1、第九章常微分方程數值解決第九章常微分方程數值解決(1) 用差商近似導數)(,()()()()()()()(11nnnnnnnnnxyxhfxyxyhxyxyhxyxyxy)(),(01ayyyxhfyynnnn差分方程初值問題微分方程離散化的方法微分方程離散化的方法若用向后差商近似導數，即)(,()()()()()(11111nnnnnnnxyxhfxyxyhxyxyxy)(),(0111ayyyxhfyynnnn（2）用數值積分方法11)(,()()()(1nnnnxxnnxxdxxyxfxyxydxxy對積分用點nx處的矩形公式得)(,()()(11nnnnnnxxxyxfxyxy),(1

2、nnnnyxhfyy若對積分用梯形公式，則得)(,()(,(2)()(111nnnnnnxyxfxyxfhxyxy),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy（3）用Taylor多項式近似)(,()()()()()(1nnnnnnnxyxhfxyxyhxyhxyxy),(1nnnnyxhfyy1 1EulerEuler方法方法Euler方法方法1, 1 , 0 )(),(01Nnayyyxhfyynnnn的解作為微分方程初值問題的數值解，即nnyxy)(稱為Euler方法。以差分方程初值問題解：Euler公式為), 1 , 0( )(1nyxhyynnnn若取1 .0h，則有01.01

3、.01 .0)(1 .00)(1 .011120001yxyyyxyy用Euler方法求初值問題 0) 0 (10 yxyxy的數值解。若以)() 1, 1 , 0( ),(0111ayyNnyxhfyynnnn求數值解，稱為向后Euler法，這是隱式公式，一般需用迭代法求解。1.2Euler方法的誤差估計方法的誤差估計 . )( , )( 111為局部截斷誤差稱若nnnnnyxyRxyy . )(111為整體截斷誤差nnnyxye對Euler方法，有121 )(21)()()()(,()()(),()( nnnnnnnnnnnnnnxxyhxyhxyhxyxyxhfxyhxyyxhfyhxy

4、RnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnehLRyxyhLyxyRyxfxyxfhyxyRyyyxyyxyexyxhfxyy)1 ( )()( ),()(,()( )( )()(,()(11111111111記：, 0 ,)( , ),( )2(MbaCxyyxf則使得充分光滑若baxMxy, )( 于是有 ), 2 , 1( 22NkMhRknnehLMhe)1 (2 21)(121)1(21)1(21)1(2)1()1()1(12)1(2)1(2)(11222122hOeLhMhLLhMhLLhMhLhLMhhLhLhLMhehLMhhLMhabLhabnnnn10001111

5、),()()(Ryxhfyxyyxye結論結論： . , , 0 同階整體截斷誤差與方法收斂時當hEulerh . ),( :1階方法則稱該方法是截斷誤差為若某種數值方法的局部定義phOP .1 階方法方法是Euler2 2 改進改進EulerEuler方法方法2.1 梯形公式梯形公式 13111111 )(12)(),(),(2 nnnnnnnnnnnxxyhyxyRyxfyxfhyy求解公式), 2 , 1 , 0( ),(),(2),()(11) 1(1) 0(1kyxfyxfhyyyxhfyyknnnnnknnnnn )(12),(),(2)()(,()(31111yhyxfyxfhx

6、yxyxfxyRnnnnxxnnnnnnn ),(),(2 ) 1(11)(11)(1) 1(1knnknnknknyxfyxfhyy )0(1)1(1)(1)1(1)2(2nnkknknyyhLyyhL . , 120 迭代收斂時當hL0 21)2( )2()2( )0(1) 1 (1)0(1) 1 (11)(1) 1(1) 1(1)(1)(1)(1nnknnpkkknknpknpknknpknyyhLhLyyhLhLyyyyyy校正預測 ),(),(2 ),(1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy2.2 改進改進Euler法法稱為Euler公式與梯形公式的預測校正系統。

7、)(21),(),(11qpnpnnqnnnpyyyyxhfyyyxhfyy實際計算時，常改寫成以下形式解nnnnnpyxyxyy9 . 01 . 0),( 1 . 0 019025. 0005. 0005. 0905. 00095. 0,005. 0005. 0905. 0095. 0)(2101. 091. 009. 0)1 . 0( 1 . 0211yyyxyyyyxyxyynnqpnnnpnnq計算結果表明，改進Euler法的精度高于Euler法，可以證明，改進Euler法是二階方法。)(21),(),(11qpnpnnqnnnpyyyyxhfyyyxhfyy3 RungeKutta3

8、 RungeKutta法法1. RK方法的構造方法的構造), 3 , 2( ),(),(11111piKbhyhaxfKyxfKKchyyijjijnininnpiiinn . , 為待定系數其中iijicbaRK公式的一般形式為 ,2公式為RKp ),(),()(12122122111KhbyhaxfKyxfKKcKchyynnnnnn)(),(),(),(),()()(),(),(),(),(),(),(,(),(32212221221221212211hOhyxfyxfbyxfacyxhfccyhOyxfyxhfbyxf hayxfcyxfchyyxfhbyhaxfcyxfchyynny

