1、2.1 平面向量的實際背景與基本概念宣漢縣第二中學 袁永紅教學目標：1. 了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區分平行向量、相等向量和共線向量.2. 通過對向量的學習，使學生初步認識現實生活中的向量和數量的本質區別.3. 通過學生對向量與數量的識別能力的訓練，培養學生認識客觀事物的數學本質的能力.教學重點：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量.教學難點：平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯系.教學過程：一、自主學習 引言：請同學指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大

2、小沒有方向？新課學習： （一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。（二）請同學閱讀課本74-76頁后回答：1、數量與向量有何區別？_ 2、如何表示向量？ _3、有向線段和線段有何區別和聯系？分別可以表示向量的什么？_4、長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？_5、滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？_6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關系？_7、如果把一組平行向量的起點全部移到一點O，這時它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關系？_二 探究、合作、展示例1 書本75頁例1.例2判斷及解答：（1）平行向量是否一定方向相同？（

3、2）與任意向量都平行的向量是什么向量？（3）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？例3如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量、相等的向量.變式一：與向量長度相等的向量有多少個？變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？變式三：與向量共線的向量有哪些？例4判斷及解答：（1）不相等的向量是否一定不平行？（2）與零向量相等的向量必定是什么向量？（3）當且僅當滿足什么條件時兩個非零向量相等？（4）共線向量一定在同一直線上嗎？例5下列命題正確的是（ ）A.與共線，與共線，則與c也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C.向量與不共線，則與

4、都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行三、小結 ：1、 描述向量的兩個指標：模和方向.2、平面向量的概念和向量的幾何表示； 3、向量的模、零向量、單位向量、平行向量等概念。四、課后作業：習題2.1A組3,4題 向量的加法運算及其幾何意義宣漢縣第二中學 袁永紅教學重點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.教學難點：理解向量加法的定義.教學思路：一 自主學習：(一)設置情景：1、 復習：向量的定義以及有關概念A BCA BC2、 情景設置：（1）某人從A到B，再從B按原方向到C， 則兩次的位移和：（2）若上題改為從A到B，再從B按反方向到C， 則兩次的位移和：（3）

5、某車從A到B，再從B改變方向到C， 則兩次的位移和：（4）船速為，水速為，則兩速度和：A B CC A B(二)、探索研究：、向量的加法：求兩個_的運算，叫做向量的加法.、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）ABCa+ba+baabbaa如圖，已知向量a、.在平面內任取一點，作a，則_叫做a與的和，記作a，即 a， 規定：a + = + aba例1、已知向量、，求作向量+ 練習：課本84頁練習1探究：（1）兩向量的和與兩個數的和有什么不同？ （2）當向量與不共線時， |+|+|；什么時候|+|=|+|，什么時候|+|=|，當向量與不共線時，+的方向不同，且|+|，則+的方向與相同，且|+|=|-

6、|；若|，則+的方向與相同，且|+b|=|-|.（3）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個向量連加加法的交換律和平行四邊形法則已知向量、，求作向量+，+ 練習：課本84頁練習2、3問題：上題中+的結果與+是否相同？ 從而得到：）向量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應） ）向量加法的交換律：+=+你能證明：向量加法的結合律：(+) +=+ (+) 嗎？6由以上證明你能得到什么結論？ 多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.二合作、探究、展示：例2、長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸。現有一艘船從長江南岸A點出發，以

7、5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h（1） 試用向量表示江水速度、船速及船實際航行的速度（保留兩個有效數字）；（2） 求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度之間的夾角表示，精確到度）。練習：課本第84頁1、2、3、4題三、小結 1、向量加法的幾何意義；、交換律和結合律；、|+| | + |，當且僅當方向相同時取等號.四、課后作業習題2.2A組第二題2.1 平面向量的實際背景與基本概念教學目標：宣漢縣第二中學 袁永紅4. 了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區分平行

