1、3.1 均值一次二階矩法均值一次二階矩法主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：3.3 響應(yīng)面法響應(yīng)面法3.4 優(yōu)化法優(yōu)化法3.5 蒙特卡洛（蒙特卡洛（Monte-Carlo Simulation）法法- 一次一次: 在應(yīng)用非線性功能函數(shù)的泰勒級數(shù)進(jìn)行可靠度計算在應(yīng)用非線性功能函數(shù)的泰勒級數(shù)進(jìn)行可靠度計算分析時，保留隨機(jī)變量的一次項和常數(shù)項。分析時，保留隨機(jī)變量的一次項和常數(shù)項。 - 均值一次二階矩法又叫均值法或中心點(diǎn)法均值一次二階矩法又叫均值法或中心點(diǎn)法.- 二階矩二階矩: 在進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度計算時，僅應(yīng)用隨機(jī)變量的二在進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度計算時，僅應(yīng)用隨機(jī)變量的二階矩。階矩。- 均值點(diǎn)或中心點(diǎn)均值點(diǎn)或中心點(diǎn):非線非線

2、性功能函數(shù)的泰勒級性功能函數(shù)的泰勒級數(shù)的均值展開點(diǎn)數(shù)的均值展開點(diǎn)nnnRxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)(.)(! 2)( )( )()(00200000RSSR均值點(diǎn)均值點(diǎn) 3.1.2 線性功能函數(shù)線性功能函數(shù)2. 功能函數(shù)的概率特征值功能函數(shù)的概率特征值01inZiXiaa21inZiXia1. 假定構(gòu)件的功能函數(shù)為假定構(gòu)件的功能函數(shù)為01 12201()nnniiiZg Xaa xa xa xaa x式中式中：ia是常系數(shù)；是常系數(shù)；(0,1,2, )in 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其相應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其相應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為 和和 。iXiXiX可靠指標(biāo)：可

3、靠指標(biāo)： 0121iiniXiZnZiXiaaa什么條件下，上述公式計算的失效概率是精確的？什么條件下，上述公式計算的失效概率是精確的？設(shè)計驗算點(diǎn)：設(shè)計驗算點(diǎn)：*iiiXiXX niiiiaa12根據(jù)概率論中心極限定理，當(dāng)根據(jù)概率論中心極限定理，當(dāng) n，Z 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布 )(fP 3.1.2 非線性功能函數(shù)非線性功能函數(shù)2. 功能函數(shù)泰勒級數(shù)展開功能函數(shù)泰勒級數(shù)展開12121(,)*1(,)()()()niXXXnnXXXiXiiniiiiMgZgXXgg MXxX將將Z Z在各變量的均值點(diǎn)在各變量的均值點(diǎn) 處展開成泰勒級數(shù)，處展開成泰勒級數(shù)，并取線性項并取線性項12(,)

4、nXXXM1. 假定構(gòu)件的功能函數(shù)為假定構(gòu)件的功能函數(shù)為12()(,)nZg Xg X XX 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其相應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其相應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為 和和 。 iXiXiX12(,)nZXXXg2211iinnZXiXiiiMgaX式中：式中：iiMgaX3. 功能函數(shù)的概率特征值功能函數(shù)的概率特征值122211(,)()niiXXXZnnZiXXiiiMgg MgaX可靠指標(biāo)：可靠指標(biāo)： *21iiXiPinXiiPgXgXfP 一般情況下，下式不成立一般情況下，下式不成立 *iiiXiXX 設(shè)計驗算點(diǎn)：設(shè)計驗算點(diǎn)： 一般情況下，均值一次二階矩法計算的設(shè)計驗

5、算點(diǎn)不在極一般情況下，均值一次二階矩法計算的設(shè)計驗算點(diǎn)不在極限狀態(tài)方程表示的失效面上。限狀態(tài)方程表示的失效面上。0*)(Xg 可靠指標(biāo)越大，結(jié)構(gòu)的失效概率越小，結(jié)構(gòu)的保證概率越可靠指標(biāo)越大，結(jié)構(gòu)的失效概率越小，結(jié)構(gòu)的保證概率越大，也即結(jié)構(gòu)的安全性越高。大，也即結(jié)構(gòu)的安全性越高。例例 3.1ZRS結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面強(qiáng)度的功能函數(shù)為結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面強(qiáng)度的功能函數(shù)為其中其中 R 表示結(jié)構(gòu)構(gòu)件的屈服極限，表示結(jié)構(gòu)構(gòu)件的屈服極限， S 表示結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面的應(yīng)力。表示結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面的應(yīng)力。R 服從正態(tài)分布，分別取下面三組分布參數(shù)：服從正態(tài)分布，分別取下面三組分布參數(shù)：210/RkN cm21/RkN cm21/5/Sk

6、N cm21/5/SkN cmS 服從指數(shù)分布，分布參數(shù)：服從指數(shù)分布，分布參數(shù)：計算計算R取不同分布參數(shù)構(gòu)件截面可靠指標(biāo)、失效概率和驗算點(diǎn)。取不同分布參數(shù)構(gòu)件截面可靠指標(biāo)、失效概率和驗算點(diǎn)。2/12cmkNR2/1cmkNR2/14cmkNR2/1cmkNR（1）（2）（3） 計算過程計算過程:(1) 計算結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面強(qiáng)度的功能函數(shù)的特征值計算結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面強(qiáng)度的功能函數(shù)的特征值ZRS22ZRS(2) 計算結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面強(qiáng)度的可靠指標(biāo)計算結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面強(qiáng)度的可靠指標(biāo)22RSZZRS981. 022111SRSRZZ373. 12765. 13(3) 計算結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面強(qiáng)度的失效概率計算結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面強(qiáng)

7、度的失效概率)(1)(fP1653. 0)(111fP0853. 02fP0381. 03fP(4) 采用概率直接積分法計算結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面強(qiáng)度的失效概率采用概率直接積分法計算結(jié)構(gòu)構(gòu)件截面強(qiáng)度的失效概率2221exp212RRRRR fP1381. 0*1fP0926. 0*2fP0620. 0*3fP%70.19%100|*11*11fffPPPerr%88. 72err%55.383err(5) 兩種方法計算失效概率的誤差兩種方法計算失效概率的誤差(6) 計算靈敏性系數(shù)（第一組參數(shù)）計算靈敏性系數(shù)（第一組參數(shù)）niXPiXPiiiiXgXg12*1961. 02*2*sPRPRPRSgRgRg

