1、2.3直線、平面垂直的判定及其性質23.1直線與平面垂直的判定自主學習 學習目標1掌握直線與平面垂直的定義2掌握直線與平面垂直的判定定理并能靈活應用定理證明直線與平面垂直3知道斜線在平面上的射影的概念，斜線與平面所成角的概念 自學導引1如果直線l與平面內的_一條直線都垂直，我們就說直線l與平面互相垂直，記作_直線l叫做平面的_，平面叫做直線l的_2直線與平面垂直的判定定理一條直線與一個平面內的_都垂直，則該直線與此平面垂直用符號表示為_3一條直線和平面相交，但不和平面垂直，這條直線叫做平面的斜線，斜線和平面的交點叫做_過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做_平面的一條斜線和

2、它在平面上的射影所成的銳角，叫做_4直線與平面所成的角的取值范圍是_對點講練知識點一線面垂直的判定例1S是直角ABC所在平面外一點，且SASBSC，點D為斜邊AC的中點(1)求證：SD平面ABC；(2)若ABBC，求證：BD面SAC.點評(1)線面垂直的判定定理是判定線面垂直的最常用思路；線面垂直的定義，給出了線面垂直的必備條件，作為直線與平面垂直的判定并不實用(2)證明線線(或線面)垂直時，除了利用平面幾何知識(勾股定理逆定理，菱形對角線、圓周角定理等)之外，還需要注意運用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，實現線線垂直與線面垂直的相互轉化變式訓練1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1

3、中，E、F分別是棱B1C1、B1B的中點求證：CF平面EAB.知識點二線線垂直與線面垂直的相互轉化例2如圖所示，四邊形ABCD為正方形，SA垂直于四邊形ABCD所在的平面，過點A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點E，F，G.求證：AESB，AGSD.點評本題的證明過程很具有代表性，即證明線線垂直，可先證線面垂直，而已知的線面垂直又可以產生有利于題目的線線垂直，在線線垂直和線面垂直的相互轉化中，平面在其中起著至關重要的作用，由于線線垂直是相互的，應充分考慮線和線各自所在平面的特征，以順利實現證明需要的轉化變式訓練2如圖所示，已知空間四邊形ABCD，BCAC，ADBD，引BECD，E為垂

4、足，作AHBE于點H，求證：AH平面BCD.知識點三求直線和平面所成的角例3如圖所示，已知正四面體(各棱長相等的三棱錐)ABCD的棱長為a，E為AD的中點，連接CE.(1)求證：頂點A在底面BCD內的射影是BCD的外心；(2)求AD與底面BCD所成的角的余弦值；(3)求CE與底面BCD所成的角的正弦值點評(1)要證明頂點在底面的射影為底面三角形的外心，只需要根據外心的概念或者是性質找到滿足外心的條件，外心是外接圓的圓心，所以它到三個頂點的距離相等故只需要證明OCOBOD.(2)求斜線與平面所成角的步驟：尋找過直線上一點與平面垂直的直線；連接垂足和斜足得出射影，確定出所求角；把該角放入三角形中計

5、算變式訓練3如圖所示，已知BOC在平面內，OA是平面的斜線，且AOBAOC60，OAOBOCa，BCa，求OA和平面所成的角1直線與平面垂直的判定方法：(1)定義(2)判定定理由直線和平面垂直的判定定理知，把線線垂直關系轉化為線面垂直關系在判定定理中，注重“兩條”和“相交直線”的重要性判定線面垂直關鍵是在平面內找出兩條相交直線和已知直線垂直(3)如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面這個命題也可作為線面垂直的一個判定方法證明時常用的轉化關系：線線垂直線面垂直2求線面角，確定直線在平面內的射影的位置，是解題的關鍵因為只有確定了射影的位置，才能找到直線與平面所成的角，才

6、能將空間的問題轉化為平面的問題來解. 課時作業一、選擇題1下列命題中正確的個數是()如果直線l與平面內的無數條直線垂直，則l；如果直線l與平面內的一條直線垂直，則l；如果直線l不垂直于，則內沒有與l垂直的直線；如果直線l不垂直于，則內也可以有無數條直線與l垂直A0 B1 C2 D32空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對角線AC、BD的關系是()A垂直且相交 B相交但不一定垂直C垂直但不相交 D不垂直也不相交3如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平面構成一個“正交線面對”，在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是()A12 B24 C36

7、D484如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為()A. B.C. D.5從平面外一點向平面引一條垂線和三條斜線，斜足分別為A，B，C，如果這些斜線與平面成等角，有如下命題：ABC是正三角形；垂足是ABC的內心；垂足是ABC的外心；垂足是ABC的垂心其中正確命題的個數是()A1 B2 C3 D4二、填空題6在正三棱柱ABCA1B1C1中，側棱長為，底面三角形的邊長為1，則BC1與側面ACC1A1所成的角是_(正三棱柱：側棱與底面垂直，底面為正三角形的棱柱)7已知平面外同側的兩點A、B到平面的距離分別為1和2，A、B兩點在平面