8、向量、相等向量和共線向量.5. 通過對向量的學習，使學生初步認識現實生活中的向量和數量的本質區別.6. 通過學生對向量與數量的識別能力的訓練，培養學生認識客觀事物的數學本質的能力.教學重點：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量.教學難點：平行向量、相等向量和共線向量的區別和聯系.教學過程：一、自主學習 引言：請同學指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？新課學習： （一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。（二）請同學閱讀課本74-76頁后回答：1、數量與向量有何區別？_ 2、如何表示向量？ _3、有向線段和線段有何區別和聯系？分別可以表

9、示向量的什么？_4、長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？_5、滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？_6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關系？_7、如果把一組平行向量的起點全部移到一點O，這時它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關系？_二 探究、合作、展示例1 書本75頁例1.例2判斷及解答：（1）平行向量是否一定方向相同？（2）與任意向量都平行的向量是什么向量？（3）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？例3如圖，設O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量、相等的向量.變式一：與向量長度相等的向量有多少個？

10、變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向量？變式三：與向量共線的向量有哪些？例4判斷及解答：（1）不相等的向量是否一定不平行？（2）與零向量相等的向量必定是什么向量？（3）當且僅當滿足什么條件時兩個非零向量相等？（4）共線向量一定在同一直線上嗎？例5下列命題正確的是（ ）A.與共線，與共線，則與c也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C.向量與不共線，則與都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行三、小結 ：2、 描述向量的兩個指標：模和方向.2、平面向量的概念和向量的幾何表示； 3、向量的模、零向量、單位向量、平行向量等概念。四、課后作業：習題2.1A組3

11、,4題 向量的加法運算及其幾何意義宣漢縣第二中學 袁永紅教學重點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.教學難點：理解向量加法的定義.教學思路：一 自主學習：(一)設置情景：3、 復習：向量的定義以及有關概念A BCA BC4、 情景設置：（1）某人從A到B，再從B按原方向到C， 則兩次的位移和：（2）若上題改為從A到B，再從B按反方向到C， 則兩次的位移和：（3）某車從A到B，再從B改變方向到C， 則兩次的位移和：（4）船速為，水速為，則兩速度和：A B CC A B(二)、探索研究：、向量的加法：求兩個_的運算，叫做向量的加法.、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）AB

12、Ca+ba+baabbaa如圖，已知向量a、.在平面內任取一點，作a，則_叫做a與的和，記作a，即 a， 規定：a + = + aba例1、已知向量、，求作向量+ 練習：課本84頁練習1探究：（1）兩向量的和與兩個數的和有什么不同？ （2）當向量與不共線時， |+|+|；什么時候|+|=|+|，什么時候|+|=|，當向量與不共線時，+的方向不同，且|+|，則+的方向與相同，且|+|=|-|；若|，則+的方向與相同，且|+b|=|-|.（3）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個向量連加加法的交換律和平行四邊形法則已知向量、，求作向量+，+ 練習：課本84

13、頁練習2、3問題：上題中+的結果與+是否相同？ 從而得到：）向量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應） ）向量加法的交換律：+=+你能證明：向量加法的結合律：(+) +=+ (+) 嗎？6由以上證明你能得到什么結論？ 多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.二合作、探究、展示：例2、長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸。現有一艘船從長江南岸A點出發，以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h（3） 試用向量表示江水速度、船速及船實際航行的速度（保留兩個有效數字）；（4） 求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度之間的夾角表示

14、，精確到度）。練習：課本第84頁1、2、3、4題三、小結 1、向量加法的幾何意義；、交換律和結合律；、|+| | + |，當且僅當方向相同時取等號.四、課后作業習題2.2A組第二題向量的減法運算及其幾何意義宣漢縣第二中學 袁永紅教學重點：向量減法的概念和向量減法的作圖法.教學難點：減法運算時方向的確定.教學思路： 一、 復習：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則，向量加法的運算定律：例：在四邊形中， . 二、自主學習 (閱讀教材85頁)1 用“相反向量”定義向量的減法（1） “相反向量”的定義：與a長度_、方向_的向量.記作_。易知-(-a) = a.（2） 規定：零向量的相反向量仍是零