8、9806. 02*2*sPRPsPSSgRgSg(7) 計算驗算點(diǎn)（第一組參數(shù)）計算驗算點(diǎn)（第一組參數(shù)）*iiiXiXX 808. 9*RRRR712. 9*ssSS(8) 演驗算計算驗算點(diǎn)是否在失效面上（第一組參數(shù)）演驗算計算驗算點(diǎn)是否在失效面上（第一組參數(shù)）0096. 0*SRg(9) 總結(jié)總結(jié) a、可靠指標(biāo)越大，結(jié)構(gòu)的失效概率越小，結(jié)構(gòu)的保證概率、可靠指標(biāo)越大，結(jié)構(gòu)的失效概率越小，結(jié)構(gòu)的保證概率越大，也即結(jié)構(gòu)的安全性越高。越大，也即結(jié)構(gòu)的安全性越高。*fPc、均值一次二階矩法計算的設(shè)計驗算點(diǎn)不在極限狀態(tài)方程、均值一次二階矩法計算的設(shè)計驗算點(diǎn)不在極限狀態(tài)方程表示的失效面。表示的失效面。 b

9、、在隨機(jī)不都服從正態(tài)分布時，采用均值法計算的可靠指、在隨機(jī)不都服從正態(tài)分布時，采用均值法計算的可靠指標(biāo)計算失效概率，其誤差大，也即是標(biāo)計算失效概率，其誤差大，也即是 不成立。不成立。fP 例例 3.2假定鋼梁承受確定性的彎矩假定鋼梁承受確定性的彎矩M128.8kNm。鋼梁截面的塑。鋼梁截面的塑性抵抗矩性抵抗矩W和材料屈服強(qiáng)度和材料屈服強(qiáng)度fy都是隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立。都是隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立。已知已知fy的均值和變異系數(shù)分布為的均值和變異系數(shù)分布為 MPa和和 ；W的均值和變異系數(shù)分布為的均值和變異系數(shù)分布為 m3和和 。試。試求構(gòu)件抗彎可靠指標(biāo)。求構(gòu)件抗彎可靠指標(biāo)。 262yf1 . 0yf

10、6109 .884W05. 0W 計算過程計算過程:(1) 建立功能函數(shù)建立功能函數(shù) a、按截面塑性彎矩極限狀態(tài)、按截面塑性彎矩極限狀態(tài)(2)對功能函數(shù)在均值點(diǎn)進(jìn)行線性化對功能函數(shù)在均值點(diǎn)進(jìn)行線性化b、材料屈服應(yīng)力極限狀態(tài)。、材料屈服應(yīng)力極限狀態(tài)。（Nm）1288001yyWfMWfZWfWMfZyy1288002（Pa）)(128800)(12880022WWfyWfWfZyy)()(1288001WffywWfWfZyyy(3)計算功能函數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差計算功能函數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差8 .1030431288001WfZy2 .1164468301288002WfZy均值：均值：（Nm）（Pa

11、）(4) 計算可靠指標(biāo)計算可靠指標(biāo)5 .11644683011288002WfZy7 .27191968128800128800222222222WWffWWfZyyy9 .2592022222222221WWfffWWffWZyyyyy標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差：975. 39 .259208 .103043111ZZ283. 47 .271919682 .116446830222ZZ（Nm）（Pa）(5) 總結(jié)總結(jié)同一功能要求的不同功能函數(shù)表達(dá)式，采用均值法計算結(jié)果同一功能要求的不同功能函數(shù)表達(dá)式，采用均值法計算結(jié)果差別達(dá)差別達(dá)7.46%。%46. 7%1002/ )(|2121err 3.1.4 均

12、值一次二階矩法的特點(diǎn)均值一次二階矩法的特點(diǎn)1. 優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)l計算簡單。計算簡單。l不要求隨機(jī)變量的概率分布。不要求隨機(jī)變量的概率分布。2. 缺點(diǎn)缺點(diǎn)l當(dāng)隨機(jī)變量不都服從正態(tài)分布時，其計算的失效概率是當(dāng)隨機(jī)變量不都服從正態(tài)分布時，其計算的失效概率是不準(zhǔn)確的。不準(zhǔn)確的。l在隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布時，功能函數(shù)的非線性程度在隨機(jī)變量都服從正態(tài)分布時，功能函數(shù)的非線性程度影響可靠指標(biāo)計算精度，功能函數(shù)的非線性程度越高，影響可靠指標(biāo)計算精度，功能函數(shù)的非線性程度越高，可靠指標(biāo)計算的精度越低，功能函數(shù)的非線性程度越低，可靠指標(biāo)計算的精度越低，功能函數(shù)的非線性程度越低，可靠指標(biāo)計算的精度越高，可靠指標(biāo)計算的精度

13、越高，l 同一極限狀態(tài)方程的不同表達(dá)式可得到不同可靠指標(biāo)的同一極限狀態(tài)方程的不同表達(dá)式可得到不同可靠指標(biāo)的原因是線性化的功能函數(shù)代替真實的功能函數(shù)時，功能原因是線性化的功能函數(shù)代替真實的功能函數(shù)時，功能函數(shù)表達(dá)式不同，非線性程度不一樣，線性化的功能函函數(shù)表達(dá)式不同，非線性程度不一樣，線性化的功能函數(shù)擬合真實功能函數(shù)的精度不一樣。數(shù)擬合真實功能函數(shù)的精度不一樣。 3.2.1 基本概念基本概念*12(,)0ng XXX非正態(tài)隨機(jī)變量的當(dāng)量正態(tài)化非正態(tài)隨機(jī)變量的當(dāng)量正態(tài)化改進(jìn)均值一次二階法的不足改進(jìn)均值一次二階法的不足在極限狀態(tài)曲面在極限狀態(tài)曲面 尋找驗算點(diǎn)尋找驗算點(diǎn) ，并在，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行泰勒級

