭轉時的變形一、扭轉時的變形由公式由公式PGITdxddxGITdlP0知：長為知：長為l一段桿兩截面間相對扭轉角一段桿兩截面間相對扭轉角 為為 下一頁下一頁上一頁上一頁第三節第三節 圓軸扭轉時的變形和剛度計算圓軸扭轉時的變形和剛度計算即即 =PGITl注意：此式應根據注意：此式應根據T和和 的不同分段應用的不同分段應用 PI二、單位扭轉角二、單位扭轉角GIP反映了截面抵抗扭轉變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。反映了截面抵抗扭轉變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。三、剛度條件

11、三、剛度條件稱為許用單位扭轉角。稱為許用單位扭轉角。或180ppGITdxdGITdxd（rad/m）（/m）或或 180maxmaxppGITGIT（rad/m）（/m） 下一頁下一頁上一頁上一頁注意：此式應根據注意：此式應根據T和和 的不同分段應用的不同分段應用 PI 例例3 知：知：n=300r/min，P1=367kW，P2=P3=110kW， P4=147kW，=40MPa，=0.3/m，G=80GPa 試試 設計軸的直徑。設計軸的直徑。解：解：計算外力偶矩計算外力偶矩得由nPM9550M1=11.67103NmM2=M3=3.49103NmM4=4.69103Nm畫扭矩圖畫扭矩圖M2M3M1M4n3.49103Nm6.98 103Nm4.69 103Nm 下一頁下一頁上一頁上一頁確定直徑確定直徑由扭矩圖可知由扭矩圖可知 T max=6.98 103Nm按強度條件