15、向量. 。 任一向量與它的相反向量的和是_,.a + (-a) = 0如果a、b互為相反向量，則a = -b， b = -a， a + b = 0（3） 向量減法的定義:_，叫做a與b的差.即：a - b = a + (-b) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法.2 用加法的逆運算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運算：OabBaba-b 若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b3 求作差向量：已知向量a、b，求作向量a - bA作法：在平面內取一點O，作= a， = b 則= a - b即向量的幾何意義是：_OABaBb-bbBa+ (-b)ab注意：1表示a - b.

16、 強調：差向量“箭頭”指向被減向量。 2用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + (-b)探究：） 如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得向量怎么作？）若ab， 如何作出a - b？三、 例題：例1、已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d.badc A B D C例2、平行四邊形中，a，b， 用a、b表示向量、.變式一：當a， b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？ 變式二：當a， b滿足什么條件時，|a+b| = |a-b|？ O變式三：a+b與a-b可能是相等向量嗎？A DBC四：小結：向量減法的定義、作圖法|五：作業：習題2.2 A組第4題向量數乘運算及其

17、幾何意義一自主學習宣漢縣第二中學 袁永紅1.情景平臺a已知非零向量a，把a+a+a記作3a，(-a)+(-a)+(-a)記作-3a，試作出3a和3a2.概念導入我們規定 這種運算叫做向量的數乘，記作 ，它的長度和方向規定如下： （1） （2） 有上可知：=0時，a= 向量數乘的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小.3.運算律完成以下三個問題（1）已知非零向量a，求作向量2(3a)和6a，并進行比較a （2）已知非零向量a，求作向量5a和2a+3a，并進行比較 a（3）已知非零向量a，b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并把結果進行比較分析ab.總結運算律：設為實數,那么（1）；

18、（2）=+；（3）=+。特別地，我們有（-）=-（）=（-）， =-二探究、討論、展示典例一向量數乘運算律 例1. 計算：（1）(-3)4a （2）3(a+b)-2(a-b)-a （3）(2a+3b-c)-(3a-2b+c)變式訓練 1、點C在線段AB上，且,則= ,= .2、課本練習3、5題3、若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.典例二 三點共線問題兩個向量共線的等價條件是：例2 如圖,已知任意兩個非零向量a、b,試作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎?為什么? 例3 (1)已知兩個非零向量和不共線，如果，。求證;A 、B、

19、D 三點共線(2)已知兩個非零向量和不共線,欲使和共線，試確定實數k的值典例三 向量的線性運算例4 如圖, ABCD的兩條對角線相交于點M,且=a,=b,你能用a、b表示和嗎?變式訓練1、課本練習第4題 2、課本練習第6題【小結】1定義實數與向量的積 2實數與向量積的運算律3向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數，使b=a作業：習題2.2 A組第9、10題課下練習：習題2.2 A組第11、12、13題課下思考：習題2.2 B組第1、2、3、4、5題2.3.1 平面向量基本定理宣漢縣第二中學 袁永紅一自主學習（自學教材93，94頁）引子：在物理學中我們知道,力是一個向量,力的合成就是

20、向量的加法運算.而且力是可以分解的,任何一個大小不為零的力,都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來,會產生什么樣的結論呢？問題：如圖，設、是同一平面內兩個不共線的向量,是這一平面內的任一向量,我們通過作圖研究與、之間的關系.請完成： 給定平面內任意兩個不共線的非零向量、，請你作出向量=3+2、=-2. 由可知可以用平面內任意兩個不共線的非零向量、來表示向量,那么 平面內的任一向量是否都可以用形如1+2的向量表示呢? 【由上述過程可以發現,平面內任一向量都可以由這個平面內兩個不共線的向量、表示出來.當、確定后,任意一個向量都可以由這兩個向量量化,這為我們研究問題帶來極大