14、數(shù)展開，應(yīng)用隨機(jī)變量的前二階矩，此基礎(chǔ)上進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，應(yīng)用隨機(jī)變量的前二階矩，采用非正態(tài)隨機(jī)變量的當(dāng)量正態(tài)化，迭代求解結(jié)構(gòu)的失效采用非正態(tài)隨機(jī)變量的當(dāng)量正態(tài)化，迭代求解結(jié)構(gòu)的失效概率的一種方法，該方法簡稱驗算點(diǎn)法，后被概率的一種方法，該方法簡稱驗算點(diǎn)法，后被JCSSJCSS推薦使推薦使用，又稱用，又稱JCJC法。法。0)(Xg*2*1*,.,nxxxP l 功能函數(shù)泰勒級數(shù)展開功能函數(shù)泰勒級數(shù)展開將將Z Z在各變量的設(shè)計驗算點(diǎn)在各變量的設(shè)計驗算點(diǎn) 處展開成泰勒級數(shù)，處展開成泰勒級數(shù)，并取線性項并取線性項*2*1*,.,nxxxP *1*)()(PXniiiiXgxXPgZ0)(*Pg*1*

15、)(PXniiiiXgxXZ 3.2.2 可靠指標(biāo)求解可靠指標(biāo)求解12()(,)nZg Xg XXXl 假定構(gòu)件功能函數(shù)（非線性）假定構(gòu)件功能函數(shù)（非線性）1. 方法一方法一 是相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，相應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為是相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，相應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為 和和 。 iXiXiX*1*)(PXniiiXZXgxmminiPXiXZXgi1222*niPXiXPXniiiXZZXgXgxmmii1221*)(2. 方法二方法二iiiXiXXU將將隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化將將X空間的相關(guān)量轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的相關(guān)量轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)U空間空間l 可靠指標(biāo)計算可靠指標(biāo)計算隨機(jī)變量由隨機(jī)變

16、量由 X空間向空間向 U 空間變換空間變換設(shè)計驗算點(diǎn)由設(shè)計驗算點(diǎn)由 X空間向空間向 U 空間變換空間變換功能函數(shù)由功能函數(shù)由X空間向空間向 U 空間變換空間變換12()(,)nZg Xg XXX12()(,)nZG UG U UU12(,)nXXXX12(,)nUU UU*12(,)nPUUU*12(,)nPXXX()0ZG U在在U U空間，將空間，將 在各變量的設(shè)計驗算點(diǎn)在各變量的設(shè)計驗算點(diǎn) 處展開成泰勒級數(shù)，并取線性項處展開成泰勒級數(shù)，并取線性項*12(,)nP U UU*121(,)()0nniiiiPGG U UUUUU*12(,)0nG U UU*1()0niiiiPGUUUl 在

17、在U空間的可靠指標(biāo)空間的可靠指標(biāo)在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，可靠指標(biāo)在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，可靠指標(biāo) 為坐標(biāo)原點(diǎn)到失效面的為坐標(biāo)原點(diǎn)到失效面的最短距離。最短距離。arg min|( )0HLGuu*HLO P*1u*2u1u2u設(shè)計驗算點(diǎn)設(shè)計驗算點(diǎn)超切平面超切平面失效面失效面1U2U*PO( )0GuiiiXiXXU根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式可得根據(jù)點(diǎn)到平面的距離公式可得U空間的可靠指標(biāo)：空間的可靠指標(biāo)：)()(XXmXgUGiiiXiXXUiiXiiiiXGggUXUX*1()0niiiiPGUUU*121niiiPniiPGUUGU*iiiXiXXU*1()0niiiiPGUUUU空間設(shè)計驗算點(diǎn)：空間設(shè)計驗算

18、點(diǎn)：cosiiU*cosiiUiU niPXiXPXniiiXZZXgXgxmmii1221*)(X空間的可靠指標(biāo)：空間的可靠指標(biāo)：*21iPiniiPGUGU*iiiXiXXU*21iPiniiPGUGUX空間設(shè)計驗算點(diǎn)：空間設(shè)計驗算點(diǎn)：iiXiiiiXGggUXUXiiU*21iiXiPinXiiPgXgX*iiiXiXX 可靠指標(biāo)計算方法比較（功能函數(shù)非線性）可靠指標(biāo)計算方法比較（功能函數(shù)非線性）niPXiXPXniiiXZZXgXgxmmii1221*)(驗算點(diǎn)法：驗算點(diǎn)法：中心點(diǎn)法：中心點(diǎn)法：122211(,)()niiXXXZnnZiXXiiiMgg MgaX按照等效正態(tài)化原則將非

19、正態(tài)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化為當(dāng)量正態(tài)化按照等效正態(tài)化原則將非正態(tài)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化為當(dāng)量正態(tài)化隨機(jī)變量隨機(jī)變量1.等效正態(tài)化原則等效正態(tài)化原則(1) 在設(shè)計驗算點(diǎn)在設(shè)計驗算點(diǎn) 處處, 等效正態(tài)化隨機(jī)變量的概率分布等效正態(tài)化隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)值與原非正態(tài)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)值相等。函數(shù)值與原非正態(tài)隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)值相等。*P(2) 在設(shè)計驗算點(diǎn)在設(shè)計驗算點(diǎn) 處處, 等效正態(tài)化隨機(jī)變量的概率密度等效正態(tài)化隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)值與原非正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)值相等。函數(shù)值與原非正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)值相等。*P 3.2.3 非正態(tài)隨機(jī)變量的當(dāng)量正態(tài)化非正態(tài)隨機(jī)變量的當(dāng)量正態(tài)化解決由于非正態(tài)隨機(jī)變

20、量導(dǎo)致的可靠指標(biāo)與失效概率不一解決由于非正態(tài)隨機(jī)變量導(dǎo)致的可靠指標(biāo)與失效概率不一一對應(yīng)的不足一對應(yīng)的不足ix( )iXifxiXeiX*ix*()()eiiXiiXfxfx*()()eiiXiiXFxFxiX非正態(tài)隨機(jī)變量非正態(tài)隨機(jī)變量 的的PDFiXiX()iXifxiXeiXeiX()eiiXfxeiXeiX等效正態(tài)隨機(jī)變量等效正態(tài)隨機(jī)變量 的的PDF2. 等效正態(tài)化計算公式等效正態(tài)化計算公式*()eiieiiXXiXxFx *1()eiieeiiiXXiXXxfx*1*()eeiiiiXiXXxFx*1*11()()()eieiieiiiiXXiXXiXiXxFxfxfx (1) (2)

