1、一、連續函數的概念一、連續函數的概念(ginin)(ginin)二、初等二、初等(chdng)(chdng)函數的連續函數的連續性性三、閉區間三、閉區間(q jin)(q jin)上連續函數的性上連續函數的性質質第三節函數的連續性第三節函數的連續性第一頁，共二十六頁。連續變化連續變化(binhu)的曲線對應的函數為連續函數的曲線對應的函數為連續函數如同體溫的升降、血液的流動、機體的成長等，在生命科學如同體溫的升降、血液的流動、機體的成長等，在生命科學范疇里，很多變量的變化都是連續不斷的函數范疇里，很多變量的變化都是連續不斷的函數(hnsh)的連續性的連續性正是客觀世界中事物連續變化現象的反映正

2、是客觀世界中事物連續變化現象的反映0 xy第二頁，共二十六頁。1.函數函數(hnsh)的增量的增量一、連續函數的概念一、連續函數的概念(ginin)(ginin) 設函數設函數 在點在點 附近有定義附近有定義,把把 附近的點附近的點 記為記為 ,則稱則稱 為自變量由為自變量由 變到變到 的的增量增量.)(xfy 0 x0 xxxxx00 xxx0 xx)()(00 xfxxfy為函數在點為函數在點 的增量的增量.0 xxy00 xxx 0)(xfy y x 第三頁，共二十六頁。2 2函數函數(hnsh)(hnsh)連續性的定義連續性的定義,00 xxx就就是是).()(00 xfxfy就就是是

3、 定義定義1-9 設函數設函數(hnsh) 在點在點 及其附近有定義及其附近有定義,如如果果 時時,也有也有 ,即即0 x0 x0)()(limlim00000 xfxxfyxx,0 xxx設設)()(0 xfxfy注意注意故定義中故定義中1-9的極限式等價于的極限式等價于)()(lim00 xfxfxx0 x0 x則稱函數則稱函數(hnsh) 在點在點 處連續處連續,稱稱 為為 的連續點的連續點.)(xfy 0y)(xfy )(xf第四頁，共二十六頁。因此，函數在一點連續因此，函數在一點連續(linx)的充分必要條件的充分必要條件是是;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)

4、2(0存存在在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 例例1-29 討論函數討論函數 在在 的的連續性連續性 0, 00,1sin)(xxxxxf0 x解解0)0() 1 (f 01sinlim)2(0 xx x)0()(lim)3(0fxf x所以所以(suy) 在在 連續連續0 x)(xf第五頁，共二十六頁。單側連續單側連續(linx).)(),()(lim)(;)(),()(lim)(00000000處處右右連連續續在在點點則則稱稱在在且且處處的的右右極極限限存存在在若若函函數數處處左左連連續續在在點點則則稱稱處處的的左左極極限限存存在在且且在在若若函函數數xxfxfxfxxf

5、xxfxfxfxxf xxxx顯然顯然.)()(00處處既既左左連連續續又又右右連連續續在在是是函函數數處處連連續續在在函函數數xxfxxf 即：即：)(lim)()(lim000 xfxfxfxxxx第六頁，共二十六頁。解解abaxxfxx)(lim)(lim00又又afxfxfxx )0()(lim)(lim00ba 例例1-30 設設 在點在點 處連續處連續,00 xxbxxbxaxf,sin,)(0 x問、應滿足什么關系問、應滿足什么關系?abbbxbxbxbxxxsinlimsinlim00af)0(第七頁，共二十六頁。連續連續(linx)(linx)函數與連續函數與連續(linx)