21、的方便.】由此可得:【平面向量基本定理】:_【定理說明】:(1)我們把不共線向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底;(2)基底不唯一,關鍵是不共線;(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進行分解;(4)基底給定時,分解形式唯一.提出問題 平面中的任意兩個向量之間存在夾角嗎？若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？ 已知兩個非零向量和 (如圖),作=,=,則AOB=(0180)叫做向量與的夾角. 的取值范圍是_顯然,當=0時, 與同向;當=180時, 與反向.因此,兩非零向量的夾角在區間0,180內. 如果與的夾角是90,我們說與垂直,記作.對平面中的任意一個向量能否用兩個互相垂直的向量

22、來表示？例1、已知向量、 (如圖),求作向量-2.5+3. 例2.設與是兩個不共線向量, =3+4,=-2+5,若實數、滿足+=5-,求、的值.例3已知G為ABC的重心,設=,=,試用、表示向量.課堂小結1.回顧本節學習的數學知識:平面向量的基本定理,向量的夾角與垂直的定義, 2.總結本節學習的數學方法,如待定系數法,定義法,歸納與類比,數形結合,幾何作圖.作業布置已知向量、 (如圖),求作向量（1）+2.（2）-+3 平面向量的正交分解及坐標表示宣漢縣第二中學 袁永紅一 自主學習（自學教材94-96頁）1.對平面中的任意一個向量能否用兩個互相垂直的向量來表示？上節課針對這一問題我們做出了肯定

23、的回答，接下來我們共同探究：把任意一個向量用兩個互相垂直的向量來表示會給解決問題帶來哪些方便。_叫做把向量正交分解2.提出問題我們知道,在平面直角坐標系中,每一個點都可用一對有序實數(即它的坐標)表示.對直角坐標平面內的每一個向量,如何表示呢?能不能象點一樣也用坐標來表示？解答問題如圖,在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.對于平面內的一個向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數x、y,使得=x+y ，這樣,平面內的任一向量都可由x、y唯一確定,我們把有序數對(x,y)叫做向量的坐標,記作=(x,y) 其中x叫做在x軸上的坐標,y叫做在y軸上的坐標,式叫

24、做向量的坐標表示.顯然, =(1,0), =(0,1),=(0,0).3.提出問題在平面直角坐標系中,一個向量和坐標是否是一一對應的？解答問題如圖，在直角坐標平面內，以原點為起點作，則點的位置由唯一確定.設，則向量的坐標就是點的坐標；反過來，點的坐標也就是向量的坐標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數唯一表示.二探究、討論、展示例1、 如圖,分別用基底、表示向量、,并求出它們的坐標.例2、請在平面直角坐標系中作出向量、，其中=（1,-3）、=（-3，-1）.課堂小結：（1）什么是正交分解？ （2）平面直角坐標系中，向量與坐標有什么關系？ （3）如何根據平面直角坐標系中的

25、向量求出其坐標？如何根據給出的坐標在平面直角坐標系中畫出其對應的向量？ 233平面向量的坐標運算宣漢縣第二中學 袁永紅教學目的：（1）理解平面向量的坐標的概念；（2）掌握平面向量的坐標運算；教學重點：平面向量的坐標運算教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性.教學過程：情景平臺:我們用有向線段表示向量時會進行線性運算，現在我們用坐標來表示向量還能不能進行線性運算？講解新課：1平面向量的坐標運算思考1：已知： ，你能得出、的坐標嗎？結論：（1） 若，則， 兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.結論：（2）若和實數，則.實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.

