1、第六章 無(wú)窮級(jí)數(shù)1、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2、冪級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)3、傅立葉級(jí)數(shù)、傅立葉級(jí)數(shù)第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用 6.0 背景 6.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 6.2.1 冪級(jí)數(shù)的有關(guān)概念 6.2.2 將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用 公元1655年英國(guó)J.沃利斯在無(wú)窮算術(shù)中引入了無(wú)窮級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是進(jìn)行函數(shù)數(shù)值計(jì)算的主要工具，隨著計(jì)算機(jī)的廣泛使用，其在工程技術(shù)和近似計(jì)算中的作用日趨明顯用一個(gè)冪級(jí)數(shù)來(lái)逼近一個(gè)函數(shù)，通常在某一點(diǎn)（函數(shù)在某一點(diǎn)展開）附近非常接近于函數(shù)的真值，而在其它的地方卻不一定這樣公元1807年，法國(guó)J.B.J.傅立葉在熱傳導(dǎo)研究中提出了任意函數(shù)的三角級(jí)數(shù)表示法，即由三

2、角函數(shù)組成的級(jí)數(shù)，這種級(jí)數(shù)被后人稱做傅立葉級(jí)數(shù)它能在一個(gè)更大的區(qū)間上更接近于原來(lái)的函數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)廣泛地應(yīng)用在電學(xué)和信號(hào)科學(xué)等領(lǐng)域 自然界的許多現(xiàn)象都具有周期性或重復(fù)性，所以用周期函數(shù)來(lái)逼近它們就極具意義例如，聲波是由空氣分子的周期性振動(dòng)產(chǎn)生的、心臟的跳動(dòng)、肺的運(yùn)動(dòng)和三角波等等都屬于周期現(xiàn)象，它們的合成與分解都大量用到三角級(jí)數(shù) 背景背景 6.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 一、引例 二、概念和公式的引出 三、案例第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用 一、引例 彈簧的運(yùn)動(dòng)總路程這樣運(yùn)動(dòng)下去，小球運(yùn)動(dòng)的總路程為222222100100100100 ( )100 ( )3333122100 ( )100 ( )33nn

3、 一只球從100米的高空落下，每次彈回的高度為上次高度的 ，32212222100200200 ( )200 ( )100 ( )3333nn 其特點(diǎn)是：由無(wú)窮多個(gè)數(shù)相加。第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用 二、概念和公式的引出設(shè)數(shù)列 ， ， ，則1u2unu12nuuu稱為常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記作 1nnu，即 1nnu12nuuu其中第 n項(xiàng) nu稱為級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)一般項(xiàng)或通項(xiàng)通項(xiàng)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用級(jí)數(shù) 1nnu的前 n項(xiàng)的和 nnuuus21稱為級(jí)數(shù) 1nnu的部分和當(dāng) n依次取 12 3 ， ， ，時(shí)，得到一個(gè)新的數(shù)列1

4、1us 212uus3213uuus123nnsuuuu ns1nnu數(shù)列 稱為級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列 部分和部分和部分和數(shù)列部分和數(shù)列第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用若級(jí)數(shù) 1nnu的部分和數(shù)列 ns有極限 s即 ssnnlim，則稱級(jí)數(shù) 1nnu是收斂收斂的，并稱 s為級(jí)數(shù) 1nnu的和和，記作suuuunnn211若 ns沒有極限，稱級(jí)數(shù) 1nnu是發(fā)散發(fā)散的即若 ssnnlim級(jí)數(shù) 1nnu收斂收斂，且 sunn1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用兩個(gè)重要結(jié)果兩個(gè)重要結(jié)果1、等比級(jí)數(shù)1111ppnnp發(fā)散收斂p級(jí)數(shù) )0(p2、11111qqqaaqnn)0(

5、a發(fā)散第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用 三、案例 案例1.分蘋果 有A、B、C三人按以下方法分一個(gè)蘋果：先將蘋果分成四份每人各取一份；然后將剩下的一份又分成四份，每人又取一份依此類推，以至無(wú)窮驗(yàn)證：最終每人分得蘋果的 第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用解根據(jù)題意，每人分得的蘋果為n4141414132它為等比級(jí)數(shù)，因 141所以此級(jí)數(shù)收斂，其和為第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用 案例2.增加投資帶來(lái)的消費(fèi)總增長(zhǎng) 假設(shè)政府在經(jīng)濟(jì)上投入1億元人民幣以刺激消費(fèi)如果每個(gè)經(jīng)營(yíng)者和每個(gè)居民將收入的25存入銀行，其余的75被消費(fèi)掉，從最初的1億元開始，這樣一直下去問：由政府增加投資而引起的消費(fèi)總增

