1、（三）例題 【 例 1-4- l 】 判別級數sin 的收斂性。【解】 級數 sin 為正項級數，因為而級數發散（p-級數，p=1的情形，根據比較審斂法的極限形式知此級數發散 .【 例 1 -4 - 2 】 判別級數的收斂性。 【 解 】 所給級數為正項級數，因為根據比值審斂法知所給級數發散。【 例 1- 4-3 】 判別級數的收斂性。 【 解 】 所給級數為正項級數，因為根據根值審斂法知所給級數收斂。【 例 1-4 4】 數項級數的部分和數列有界是該級數收斂的 （ A ）充分條件。 （ B ）必要條件。（ C ）充分必要條件。 （ D ）既非充分又非必要條件。【解 】 按數項級數收斂的定義，

2、級數收斂即級數的部分和數列有極限，而部分和數列有界是部分和數列有極限的必要條件，故選（ B ）。注意對正項級數來說，部分和數列有界是級數收斂的充分必要條件，而對一般的非正項級數來說，部分和數列有界僅是級數收斂的必要條件，而不是充分條件。 【 例1-4 -5】級數的收斂性是（ A ）發散 （ B ）條件收斂 （ C ）絕對收斂 （ D ）無法判定【 解 】 按萊布尼茲判別法知，級數收斂；級數是 p -級數的情形，p < 1 ，故級數發散，因此應選（ B ）。【 例 1 】判別級數的收斂性。【 解 】 所給級數是任意項級數，因為而級數是收斂的（p-級數，p = 4 ）。根據比較審斂法知，級數

3、收斂，即級數絕對收斂，從而級數收斂。【 例 1 - 4 -7 】判別級數的收斂性。【 解 】 所給級數為任意項級數，因為根據任意項級數審斂法（ 3 ）知，所給級數發散。例 1 -4 - 8 下列各選項正確的是二、冪級數泰勒級數（一）冪級數的概念和性質 1 冪級數的概念稱為冪級數，令，可化為2 冪級數的收斂性若級數當時收斂，則對適合的一切x，級數絕對收斂；若級數當時發散，則對適合的一切 x ，級數發散。3 冪級數的收斂半徑及其求法若冪級數在某些點收斂，在某些點發散，則必存在唯一的正數 R ，使當時，級數絕對收斂，當時，級數發散。這個 R 稱為冪級數的收斂半徑；若冪級數只在 x = 0 處收斂，則

4、規定收斂半徑 R = 0 ；若冪級數對一切 x 都收斂，則規定收斂半徑對冪級數若則它的收斂半徑4 冪級數的性質若冪級數的收斂半徑為 R ，則稱開區間（- R , R ）為冪級數的收斂區間，"根據冪級數在 x ± R 處的收斂情況，可以決定冪級數的收斂域（即收斂點的全體）是四個區間：（- R , R ）、- R , R ）、（- R , R 、- R , R 之一。冪級數具有以下性質：（ l ）冪級數的和函數在其收斂域上連續；（ 2 ）冪級數的和函數在其收斂區間內可導，且有逐項求導、逐項積分公式逐項求導、逐項積分后所得到的冪級數和原級數有相同的收斂半徑。（二）泰勒級數 1 泰勒級數的概念若 f （ x ）在點 x0處具有各階導數，則冪級數稱為函數f （ x ）在點 x0處的泰勒級數，特別當x0 = 0 時，級數稱為函數 f （ a ）的麥克勞林級數。2 函數展開成泰勒級數的條件設函數 f （x）在點 x0的某鄰域 U （ x0）內具有各階導數，則 f （ x）在該鄰域內能展開成泰勒級數（