26、思考2：已知，怎樣求的坐標？結論：（3） 若，則-( x2， y2) - (x1，y1)(x2- x1， y2- y1)一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.思考3：你能標出坐標為(x2- x1， y2- y1)的P點嗎？結論：（4）向量的坐標與以原點為始點、點P為終點的向量的坐標是相同的。講解范例：例1 已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐標.練習1、課后練習1,2，3題例2 已知平面上三點的坐標分別為A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求點D的坐標使這四點構成平行四邊形四個頂點.練習2已知：四點A(5， 1)，B(3， 4)，

27、 C(1， 3)， D(5， -3) ，求證：四邊形ABCD是梯形.例3已知三個力 =(3， 4)， =(2， -5)， =(x， y)的合力+，求的坐標.課堂小結：平面向量的坐標運算； 課后作業：習題2.3 A組1,2,3題 平面向量共線的坐標表示宣漢縣第二中學 袁永紅一 自主學習（預習教材98-100頁）【提出問題】如何用坐標表示兩個共線向量?已知=(x1,y1),=(x2,y2),其中，且向量、共線，試證明：x1 y2x2 y1= 。 已知=(x1,y1),=(x2,y2),其中，且x1 y2x2 y1= 試證明：向量、共線。【得出結論】當且僅當x1y2-x2y1=0時向量、 (0)共線

28、.從而向量共線有兩種表述形式:若=(x1,y1),=(x2,y2),則有 ()= x1 y2x2 y1= 二 探究、討論、展示例1、已知=(4,2), =(6,y),且,求y.練習1：已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),試判斷A、B、C三點之間的位置關系.例2、設點P是線段P1P2上的一點,P1、P2的坐標分別是(x1,y1)、(x2,y2).(1)當點P是線段P1P2的中點時,求點P的坐標;(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時,求點P的坐標.練習2：已知=(2,3),=(6,-3),點P是線段AB的三等分點，求P點坐標。已知A(2,3)，B（4，-3）點P在線段AB的延長

29、線上，且=,求P點坐標。例3、在ABC中,已知點A(3,7)、B(-2,5).若線段AC、BC的中點都在坐標軸上,求點C的坐標.練習3、已知點A(1,2),B(4,5),O為坐標原點,=+t.若點P在第二象限,求實數t的取值范圍.【課堂小結】1、復習平面向量的和、差、數乘的坐標運算。2、學習兩個向量共線的坐標表示.3、總結本節學習的數學方法和思想方法。【作業布置】課本習題2.3 A組5、6、7題【課后思索】1、如圖，當時，P點坐標是什么？2、課本習題2.3 B組1、2、3、4、題25平面向量的數量積的物理背景及其含義宣漢縣第二中學 袁永紅一、自主學習（一）復習（1）兩個非零向量夾角的概念：已知

30、非零向量與，作，則_（）叫與的夾角.說明：（1）當時，與同向；（2）當時，與反向；（3）當時，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍是0q180（2）兩向量共線的判定定理_（3）力做的功：W = |cosq，q是與的夾角.功是標量，力和位移是向量，功是由力和位移確定的，類比這種運算，我們引入“數量積”的概念。(二)、（預習教材103-105頁）1平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數量_叫與的數量積，記作，即有_（其中）.并規定：向量與任何向量的數量積為0.探究：（1）、向量數量積是一個向量還是一個數量？它的符號什么時候為正？什么時候

31、為負？（2）、兩個向量的數量積與實數乘向量的積有什么區別？【平面向量數量積的幾點說明】（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cosq的符號所決定.（2）兩個向量的數量積稱為內積，寫成；書寫時要特別注意：.符號“”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在實數中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數量積中，若，且=0，不能推出=因為其中cosq有可能為0.（4）已知實數a、b、c(b0)，則ab=bc a=c.但是= (5)在實數中，有(ab)c = a(bc)，但是() () 顯然，這是因為左端是與共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線.2“投影”的概念：作圖 定義：_叫做向量在方向上的投影.投影是一個數量，不是向量；當q為_時投影為正值；當q為_時投影為負值當q為直角時投影為0；當q =_時投影為；當q = _時投影為 -.3向量的數量積的幾何意義：數量積等于的長度與在方向上投影cosq的乘積.探究1、：兩個向量的數量積的性質：設、為兩個非零向量，1、 = 0,2、當與同向時， = |