21、3. 對數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量等效正態(tài)化后的概率特征值對數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量等效正態(tài)化后的概率特征值*2*ln1lnlnln(1)1lnieiiiXiiXXiiXxxVxx*2*lnln(1)eiiiiXXiXxVx (3) (4) 3.2.3 驗算點(diǎn)法的計算過程驗算點(diǎn)法的計算過程3.根據(jù)等效正態(tài)化原則，在初始設(shè)計驗算點(diǎn)處將非正態(tài)隨機(jī)變量等根據(jù)等效正態(tài)化原則，在初始設(shè)計驗算點(diǎn)處將非正態(tài)隨機(jī)變量等效為正態(tài)隨機(jī)變量。效為正態(tài)隨機(jī)變量。1 2( ) ( , ,)nZ g X g X X X 1.明明確確功功能能函函數(shù)數(shù) 及及隨隨機(jī)機(jī)變變量量 的的統(tǒng)統(tǒng)計計參參數(shù)數(shù)和和分分布布類類型型iX5.計算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)計算結(jié)構(gòu)

22、可靠指標(biāo) 。4.計算敏感性系數(shù)計算敏感性系數(shù) 。i7.重復(fù)步驟重復(fù)步驟 3至至6，直到可計算的可靠指標(biāo)滿足要求，直到可計算的可靠指標(biāo)滿足要求 。nn 12.假定假定 n-1個隨機(jī)變量的初始取值，一般取其均值，結(jié)合極限狀態(tài)個隨機(jī)變量的初始取值，一般取其均值，結(jié)合極限狀態(tài)方程方程 確定初始設(shè)計驗算點(diǎn)確定初始設(shè)計驗算點(diǎn) 。*12(,)0ng XXX1*X6.根據(jù)設(shè)計驗算點(diǎn)的計算公式，計算設(shè)計驗算點(diǎn)的根據(jù)設(shè)計驗算點(diǎn)的計算公式，計算設(shè)計驗算點(diǎn)的 n-1個隨機(jī)變量個隨機(jī)變量的取值，結(jié)合極限狀態(tài)方程，確定新的設(shè)計驗算點(diǎn)的取值，結(jié)合極限狀態(tài)方程，確定新的設(shè)計驗算點(diǎn) 。2*Xl 驗算點(diǎn)法計算步驟：驗算點(diǎn)法計算步

23、驟：l 驗算點(diǎn)法主要計算公式：驗算點(diǎn)法主要計算公式：*1*()eeiiiiXiXXxFx*1*11()()()eieiieiiiiXXiXXiXiXxFxfxfx (2)niPXiXPXniiiXZZXgXgxmmii1221*)( (3),.,(0*)(*1*1*nnXXgXXg (1)l 驗算點(diǎn)法主要計算公式：驗算點(diǎn)法主要計算公式：*iiiXiXX (5)*21iiXiPinXiiPgXgX (4)l 驗算點(diǎn)法計算流程驗算點(diǎn)法計算流程開始(1)( )kk否否 假定假定 ，結(jié)合式（，結(jié)合式（1）確定設(shè)計驗算點(diǎn)）確定設(shè)計驗算點(diǎn)*iiXX) 1,.,1(ni*X 按式（按式（4）計算敏感性系數(shù)）

24、計算敏感性系數(shù)i 在在 處按式（處按式（2）對非正態(tài)隨機(jī)變量等效正態(tài)化）對非正態(tài)隨機(jī)變量等效正態(tài)化*X 按式（按式（3）計算可靠指標(biāo)）計算可靠指標(biāo) 按式（按式（5)和式（和式（1）計算驗算點(diǎn)）計算驗算點(diǎn)*X是是輸出結(jié)構(gòu)輸出結(jié)構(gòu) 和和 *X輸入已知條件：隨機(jī)變量的概率參數(shù)和分布類型，極限狀態(tài)方程輸入已知條件：隨機(jī)變量的概率參數(shù)和分布類型，極限狀態(tài)方程*1u*2u1u2u設(shè)計驗算點(diǎn)設(shè)計驗算點(diǎn)失效面失效面1U2U*PO( )0Gu1u2u失效面失效面O( )0Gu 3.3.3 作業(yè)作業(yè)對對P85的例的例4.3采用均值法和驗算點(diǎn)法分別進(jìn)行計算，采用均值法和驗算點(diǎn)法分別進(jìn)行計算，比較其結(jié)果，并分析其原因

25、，要求用軟件編程計算。比較其結(jié)果，并分析其原因，要求用軟件編程計算。例例 3.4qFmKNmq/515. 0qKNmF30W20. 0FyfMPamyf31012. 0yf已知某鋼懸臂梁受的均布恒荷載已知某鋼懸臂梁受的均布恒荷載 和自由端受集中荷載和自由端受集中荷載 作用，如圖所示，它們都是服從極值作用，如圖所示，它們都是服從極值I分布的隨機(jī)變量，其分布的隨機(jī)變量，其均值和變異系數(shù)分別為均值和變異系數(shù)分別為 ， 和和 , ; 梁截面的塑性抵抗矩梁截面的塑性抵抗矩 和鋼材的屈服強(qiáng)度和鋼材的屈服強(qiáng)度 都是都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其均值和變異系數(shù)分別為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其均值和變異系數(shù)分別

26、為 ， 和和 ， ，試，試JC法求法求梁固定端處截面的抗彎可靠指標(biāo)。梁固定端處截面的抗彎可靠指標(biāo)。 3610860mmW05. 0W 計算過程計算過程:(2) 確定初始驗算點(diǎn)處確定初始驗算點(diǎn)處n-1隨機(jī)變量的值，一般取其均值，也隨機(jī)變量的值，一般取其均值，也即是即是 ，則初始驗算點(diǎn)處第，則初始驗算點(diǎn)處第n個隨機(jī)變量的值為個隨機(jī)變量的值為,FfWmmmy22FfWqmmmmy(1) 確定功能函數(shù)確定功能函數(shù)qFWfqllFWfqFfWgZyyy2210210),(323初始驗算點(diǎn)初始驗算點(diǎn)3 .103,30,310,108606(2) 在驗算點(diǎn)對非正態(tài)隨機(jī)變量進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化，正態(tài)化在驗算點(diǎn)對非正