6、(linx)區間區間 在區間上每一點在區間上每一點(y din)(y din)都連續的函數都連續的函數, ,叫做在該區間上的叫做在該區間上的連連續函數續函數, ,或者說函數在該區間上連續或者說函數在該區間上連續. .,)(,),(上上連連續續在在閉閉區區間間則則稱稱函函數數處處左左連連續續在在右右端端點點處處右右連連續續并并且且在在左左端端點點內內連連續續如如果果函函數數在在開開區區間間baxfbxaxba 連續函數的圖形連續函數的圖形(txng)是一條連續而不間斷的曲線是一條連續而不間斷的曲線.第八頁，共二十六頁。例例1-311-31.),(sin內內連連續續在在區區間間函函數數證證明明 x

7、y證明證明(zhngmng),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時時當當對對任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當當.),(sin都都是是連連續續的的對對任任意意函函數數即即 xxy第九頁，共二十六頁。;)()(沒沒有有定定義義在在點點01xxf;)(lim)(不存在不存在xfxx02).()(lim,)(lim)(0003xfxfxfxxxx但但存存在在3 3函數函數(hnsh)(hnsh)的間斷點的間斷點 函數的不連續點稱為函數的函數的不連續點稱為函數的間斷點間斷點,

8、即滿足下列三個即滿足下列三個條件之一的點條件之一的點 為函數為函數 的間斷點的間斷點.0 x)(xf第十頁，共二十六頁。跳躍間斷點跳躍間斷點.)(),(lim)(lim,)(斷斷點點的的跳跳躍躍間間為為函函數數則則稱稱點點但但右右極極限限都都存存在在處處左左在在點點如如果果xfxxfxfxxfxxxx0000 )(lim)(lim00 xfxfxx.0為為函函數數的的跳跳躍躍間間斷斷點點 xoxy.0, 0,1, 0,)(處的連續性處的連續性在在討論函數討論函數 xxxxxxf例例1-321-32解解1)(lim, 0)(lim00 xfxfxx第十一頁，共二十六頁。可去間斷點可去間斷點.)(

9、,)(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點點為為函函數數稱稱點點則則處處無無定定義義在在點點或或但但處處的的極極限限存存在在在在點點如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx oxy112xy 1xy2 , 1,11, 10, 1,2)(xxxxxxf 討論函數討論函數例例1-331-33在在 的連續性的連續性1x第十二頁，共二十六頁。解解11 )(f2)(lim1 xfx)1(f.0為為函函數數的的可可去去間間斷斷點點所所以以x 注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(hnsh)的定的定義義, 則可使其變為連續點則可使其變為連續點.

10、2211)(lim,)(limxfxfxx又又第十三頁，共二十六頁。如例如例1-33中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續處連續在在則則 xxxxxxf跳躍跳躍(tioyu)(tioyu)間斷點間斷點與與可去間斷點可去間斷點統稱為統稱為第一類間斷點第一類間斷點. .特點特點(tdin)(tdin).0處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在函數在點函數在點xoxy112第十四頁，共二十六頁。第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的的第第二二類類間間斷斷點點為為函函數數則則稱稱點點在在右右極極限限至至少少有有一一個個不不存存處處的的左左、在在點點如如果果xfxxxf例例1

11、-341-34.0, 0, 0,1)(處處的的連連續續性性在在討討論論函函數數 xxxxxxfoxy.0為為函函數數的的第第二二類類間間斷斷點點x解解)(lim, 0)(lim00 xfxfxx這種情況稱為這種情況稱為無窮無窮(wqing)間斷間斷點點第十五頁，共二十六頁。解解,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0為為第第二二類類間間斷斷點點 xxy1sin 1-1-0.50.5yx.01sin)(處處的的連連續續性性在在討討論論函函數數 xxxf例例1-351-35這種情況這種情況(qngkung)稱為稱為振蕩間斷振蕩間斷點點第十六頁，共二十六頁。第一類間

12、斷點第一類間斷點:可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點第二類間斷點:無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點間斷點可去型可去型第一類間斷第一類間斷(jindun)點點oyx跳躍跳躍(tioyu)型型無窮無窮(wqing)型型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x第十七頁，共二十六頁。二、初等二、初等(chdng)函數的連續性函數的連續性(1) 一切一切(yqi)基本初等函數在其有定義的點都是連續的基本初等函數在其有定義的點都是連續的. (2) 若函數若函數 與與 在點在點 連續連續,則函數則函數 )(xf)(xg0 xx )()()(),()(),()(00 x

