1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)論基礎(chǔ)知識.txt丶喜歡的歌，靜靜的聽，喜歡的人，遠(yuǎn)遠(yuǎn)的看我笑了當(dāng)初你不挺傲的嗎現(xiàn)在您這是又玩哪出呢？全文:數(shù)論的基本知識本文將簡單地介紹有關(guān)整數(shù)集合Z=,-2,-1,0,1,2,和自然數(shù)集合N=0,1,2,的最基本的數(shù)論概念。可除性與約數(shù)一個整數(shù)能被另一個整數(shù)整除的概念是數(shù)論中的一個中心概念，記號d|a（讀作“d 除a”）意味著對某個整數(shù)k，有 a = kd。0可被每個整數(shù)整除。如果a>0且d|a，則|d|a|。如果d|a，則我們也可以說a是d的倍數(shù)。如果a不能被d整除，則寫作dFa。如果d|a并且d0，則我們說d是a的約數(shù)。注意，d|a當(dāng)且僅當(dāng)(-d)|a

2、，因此定義約數(shù)為非負(fù)整數(shù)不會失去一般性，只要明白a的任何約數(shù)的相應(yīng)負(fù)數(shù)同樣能整除a。一個整數(shù)a的約數(shù)最小為1，最大為|a|。例如，24的約數(shù)有1，2，3，4，6，8，12和24。每個整數(shù)a都可以被其平凡約數(shù)1和a整除。a的非平凡約數(shù)也稱為a的因子。例如， 20的因子有2，4，5和10。素數(shù)與合數(shù)對于某個整數(shù)a>1，如果它僅有平凡約數(shù)1和a，則我們稱a為素數(shù)(或質(zhì)數(shù))。素數(shù)具有許多特殊性質(zhì)，在數(shù)論中舉足輕重。按順序，下列為一個小素數(shù)序列:2，3，5，6，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，不是素數(shù)的整數(shù)a>1稱為合數(shù)。例如，因為有3|39，所

3、以39是合數(shù)。整數(shù)1被稱為基數(shù)，它既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。類似地，整數(shù) 0和所有負(fù)整數(shù)既不是素數(shù)也不是合數(shù)。定理 1素數(shù)有無窮個。證明：假設(shè)素數(shù)只有有限的n個，從小到大依次排列為p1,p2,.,pn，則 x = (p1·p2·.·pn)+1 顯然是不能被p1,p2,.,pn中的任何一個素數(shù)整除的，因此x也是一個素數(shù)，這和只有n個素數(shù)矛盾，所以素數(shù)是無限多的。這個證明的最早來自亞里士多德，非常漂亮，是反證法的經(jīng)典應(yīng)用，這個證明被歐拉稱為“直接來自上帝的證明”，歷代的數(shù)學(xué)家也對其評價很高。除法定理，余數(shù)和同模已知一個整數(shù)n，所有整數(shù)都可以分劃為是n的倍數(shù)的整數(shù)與不是n的

4、倍數(shù)的整數(shù)。對于不是n的倍數(shù)的那些整數(shù)，我們又可以根據(jù)它們除以n所得的余數(shù)來進行分類，數(shù)論的大部分理論都是基于上述分劃的。下列定理是進行這種分劃的基礎(chǔ)。定理2 (除法定理)對任意整數(shù)a和任意正整數(shù)n，存在唯一的整數(shù)q和r，滿足0 < r n，并且a = qn + r 。這個定理是整數(shù)的基本定理之一，這里就不給出具體證明了。值q=?a/n? 稱為除法的商（? x? 表示地板符號floor，即小于等于x的最大整數(shù)）。值 r = a mod n 稱為除法的余數(shù)。我們有n|a 當(dāng)且僅當(dāng) a mod n = O，并且有下式成立： (1)或 (2)當(dāng)我們定義了一個整數(shù)除以另一個整數(shù)的余數(shù)的概念后，就

5、可以很方便地給出表示同余的特殊記法。如果 (a mod n)=(b mod n)，就寫作 a b (mod n)，并說a和b對模n是相等的。換句話說，當(dāng)a和b除以n有著相同的余數(shù)時，有a b (mod n)。等價地有，a b (mod n)當(dāng)且僅當(dāng)n|(b - a)。如果a和b對模n不相等，則寫作a T b (mod n)。例如， 61 6 (mod 11)，同樣，-13 222 (mod 5)。根據(jù)整數(shù)模n所得的余數(shù)可以把整數(shù)分成n個等價類。模n 等價類包含的整數(shù)a為： 例如，37=,-11,-4,3,10,17,，該集合還有其他記法-47和107。a bn 。就等同于a b(mod n)。

6、所有這樣的等價類的集合為: (3)我們經(jīng)常見到定義 (4)如果用0表示0n，用1表示1n。等等，每一類均用其最小的非負(fù)元素來表示，則上述兩個定義(3)和(4)是等價的。但是，我們必須記住相應(yīng)的等價類。例如，提到Zn的元素-1就是指n-1n，因為-1 = n-1 (mod n)。公約數(shù)與最大公約數(shù)如果d是a的約數(shù)并且也是b的約數(shù)，則d是a與b的公約數(shù)。例如，24與30的公約數(shù)為1,2,3和6。注意，1是任意兩個整數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)的一條重要性質(zhì)為: (5)更一般地，對任意整數(shù)x和y，我們有 (6)同樣，如果a|b，則或者|a|b|，或者b=O，這說明： (7)兩個不同時為0的整數(shù)a與b的最大公約