8、內的射影之間的距離為，直線AB和平面所成的角為_8在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，當底面A1B1C1滿足條件_時，有AB1BC1(注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況)三、解答題9如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PA垂直于底面，E、F分別是AB，PC的中點，PAAD.求證：(1)CDPD；(2)EF平面PCD.10如圖所示，在矩形ABCD中，AB3，BC3，沿對角線BD將BCD折起，使點C移到C點，且C點在平面ABD上的射影O恰在AB上(1)求證：BC平面ACD；(2)求直線AB與平面BCD所成角的正弦值2.3直線、平面垂直的判定及其性質

9、23.1直線與平面垂直的判定自學導引1任意l垂線垂面2兩條相交直線a，b，c，bcA，ab，aca3斜足斜線在平面內的射影這條直線和這個平面所成的角40，90對點講練例1證明(1)SASC，D為AC的中點，SDAC，連接BD.在RtABC中，則ADDCBD.又SASB，ADSBDS.SDBD.又ACBDD，SD面ABC.(2)BABC，D為AC中點，BDAC.又由(1)知SDBD.SDACD，BD平面SAC.變式訓練1證明在平面B1BCC1中，E、F分別是B1C1、B1B的中點，BB1ECBF，B1BEBCF，BCFEBC90，CFBE，又AB平面B1BCC1，CF平面B1BCC1，ABCF，

10、ABBEB，CF平面EAB.例2證明因為SA平面ABCD，所以SABC.又BCAB，SAABA，所以BC平面SAB，又AE平面SAB，所以BCAE.因為SC平面AEFG，所以SCAE.又BCSCC，所以AE平面SBC，所以AESB.同理可證AGSD.變式訓練2證明取AB中點F，連接CF、DF，ACBC，CFAB.又ADBD，DFAB，又CFDFF，AB平面CDF，ABCD.又BECD，且ABBEB，CD平面ABE.又AH平面ABE.CDAH.而AHBE，CDBEE，AH平面BCD.例3(1)證明過點A作AO平面BCD，垂足為O，連接OB、OC、OD，則OB、OC、OD分別是AB、AC、AD在平

11、面BCD內的射影，又ABACAD，AOAOAO，AOBAOCAOD90，AOBAOCAOD，ODOBOC.頂點A在底面BCD內的射影是BCD的外心(2)解OD為AD在底面BCD內的射影，ADO為直線AD與平面BCD所成的角O為BCD的外心，即BCD的中心(BCD為正三角形)DOaa，cosADO.AD與底面BCD所成的角的余弦值為.(3)解取DO的中點F，連接EF、CF，E、F分別為DAO的邊AD、OD的中點，EF為DAO的中位線，EFAO.又AO平面BCD，EF平面BCD，FC為EC在平面BCD內的射影，ECF為EC與平面BCD所成的角，在RtAOD中，EFAO，而AOa.EFa.在RtEF

12、C中，CEa，sinECF.CE與底面BCD所成的角的正弦值為.變式訓練3解方法一OAOBOCa，AOBAOC60，AOB、AOC為正三角形ABACa.BCa，AB2AC2BC2，BAC為直角三角形同理BOC也為直角三角形過A作AH垂直平面于H，連接OH，OAABAC，OHBHCH，H為BOC的外心H在BC上，且H為BC的中點AOH為直線OA與平面所成的角在RtAOH中，AHa，sinAOH，AOH45.即AO和平面所成的角為45.方法二由OAOBOCa，且AOBAOC60，得：ABACa.又BCa，ABC與OBC均為等腰直角三角形取BC中點H，連接OH、AH，則AHBC，且OHAHBCa，又

13、OAa，AHOH，又OHBCH，AH面OBC，AOH即為OA與平面所成的角，AOH45.課時作業1B2.C3D連接A1C1交B1D1于點O1，由ABBC，得A1C1B1D1，又A1C1BB1，故A1C1面BB1D1D，連接O1B，則O1BC1即為BC1與面BB1D1D所成的角，O1C1A1C1，BC1，sinO1BC1.4A5.306.307A1C1B190解析如圖所示，連接B1C，由BCCC1，可得BC1B1C，因此，要證AB1BC1，則只要證明BC1平面AB1C，即只要證ACBC1即可，由直三棱柱可知，只要證ACBC即可因為A1C1AC，B1C1BC，故只要證A1C1B1C1即可(或者能推出A1C1B1C1的條件，如A1C1B190等)8證明(1)PA底面ABCD，CDPA.又矩形ABCD中，CDAD，且ADPAA，CD平面PAD，CDPD.(2)取PD的中點G，連接AG，FG.又G、F分別是PD，PC的中點，GFCD，又AECD，GFAE，四邊形AEFG是平行四邊形，AGEF.PAAD，G是PD的中點，AGPD，EFPD，CD平面PAD，AG平面PAD.CDAG.EFCD.PDCDD，EF平面PCD.9(1)證明點C在平面ABD上的射影O在AB上，CO平面ABD，C