27、態(tài)隨機(jī)變量進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化，正態(tài)化之后它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為之后它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為*1*()eeiiiiXiXXxFx*1*11()()()eieiieiiiiXXiXXiXiXxFxfxfx55.75,64.35,310,10860669.26,88.24, 2 .37,10436(4) 計算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)計算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)(3) 計算靈敏性系數(shù)計算靈敏性系數(shù)niXPiXPiiiiXgXg121*1*功能函數(shù)的均值功能函數(shù)的均值415.346)(*1*PXniiiXZXgxi功能函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差功能函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差785.80122*niPXiXZXgi288. 4ZZ661. 0 ,616. 0 ,

28、396. 0,165. 0(5) 計算設(shè)計驗算點(diǎn)計算設(shè)計驗算點(diǎn)*iiiXiXX ) 1,.2 , 1(ni),.,(0*)(*1*1*nnXXgXXg(6) 判斷計算精度是否滿足要求判斷計算精度是否滿足要求002. 00105. 0 ,37.101,83.246,1057.829601. 1 ,37.101,83.246,1057.8296(22) 在驗算點(diǎn)對隨機(jī)變量進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化在驗算點(diǎn)對隨機(jī)變量進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化07. 5 ,54.12,310,10860686. 2 ,17.51, 2 .37,10436288. 401(32) 計算靈敏性系數(shù)計算靈敏性系數(shù)053. 0 ,951. 0 ,2

29、87. 0,098. 0(42) 計算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)計算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)133. 22(52) 計算設(shè)計驗算點(diǎn)計算設(shè)計驗算點(diǎn)39. 5 ,39.116,23.287,1095.850682. 5 ,39.116,23.287,1095.8506(62) 判斷計算精度是否滿足要求判斷計算精度是否滿足要求002. 012155. 212(23) 驗算點(diǎn)對隨機(jī)變量進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化驗算點(diǎn)對隨機(jī)變量進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化09. 6 ,61. 2 ,310,10860639. 4 ,45.56, 2 .37,10436(33) 計算靈敏性系數(shù)計算靈敏性系數(shù)074. 0 ,955. 0 ,268. 0,104. 0(43)

30、 計算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)計算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)106. 23(53) 計算設(shè)計驗算點(diǎn)計算設(shè)計驗算點(diǎn)78. 6 ,14.116,03.289,1054.850678. 6 ,14.116,03.289,1054.8506(24) 驗算點(diǎn)對隨機(jī)變量進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化驗算點(diǎn)對隨機(jī)變量進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化07. 6 ,79. 2 ,310,10860673. 4 ,37.56, 2 .37,10436(44) 計算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)計算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)105. 24(63) 判斷計算精度是否滿足要求判斷計算精度是否滿足要求002. 023027. 023(34) 計算靈敏性系數(shù)計算靈敏性系數(shù)080. 0 ,954. 0 ,268.

31、0,105. 0%54. 1%100|*err(54) 計算設(shè)計驗算點(diǎn)計算設(shè)計驗算點(diǎn)87. 6 ,03.116,03.289,1048.850687. 6 ,03.116,03.289,1048.8506(64) 判斷計算精度是否滿足要求判斷計算精度是否滿足要求002. 034001. 034105. 2073. 2*精確解：精確解：(0.9809)鋼構(gòu)架鋼構(gòu)架l2l1b1h1b2h2F1F2),(21212121EhhbbllFFMWfZy),(21212121EhhbbllFFssZ沒有明確功能函數(shù)表達(dá)式?jīng)]有明確功能函數(shù)表達(dá)式采用蒙特卡洛法結(jié)合有限元方法求解，需要成千上萬次的模擬采用蒙特卡

32、洛法結(jié)合有限元方法求解，需要成千上萬次的模擬才能得到較精確的結(jié)果，因此采用該方案時也需要成千上萬次才能得到較精確的結(jié)果，因此采用該方案時也需要成千上萬次的有限元計算分析，這就導(dǎo)致工作量大，計算成本高，不經(jīng)濟(jì)。的有限元計算分析，這就導(dǎo)致工作量大，計算成本高，不經(jīng)濟(jì)。可靠度問題如何求解？可靠度問題如何求解？-1989年，意大利的一位女學(xué)者年，意大利的一位女學(xué)者Faravelli首次提出結(jié)構(gòu)可靠度分析首次提出結(jié)構(gòu)可靠度分析的響應(yīng)面法，解決了沒有明確功能函數(shù)的可靠度計算問題。的響應(yīng)面法，解決了沒有明確功能函數(shù)的可靠度計算問題。- 基本思想就是選用一個適當(dāng)?shù)木哂忻鞔_表達(dá)式的函數(shù)來近似基本思想就是選用一個

33、適當(dāng)?shù)木哂忻鞔_表達(dá)式的函數(shù)來近似代替一個不能明確表達(dá)的函數(shù)，對于可靠度分析來說，就是代替一個不能明確表達(dá)的函數(shù)，對于可靠度分析來說，就是盡可能通過一系列確定性的試驗即有限元數(shù)值計算結(jié)果來擬盡可能通過一系列確定性的試驗即有限元數(shù)值計算結(jié)果來擬合一個響應(yīng)面（明確表達(dá)式的函數(shù)）以代替未知的真實的極合一個響應(yīng)面（明確表達(dá)式的函數(shù)）以代替未知的真實的極限狀態(tài)曲面，在此基礎(chǔ)上可應(yīng)用一次二階矩法進(jìn)行可靠度計限狀態(tài)曲面，在此基礎(chǔ)上可應(yīng)用一次二階矩法進(jìn)行可靠度計算。算。-給定一組結(jié)構(gòu)性能參數(shù)，幾何參數(shù)和荷載的取值，應(yīng)用確定給定一組結(jié)構(gòu)性能參數(shù)，幾何參數(shù)和荷載的取值，應(yīng)用確定的有限元數(shù)值計算，就可以得到結(jié)構(gòu)的一個