13、gxgxfxgxfxgxf在在 連續連續.0 xx (3) 若函數若函數 在點在點 處連續處連續,設設 ,而函數而函數 在點在點 處連續處連續,則復合函數則復合函數 在在點點 處連續處連續.)(xu0 xx )(00 xu)(ufy 0uu )(xfy0 xx 由以上可知由以上可知: :初等函數初等函數(hnsh)(hnsh)在其定義域內都是連續的在其定義域內都是連續的. .第十八頁，共二十六頁。故對初等函數故對初等函數, ,求極限就是求極限就是(jish)(jish)求這一點的函數求這一點的函數值值例例1-361-36215xxxarctanlim求求由于函數在其連續點由于函數在其連續點 滿

14、足滿足0 x)()lim()(lim000 xfxfxfxxxx81512arctan解解215xxxarctanlim第十九頁，共二十六頁。. 1 )1(limln10 xxx eln xxx10)1ln(lim 原式原式解解.)1ln(lim0 xxx 求求例例1-381-38例例1-371-37xxxesinlim0求求解解10 xxxsinlim,而函數而函數 在點在點 連續連續,所以所以uey 1ueeeexxxxxx100sinlimsinlim第二十頁，共二十六頁。三、閉區間三、閉區間(q jin)(q jin)上連續函數性質上連續函數性質)()(,11xffba)()(,22x

15、ffbaab1 2 定理定理1-3（最值定理）（最值定理） 若函數若函數 閉區間閉區間(q jin) 上連續，則上連續，則 在閉區間在閉區間(q jin) 上必有最大值和上必有最大值和最小值最小值)(xfy )(xfy ,ba,ba 推論推論（有界性定理）（有界性定理） 若函數若函數 閉區間閉區間 上連續，則上連續，則 在閉區間在閉區間 上必有界上必有界)(xfy )(xfy ,ba,ba第二十一頁，共二十六頁。cy abf(a)f(b)cf)( 定理定理1-4（介值定理）（介值定理） 若函數若函數 閉區間閉區間 上連上連續，則對介于續，則對介于 和和 之間的任何數之間的任何數 ，至少存在一個

16、，至少存在一個(y ) ，使得，使得 )(xfy ,ba)(af)(bfc 其幾何意義為其幾何意義為 連續曲線弧連續曲線弧 與水平與水平(shupng)直線直線 至少相交于一點至少相交于一點 cy )(xfy ),(ba第二十二頁，共二十六頁。0)(f 推論推論（根的存在定理）若函數（根的存在定理）若函數 閉區間閉區間 上連上連續，且續，且 與與 異號（即異號（即 ) ，則至少存在一個，則至少存在一個(y ) ，使得，使得 )(xfy ,ba)(af)(bf0)()(bfaf即為方程即為方程 的的根根0)(xf注：注：根不一定根不一定(ydng)唯一唯一ba)(xf),(ba第二十三頁，共二十六頁。例例1-39 證明證明0123 xx在在0，1內至少有一個根內至少有一個根.證明證明123xxxf)(在在0 1上連續上連續0)(f0)1()0(, 1)1(, 1)0( ffff而而由根的存在定理知，存在由根的存在定理知，存在 (0 1),使得使得0123 xx在在0，1內至少有一個根內至少有一個根.即即第二十四頁，共二十六頁。1函數函數(hnsh)連續的定義連續的定義2間斷間斷(jindun)點點類型類型：第一類第一類第二類第二類可去型可去型跳躍型跳躍型無窮無窮振蕩振蕩初等初等(chdng)函數的連續性函數的連續性閉區間上連續函數的性質閉區間上連續函數的性