9、nnnnxnnnnnynnnnxnnnnnnnnnnnnn)(),(),(),(2),()()()(2)()()(32321hOyxfyxfyxfhyxhfxyhOxyhxyhxyxynnnnynnxnnnnnnn 21211 2122221bcaccc特別地，取1,2121221bacc),(,(),(21nnnnnnnnyxhfyhxfyxfhyy這就是改進Euler公式，故其為二階方法。),(),()(2121211hKyhxfKyxfKKKhyynnnnnn)(21),(),(11qpnpnnqnnnpyyyyxhfyyyxhfyy ,21, 1, 0 21221則得如下中點公式取ba

10、cc)2,2(),(12121KhyhxfKyxfKhKyynnnnnn21211 2122221bcaccc由三階RK公式)2,()2,2(),()4(62131213211hKhKyhxfKKhyhxdKyxfKKKKhyynnnnnnnn四階RK公式（經典RK公式）。)22(643211KKKKhyynn),()2,2()2,2(),(3423121hKyhxfKKhyhxfKKhyhxfKyxfKnnnnnnnn說明： . , 4 ; , 4 pRKppRKp公式的最高階數小于時當公式的最高階數為時當4 4 線性多步法線性多步法riiniriininfhyy101 :多步法一般形式 .

11、 , ),( 為待定系數其中iiinininyxff . 0 , 0 11為隱式公式為顯式公式若單步法的一般形式： ),(11hyyxhyynnnnn顯式為 ),(1hyxhyynnnn . 稱為增量函數其中4.1 線性多步公式的導出線性多步公式的導出)()!1()(),()()!1()()()()(!)(2)()()(11111)(11)(222ppnpnnnnnnppnpnnininppnppnnnninhOyphyhyxyyxffhOyphyhiyxyfhOyiphyhihyhiyihxyy 利用Taylor展開)( ), 2 , 1( 1)()(1)(!2)( )()()(! )(2)

12、(2 )(11101)(211)(11111221101 pkikihOyphyhyhyxyhOyipiphyiihyihyyriikriikriippnpnnnnppnriipriippnriiriinriiriirininp階公式的局部截斷誤差為：)()() 1()(1)!1(2) 1(11111ppnriipriippnhOyipiphR結論結論： 1r 步公式至多可以達到22r階精度。例 討論二步公式 )4(31111nnnnnfffhyy是幾階公式，并求出它的局部截斷誤差。解一 31,34,31, 1, 010110代入公式（*）得13251)(5101)(413231)(3101)

13、(213611111111111111101110故所給公式是四階公式，其局部截斷誤差為)(90)(345)()( 5)(1! 56)5(56)5(56)5(11151hOyhhOyhhOyhRnnnn！4.2 常用的線性多步公式常用的線性多步公式)9375955(243211nnnnnnffffhyy)(7202516)5(51hOyhRnn四階Adams顯式公式)5199 (242111nnnnnnffffhyy)(720196)5(51hOyhRnn四階Adams隱式公式1. Adams公式公式（二）（二）Milne公式公式)22 (342131nnnnnfffhyy)(45146)5(

14、51hOyhRnn（三）（三）Hamming公式公式)2(83)9 (811121nnnnnnfffhyyy )(4016)5(51hOyhRnn2. 一般地，同階隱式公式比顯式公式精確， 但隱式公式計算復雜，需用迭代法求解。1. 線性多步公式不能自啟動，一般需用同階單步法求得初值后 再用線性多步公式計算；說明4.3 預測預測校正系統校正系統211113211519),(924)9375955(24nnnnnnnnnnnnnfffyxfhyyffffhyyMilneHamming預測校正公式：1112121312),(83)9 (81)22(34nnnnnnnnnnnnffyxfhyyyfff

15、hyyAdams預測校正公式：用局部截斷誤差修正預測值和校正值，可得多環節的預測校正系統。多環節的Adams預測校正公式)(27019519),(924)(270251)9375955(24111121111113211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnpccyfffmxfhycpcpmffffhyp多環節的MilneHamming預測校正公式：)(12192),(83)9(81)(121112)22(34111111121112131nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnpccyffmxfhyycpcpmfffhyp5 5 相容性、收斂性與穩定性相容性、收斂性與穩定性)( )(),(00yxyyxfy離散化5.1 相容性與收斂性相容性與收斂性 )( )(),(001yxyhyxhyynnnn問題 0 . 1逼近微分方程？時，差分方程是否無限當h * * 0 ,( . 2）的解？是否無限逼近問題（）的解時，問題（當hbax相容性: ),( 連續且滿足條件關于如果增量函數hhyx),() 0 ,(yxfyx則稱單步法與問題（*）相容，也稱問題（*）與（*）相容。 (*) ) 0( ),( 相