34、響應(yīng)值，取的有限元數(shù)值計算，就可以得到結(jié)構(gòu)的一個響應(yīng)值，取n組組結(jié)構(gòu)性能參數(shù)，幾何參數(shù)和荷載的取值，就能得到相應(yīng)的結(jié)構(gòu)性能參數(shù)，幾何參數(shù)和荷載的取值，就能得到相應(yīng)的n個響應(yīng)值，根據(jù)這個響應(yīng)值，根據(jù)這n個響應(yīng)值擬合的函數(shù)表示的曲面就叫響個響應(yīng)值擬合的函數(shù)表示的曲面就叫響應(yīng)面，以該響應(yīng)面代替未知的真實的極限狀態(tài)曲面進(jìn)行可靠應(yīng)面，以該響應(yīng)面代替未知的真實的極限狀態(tài)曲面進(jìn)行可靠度分析的方法就響應(yīng)面方法。度分析的方法就響應(yīng)面方法。),(21212121EhhbbllFFMWfZy),(21212121EhhbbllFFssZ鋼構(gòu)架鋼構(gòu)架l2l1b1h1b2h2F1F2-1990年，年，Bucher提出內(nèi)

35、插技術(shù)，將該方法實用化。提出內(nèi)插技術(shù)，將該方法實用化。),(2121212111EhhbbllFFfWfZy),(2121212122EhhbbllFFfWfZy),(2121212111EhhbbllFFfsZ),(2121212122EhhbbllFFfZ -響應(yīng)面函數(shù)的選取和響應(yīng)面函數(shù)系數(shù)的確定。響應(yīng)面函數(shù)的選取和響應(yīng)面函數(shù)系數(shù)的確定。-響應(yīng)面的設(shè)計實質(zhì)也就是響應(yīng)面函數(shù)形式的確定。響應(yīng)面的設(shè)計實質(zhì)也就是響應(yīng)面函數(shù)形式的確定。響應(yīng)面函數(shù)形式的確定應(yīng)滿足的兩個要求：響應(yīng)面函數(shù)形式的確定應(yīng)滿足的兩個要求：（1）響應(yīng)面函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式在基本能夠描述真實函數(shù)的前提）響應(yīng)面函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式在基本能夠描述

36、真實函數(shù)的前提下應(yīng)可能的簡單，以方便可靠度分析；下應(yīng)可能的簡單，以方便可靠度分析；（2）響應(yīng)面函數(shù)中的待定系數(shù)應(yīng)盡可能的少，以便減少需要）響應(yīng)面函數(shù)中的待定系數(shù)應(yīng)盡可能的少，以便減少需要確定待定系數(shù)的結(jié)構(gòu)有限元分析的工作量。確定待定系數(shù)的結(jié)構(gòu)有限元分析的工作量。niniiiiiXcXbaZ112 一般取不含交叉項二次多項式為響應(yīng)函數(shù)：一般取不含交叉項二次多項式為響應(yīng)函數(shù)： 為基本隨機(jī)變量；為基本隨機(jī)變量；iXibica ， ， 為響應(yīng)面函數(shù)中的待定系數(shù)。為響應(yīng)面函數(shù)中的待定系數(shù)。-對于精度要求不高，通過經(jīng)驗判斷真實的功能函數(shù)非線性程度對于精度要求不高，通過經(jīng)驗判斷真實的功能函數(shù)非線性程度不高時

37、，響應(yīng)面函數(shù)可選用一次多項式。不高時，響應(yīng)面函數(shù)可選用一次多項式。-對于精度要求高，當(dāng)真實的功能函數(shù)非線性程度很高時，不含對于精度要求高，當(dāng)真實的功能函數(shù)非線性程度很高時，不含交叉項的二次多項式作為響應(yīng)面函數(shù)往往不能滿足要求。交叉項的二次多項式作為響應(yīng)面函數(shù)往往不能滿足要求。-映射能力非常強(qiáng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為響應(yīng)面函數(shù)。映射能力非常強(qiáng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為響應(yīng)面函數(shù)。-映射能力非常強(qiáng)的支持向量機(jī)函數(shù)作為響應(yīng)面函數(shù)。映射能力非常強(qiáng)的支持向量機(jī)函數(shù)作為響應(yīng)面函數(shù)。 -待定系數(shù)確定待定系數(shù)確定 響應(yīng)面函數(shù)確定。響應(yīng)面函數(shù)確定。基本隨機(jī)基本隨機(jī)變量的取值變量的取值 響應(yīng)面函數(shù)響應(yīng)面函數(shù) 結(jié)構(gòu)有限元計算結(jié)構(gòu)有限元計

38、算真實結(jié)構(gòu)響應(yīng)真實結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功能函數(shù)值的功能函數(shù)值最小二乘法確定待定系數(shù)最小二乘法確定待定系數(shù)計算結(jié)構(gòu)的響應(yīng)計算結(jié)構(gòu)的響應(yīng)的功能函數(shù)值的功能函數(shù)值真實結(jié)構(gòu)響應(yīng)功能函數(shù)值真實結(jié)構(gòu)響應(yīng)功能函數(shù)值與計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功能函與計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功能函數(shù)值誤差平方和最小數(shù)值誤差平方和最小),(2121212111EhhbbllFFfWfZy)1121019281726152413212EahahababalalaFaFafaWaaZy？v基本隨機(jī)變量的取值將影響確定的響應(yīng)面函數(shù)。基本隨機(jī)變量的取值將影響確定的響應(yīng)面函數(shù)。v如何合理的確定基本隨機(jī)變量的取值來進(jìn)行結(jié)構(gòu)有限元如何合理的確定基本隨機(jī)變量的取值來進(jìn)行結(jié)構(gòu)