7、數(shù)表示成gcd(a,b)。例如，gcd(24,30)=6，gcd(5,7)=1，gcd(0,9)=9。如果a與b不同時為0，則 gcd(a,b)是一個在1與min(|a|,|b|)之間的整數(shù)。我們定義gcd(O,0)=0，這個定義對于使gcd函數(shù)的一般性質(zhì)(如下面的式 (11)普遍正確是必不可少的。下列性質(zhì)就是gcd函數(shù)的基本性質(zhì)： (8) (9) (10) (11) (12) 定理 3如果a和b是不都為0的任意整數(shù)，則gcd(a,b)是a與b的線性組合集合 ax + by : x,y Z中的最小正元素。證明：設(shè)s是a與b的線性組合集中的最小正元素，并且對某個x,y Z，有s = ax + b

8、y，設(shè)q = ?a/s? ，則式(2)說明因此，a mod s也是a與b的一種線性組合。但由于a mod s < s，所以我們有a mod s = O，因為s是滿足這樣的線性組合的最小正數(shù)。因此有s|a，并且類似可推得s|b。因此，s是a與b的公約數(shù)，所以gcd(a，b) s。因為gcd(a，b)能同時被a與b整除并且s是a與b的一個線性組合，所以由式(6)可知gcd(a,b)| s 。但由gcd(a,b)|s 和s > O，可知 gcd(a,b)s。而上面已證明gcd(a,b)s，所以得到gcd(a,b) = s，我們因此可得到s是a與b的最大公約數(shù)。推論 4對任意整數(shù)a與b，如

9、果d|a并且d|b，則d|gcd(a,b)。證明：根據(jù)定理3，gcd(a，b)是a與b的一個線性組合，所以從式(6)可推得該推論成立。推論 5對所有整數(shù)a 和b以及任意非負(fù)整數(shù)n，gcd(an ,bn)=n gcd(a,b)。證明：如果n = 0，該推論顯然成立。如果n 0，則gcd(an,bn)是集合anx + bny中的最小正元素，即為集合ax + by中的最小正元素的n倍。推論 6對所有正整數(shù)n，a和b，如果n|ab并且gcd(a,n)=1，則n|b。證明：（略）互質(zhì)數(shù)如果兩個整數(shù)a與b僅有公因數(shù)1，即如果gcd(a,b)=1，則a與b稱為互質(zhì)數(shù)。例如，8和15是互質(zhì)數(shù)，因為8的約數(shù)為1

10、，2，4，8，而15的約數(shù)為1，3，5，15。下列定理說明如果兩個整數(shù)中每一個數(shù)都與一個整數(shù)p互為質(zhì)數(shù)，則它們的積與p與互為質(zhì)數(shù)。定理 7對任意整數(shù) a，b和p，如果gcd(a,p)=1且gcd(b,p)=1，則gcd(ab,p)=1。證明：由定理3可知，存在整數(shù)x，y，x'，y' 滿足ax+py=1bx'+py'=1把上面兩個等式兩邊相乘，我們有ab(xx')+p(ybx'+y'ax+pyy') = 1因為1是ab與p的一個正線性組合，所以運用定理3就可以證明所需結(jié)論。對于整數(shù)n1,n2,nk，如果對任何 ij 都有g(shù)cd(ni

11、,nj)=1，則說整數(shù)n1,n2,nk兩兩互質(zhì)。唯一的因子分解下列結(jié)論說明了關(guān)于素數(shù)的可除性的一個基本但重要的事實。定理 8對所有素數(shù)p和所有整數(shù)a，b，如果p|ab，則pla或者p|b。證明：為了引入矛盾，我們假設(shè)p|ab，但pFa并且pFb。因此，gcd(a,p)=1 且gcd(b,p)=1，這是因為p的約數(shù)只有1和p。又因為假設(shè)了p既不能被a也不能被b整除。據(jù)定理7可知，gcd(ab,p)=1；又由假設(shè)p|ab可知gcd(p,ab)=p，于是產(chǎn)生矛盾，叢而證明定理成立。從定理8可推斷出，一個整數(shù)分解為素數(shù)的因子分解式是唯一的。定理 9 (唯一質(zhì)因子分解)任意的整數(shù)a能且僅能寫成一種如下積

12、的形式其中pi為自然數(shù)中的第i個素數(shù)，p1<p2<<pr，且ei為非負(fù)整數(shù)（注意ei可以為0）。證明：（略）例如，數(shù)6000可唯一地分解為24·31·53。這個定理非常重要，在計算理論中很多重要的定理都可以基于這個定理來證明，因為這個定理實際上給出了Z和Z*的一一對應(yīng)關(guān)系，換句話說，任何的整數(shù)a都可以用一組整數(shù)(e1,e2,er)來表示，反之也成立，其中a和(e1,e2,er)滿足定理9的公式。比如6000可以用一組整數(shù)(4,1,3)表示，因為6000=24·31·53。從另一個角度看，這也提供了一種大整數(shù)的壓縮方法，可惜由于這種分解太費時間，所以此壓縮方法并不可行:-(。但是在很多定理的證明中（尤其是計算理論，形式語言和數(shù)理邏輯的定理中），用這種方法可以將一串的整數(shù)用唯一的一個整數(shù)來表示。比如在一臺圖靈機中，輸入是一串長度不定的整數(shù)，經(jīng)過某種轉(zhuǎn)換，輸出另外一串長度不定的整數(shù)，我們可以用定理9將輸入和輸出都用唯一的一個整數(shù)來表示，這樣轉(zhuǎn)換的過程就看作是一個簡單的從整數(shù)集到整數(shù)集的函數(shù)，對我們從理論上研究這種轉(zhuǎn)換過程提供了方便。歌德爾不確定性原理的證明中就利用了這種技巧，所以這種編碼方式又稱為哥德爾編碼。再舉個簡單的例子，如果我們將中文的每個漢字編碼，用一個整數(shù)表示一個漢字；將英文的26個字母編碼，用一個整