6、長(zhǎng)為多少？如果每人只存10，結(jié)果為多少？第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用根據(jù)題意，若每人收入的25存入銀行解n)41()43()43(43132它為等比級(jí)數(shù)，因 143所以此級(jí)數(shù)收斂，其和為91010111limlimnnns則引起的消費(fèi)總增長(zhǎng)為6.2.1 冪級(jí)數(shù)的有關(guān)概念 一、引例 二、概念和公式的引出第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用 一、引例 冪函數(shù)具有一些很好的性質(zhì)，在近似計(jì)算中，常用冪函數(shù)來(lái)擬合任一函數(shù)。如經(jīng)過實(shí)驗(yàn)，獲得以下數(shù)據(jù)x=0 02 03 052 064 07 10;y=03 045 047 050 038 033 024;如圖1所示第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用

7、做四次多項(xiàng)式的曲線擬合得3019. 03072. 03565. 31052. 93792. 5234ttttp00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.20.250.30.350.40.450.5圖1其近似程度見圖200.10.20.30.40.50.60.70.80.910.150.20.250.30.350.40.450.50.55圖第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用 二、概念和公式的引出函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 設(shè) ), 2 , 1)(nxun是定義在區(qū)間上的函數(shù)，則級(jí)數(shù))()()()(211xuxuxuxunnn稱為區(qū)間 I上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 形如 0nnn

8、xannxaxaxaa2210(7-2)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)，其中常數(shù) 012,na a aa稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù) 第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用形如 nnxxaxxaxxaa)()()(0202010（7-3） 的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為 0()xx的冪級(jí)數(shù)令 0 xxt冪級(jí)數(shù) 00)(nnnxxa即為冪級(jí)數(shù) 0nnnta冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的收斂半徑為 1limnnnaaR第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng) R時(shí) 收斂區(qū)間為),(當(dāng)0R時(shí) 0 x0a收斂區(qū)間為點(diǎn)，其和為當(dāng)0R時(shí) 收斂區(qū)間為 ),(RR,RR),RR或 ,(RR之一 例如，冪級(jí)數(shù) nxxx21的收斂半徑為R=

9、1，收斂區(qū)間為 ) 1 , 1(6.2.2 將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 一、引例 二、概念和公式的引出 三、案例第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用 一、引例自然數(shù) e是一個(gè)超越數(shù)，如何計(jì)算它的值呢？下面尋找的表達(dá)式。第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用 二、概念和公式的引出泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù) 若當(dāng) n時(shí) 0)(xrn則函數(shù) )(xf在點(diǎn) 0 x的附近能展開成泰勒級(jí)數(shù)( )20000000()()()()()()().2!nnfxfxf xfxxxxxxxn在近似計(jì)算中，可用 10)1()()!1()()(nnnxxnfxr( 在 和 x0 x之間)的絕對(duì)值來(lái)估計(jì)n次多項(xiàng)式與函數(shù)的誤差 第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及

10、其在近似計(jì)算中的應(yīng)用由此結(jié)果，可以得到以下幾重要冪級(jí)數(shù)展開式nxxxx211111x1、xsin)!12() 1(! 5! 31253nxxxxnnx2、xe!212nxxxnx3、xcos)!2() 1(! 4! 21242nxxxnnx4、1) 1(32)1ln(132nxxxxxnn11x5、第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用 三、案例e的近似計(jì)算 案例1 計(jì)算的近似值，誤差不超過e410解由 e!1!2111n0!1nn取前 n項(xiàng) e)!1(1!2111n則誤差要求為 410)!1(3)!1(nnern得 7n4710!81r則 e7183. 2! 71! 第一節(jié) 冪級(jí)數(shù)及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用 傅立葉（Fourier, Jean Baptiste Joseph, 1768-1830） 法國(guó)數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家。最早使用定積分符號(hào)，改進(jìn)符號(hào) 法則及根數(shù)判別方法。傅立葉級(jí)數(shù)（三角級(jí)數(shù)）創(chuàng)始人。 他的主要貢獻(xiàn)是在研究熱的傳播時(shí)創(chuàng)立了一套數(shù)學(xué)理論。1807年向巴黎科學(xué)院呈交熱的傳播論文， 推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程 ，并在求解該方程時(shí)發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù)形式表示，從 而 提 出 任 一 函 數(shù) 都 可 以 展 成 三 角 函 數(shù)