39、有限元計算，進(jìn)而確定響應(yīng)面函數(shù)也是很重要的問題。計算，進(jìn)而確定響應(yīng)面函數(shù)也是很重要的問題。確定基本隨機(jī)變量的取值利用了試驗設(shè)計的思想：通過合理確定基本隨機(jī)變量的取值利用了試驗設(shè)計的思想：通過合理的試驗設(shè)計，使有限的試驗結(jié)果反應(yīng)普遍的規(guī)律。因此應(yīng)用的試驗設(shè)計，使有限的試驗結(jié)果反應(yīng)普遍的規(guī)律。因此應(yīng)用試驗設(shè)計的方法確定試驗點(diǎn)（一組基本隨機(jī)變量的取值），試驗設(shè)計的方法確定試驗點(diǎn)（一組基本隨機(jī)變量的取值），讓這些試驗點(diǎn)更多的代表隨機(jī)變量在整個空間的信息。讓這些試驗點(diǎn)更多的代表隨機(jī)變量在整個空間的信息。x1x2x1x2v試驗設(shè)計的方法有：正交試驗設(shè)計法、均勻試驗設(shè)計法，中試驗設(shè)計的方法有：正交試驗設(shè)計法

40、、均勻試驗設(shè)計法，中心復(fù)合設(shè)計法等等，試驗點(diǎn)數(shù)應(yīng)大于或等于待定系數(shù)的個數(shù)。心復(fù)合設(shè)計法等等，試驗點(diǎn)數(shù)應(yīng)大于或等于待定系數(shù)的個數(shù)。中心復(fù)合設(shè)計法確定響應(yīng)面法的試驗點(diǎn)中心復(fù)合設(shè)計法確定響應(yīng)面法的試驗點(diǎn)確定中心點(diǎn)確定中心點(diǎn) ，一般取均值點(diǎn)。，一般取均值點(diǎn)。,.,.1nixxxX 根據(jù)確定中心點(diǎn)、水平系數(shù)根據(jù)確定中心點(diǎn)、水平系數(shù) f 和隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差和隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差 ，確，確定其余試驗點(diǎn)定其余試驗點(diǎn) 。,.,.1niixfxxi 例：已知隨機(jī)變量例：已知隨機(jī)變量x1 和和x 2的均值分別為的均值分別為12和和8，標(biāo)準(zhǔn)差分別，標(biāo)準(zhǔn)差分別2 和和1，水平系數(shù)，水平系數(shù) f 2，用中心復(fù)合法確定其試驗點(diǎn)

41、。用中心復(fù)合法確定其試驗點(diǎn)。中心點(diǎn)：中心點(diǎn)：12,8復(fù)合點(diǎn)：復(fù)合點(diǎn)：12+22, 8， 12-22, 8， 12, 8+21， 12, 8-21。x1x2mjjjZy12min)(niniijiijijjxcxbaXgZ112)(mjjjZy12)(令令設(shè)函數(shù) 中含有個k（k2n1）待定系數(shù) （ ），則有0)()(1jXXlmjjjlXfXgyjZlkl,.,1解上述方程組，便可獲得個k待定系數(shù) （ ）。lkl,.,1),.,.(1111nixxxgZ ),.,.(1111niixfxxgZ(3)利用試驗確定功能函數(shù) 以及 得到2n1個點(diǎn)的估計值，其中系數(shù)f在第一輪估計中取2或3，在以后的 迭

42、代計算中取1； (1)響應(yīng)函數(shù)選取 niniiiiixcxbaXg112)(4) 采用優(yōu)化法取得相應(yīng)面函數(shù)中的待定系數(shù)，得到二次多項式近似的功能函數(shù)，從而確定結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)方程；kX*k(5) 利用驗算點(diǎn)法（JC法）求解驗算點(diǎn) 和可靠度指標(biāo) ；(2) 假定中心點(diǎn)),.,.(11111nixxxX ，采用中心復(fù)合法確定其它試驗點(diǎn) ，總計2n+1個；),.,.(1111niixfxx(6) 判斷收斂條件： 是否滿足( 為收斂精度)，如果不滿足，則用插值法確定新的中心點(diǎn)： 1kk)()()()(*kkkkkkkMXgXgXgXXXX(7) 然后重復(fù)步驟(2)（6）進(jìn)行下一輪迭代，直至滿足收斂條件。

43、kMX此插值可使 較 更接近極限狀態(tài)曲面。kX*kMXkX*kX)(1kXgZ )(*2kXgZ Z0)(3kMXgZ)()()()(*kkkkkkXgXgXXXXMM)()()()(*kkkkkkkMXgXgXgXXXXX1X1Z),(21XXgZ 響應(yīng)面函數(shù)選取響應(yīng)面函數(shù)選取試驗設(shè)計試驗設(shè)計系數(shù)確定系數(shù)確定判斷收斂條件判斷收斂條件niniiiiixcxbaXg112)(結(jié)束結(jié)束是是否否可靠指標(biāo)計算可靠指標(biāo)計算響響應(yīng)應(yīng)面面函函數(shù)數(shù)選選取取試試驗驗設(shè)設(shè)計計例例 3.5已知某構(gòu)件截面的功能函數(shù)為已知某構(gòu)件截面的功能函數(shù)為試采用響應(yīng)面計算其可靠指標(biāo)。試采用響應(yīng)面計算其可靠指標(biāo)。001. 01X00

44、02. 01X2502X5 .372X321102110476823. 746154.18),(XXXXg 和和 都都服從正態(tài)分布，其分布參數(shù)分別：服從正態(tài)分布，其分布參數(shù)分別：1X2X 計算過程計算過程:(1) 選取響應(yīng)面函數(shù)選取響應(yīng)面函數(shù)niniiiiixcxbaXg112)(),3(211XXX),3(211XXX)3,(221XXX)3,(221XXX(3) 計算試驗點(diǎn)對應(yīng)的功能函數(shù)值計算試驗點(diǎn)對應(yīng)的功能函數(shù)值2222112211)(xcxcxbxbaXg(2) 確定試驗點(diǎn)確定試驗點(diǎn)),(),(2112111XXxxX),.,.(1111niixfxx(4) 計算響應(yīng)面函數(shù)中的待定系數(shù)

45、計算響應(yīng)面函數(shù)中的待定系數(shù)(5) 根據(jù)響應(yīng)面功能函數(shù)采用根據(jù)響應(yīng)面功能函數(shù)采用JC法計算其可靠指標(biāo)和驗算點(diǎn)法計算其可靠指標(biāo)和驗算點(diǎn)9890. 118 .175,00104. 0,1*21*11*XXX(6) 判斷計算精度是否滿足要求判斷計算精度是否滿足要求001. 0019890. 101(22) 計算新的試驗中心點(diǎn)和其余試驗點(diǎn)計算新的試驗中心點(diǎn)和其余試驗點(diǎn))()()()(*kkkkkkkMXgXgXgXXXX)()()()(1*11111*11121XgXgXgxxxx)()()()(1*11121*21222XgXgXgxxxx),.,.(2221niixfxx(32) 計算試驗點(diǎn)對應(yīng)的功

46、能函數(shù)值計算試驗點(diǎn)對應(yīng)的功能函數(shù)值(42) 計算響應(yīng)面函數(shù)中的待定系數(shù)計算響應(yīng)面函數(shù)中的待定系數(shù)(52) 根據(jù)響應(yīng)面功能函數(shù)采用根據(jù)響應(yīng)面功能函數(shù)采用JC法計算其可靠指標(biāo)和驗算點(diǎn)法計算其可靠指標(biāo)和驗算點(diǎn)3898. 223 .170,00122. 0,2*22*12*XXX(62) 判斷計算精度是否滿足要求判斷計算精度是否滿足要求4008. 09890. 13898. 212試驗點(diǎn)試驗點(diǎn)功能函數(shù)值功能函數(shù)值待定系數(shù)待定系數(shù)2990. 233 .165,00109. 0,3*23*13*XXX0908. 03898. 22990. 223試驗點(diǎn)試驗點(diǎn)功能函數(shù)值功能函數(shù)值待定系數(shù)待定系數(shù)2984.

47、243 .165,00109. 0,3*23*13*XXX0006. 02990. 22984. 2342984. 2%24. 2%100|*err3511. 2*精確解：精確解：-根據(jù)可靠指標(biāo)的幾何意義：結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)時在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空根據(jù)可靠指標(biāo)的幾何意義：結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)時在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中坐標(biāo)原點(diǎn)到失效面的最短距離，因此可把求解可靠指間中坐標(biāo)原點(diǎn)到失效面的最短距離，因此可把求解可靠指標(biāo)的問題轉(zhuǎn)化為一個有約束的優(yōu)化問題。標(biāo)的問題轉(zhuǎn)化為一個有約束的優(yōu)化問題。12( )(,)nZg Xg X XXl 假定構(gòu)件功能函數(shù)（非線性）假定構(gòu)件功能函數(shù)（非線性） 是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的正正態(tài)態(tài)隨隨機(jī)機(jī)變變量，量

48、，其其相相應(yīng)應(yīng)的的均均值值和和標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差為為 和和 。 將隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化將隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化iiXXiiXU),.,( )( 21nUUUgUgZ12()(,)nZg Xg XXX結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的求解問題可轉(zhuǎn)化為下面的約束優(yōu)化問題：結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的求解問題可轉(zhuǎn)化為下面的約束優(yōu)化問題： niiU12min0),.,( )( 21nUUUgUgs.t.采用不同的優(yōu)化方法可以得到不同求解結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的優(yōu)化法。采用不同的優(yōu)化方法可以得到不同求解結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的優(yōu)化法。 用拉格朗日（用拉格朗日（Lagrange）乘子法求解該問題乘子法求解該問題 拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)：),.,( 2112nniiUUUgU

49、L拉格朗日乘子拉格朗日乘子。由極值條件可知由極值條件可知0),.,( 21nUUUgL02iiiUgUULni,.,2 , 1聯(lián)立求解上述方程組可得聯(lián)立求解上述方程組可得 ，則可靠指標(biāo)為，則可靠指標(biāo)為,.,*2*1nUUU2/11*)(niiU -若若r 是是 0,1上的均勻隨機(jī)數(shù)，則通過上式上的均勻隨機(jī)數(shù)，則通過上式計算的計算的x值是隨機(jī)變量值是隨機(jī)變量X 的一個抽樣值。的一個抽樣值。- 通過隨機(jī)變量分布函數(shù)的反函數(shù)，結(jié)合通過隨機(jī)變量分布函數(shù)的反函數(shù)，結(jié)合0,1上的均勻隨機(jī)上的均勻隨機(jī)數(shù)確定隨機(jī)變量取值的一種方法稱為反函數(shù)法。數(shù)確定隨機(jī)變量取值的一種方法稱為反函數(shù)法。-設(shè)設(shè)X為服從連續(xù)分布的

50、隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為為服從連續(xù)分布的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為 ，在給定在給定 時，則相應(yīng)于時，則相應(yīng)于r 的的x值為值為)(xFXrxFX)()(1rFxX-其中：其中： 為為 的反函數(shù)的反函數(shù))(1XF)(XF( )XFxx01ixir結(jié)構(gòu)可靠度計算直接蒙特卡洛法結(jié)構(gòu)可靠度計算直接蒙特卡洛法- 對功能函數(shù)中所以隨機(jī)變量進(jìn)行隨機(jī)抽樣，根據(jù)隨機(jī)變量對功能函數(shù)中所以隨機(jī)變量進(jìn)行隨機(jī)抽樣，根據(jù)隨機(jī)變量的抽樣值進(jìn)行結(jié)構(gòu)功能函數(shù)值的抽樣值進(jìn)行結(jié)構(gòu)功能函數(shù)值 的計算，根據(jù)結(jié)構(gòu)的計算，根據(jù)結(jié)構(gòu)可靠度基本理論可知當(dāng)功能函數(shù)可靠度基本理論可知當(dāng)功能函數(shù) 時，結(jié)構(gòu)可靠，當(dāng)功時，結(jié)構(gòu)可靠，當(dāng)功能函數(shù)能函數(shù) 時，結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)，當(dāng)功能函數(shù)時，結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)，當(dāng)功能函數(shù) 時，時，結(jié)構(gòu)失效；若進(jìn)行結(jié)構(gòu)失效；若進(jìn)行N次隨機(jī)模擬抽樣計算，功能函數(shù)小于零次隨機(jī)模擬抽樣計算，功能函數(shù)小于零的次數(shù)為的次數(shù)為 ，則結(jié)構(gòu)的失效