1、學 號 11700105天津城建大學 數字信號處理 設計說明書Matlab環境下采樣定理的驗證 起止日期： 2013 年 12 月 23 日 至 2014 年 1 月 3 日學生姓名仍然讓人班級電信1班成績指導教師(簽字)計算機與信息工程學院2014年 1月 3日天津城建大學課程設計任務書2012 2013 學年第 1 學期計算機與信息工程 學院 電子信息工程 專業 11電信1班 班級課程設計名稱： 數字信號處理 設計題目： Matlab環境下采樣定理的驗證 完成期限：自2014 年 12月 23日至 2014年 1月 3 日共 2 周設計依據、要求及主要內容：一課程設計依據時域采樣定理和頻域

2、采樣定理是數字信號處理中的重要理論，在掌握采樣定理內容及原理的基礎上，編寫Matlab程序驗證采樣定理。二課程設計內容1.連續信號畫出連續信號的時域波形及頻譜特性曲線2. 對信號進行采樣得到采樣序列，畫出采樣頻率分別是200Hz，100Hz，60Hz時的采樣序列波形；3.對不同采樣頻率下的采樣序列進行頻譜分析，繪制出幅頻曲線，對比各頻率下采樣序列的幅頻曲線有無區別；4.由采樣序列恢復出連續信號，畫時域波形，對比原連續時間信號波形；5.信號，編寫程序分別對=FTx(n)在上等間隔采樣32點和16點，得到，再分別對進行32點和16點IFFT得到，分別畫出，的頻譜圖，并畫出x(n),的波形，進行對比

3、。三課程設計要求1. 要求獨立完成設計任務。2. 課程設計說明書封面格式要求見天津城市建設學院課程設計教學工作規范附表13. 課程設計的說明書要求簡潔、通順，計算正確，圖紙表達內容完整、清楚、規范。4. 運行程序，觀察并保存程序運行結果，能夠對運行結果進行結果分析。5. 課設說明書要求：1) 說明題目的設計原理和思路、采用方法及程序。2) 詳細說明調試方法和調試過程，并給程序加注釋。3) 給出程序運行結果，并對其進行說明和分析。 指導教師（簽字）： 系/教研室主任（簽字）： 批準日期： 2013年 12 月 19日目錄第1章 數字信號處理介紹11.1 背景知識11.2 MATLAB軟件介紹1第

4、2章 設計目的及要求22.1 設計目的22.2 設計要求2第3章 設計原理33.1整體設計原理33.2時域采樣定理33.2.1時域采樣定理公式的推導33.2.2 采樣信號的恢復33.3頻域采樣定理43.3.1頻域采樣定理公式的推導4第4章 設計過程的實現54.1設計步驟54.2 設計步驟框圖5第5章 設計結果及分析65.1 用MATLAB設計程序對應圖形65.2設計分析85.2.1 時域采樣定理的分析85.2.2 頻域采樣定理的分析8總結9參考文獻10附錄11第1章 數字信號處理介紹1.1 背景知識 數字信號處理是20世紀60年代，隨著信息學科和計算機學科的高速發展而迅速發展起來的一門新興學科

5、。它的重要性日益在各個領域的應用中表現出來。數字信號處理是把信號用數字或符號表示成序列，通過計算機或通用（專用）信號處理設備，用數字的數值計算方法處理（例如：濾波、變換、增強、估計、識別等），達到提取有用信息便于應用的目的。數字信號處理（Digital Signal Processing,簡稱DSP）是一門設計許多學科而又廣泛應用于許多領域的新興學科。DSP有兩種含義：Digital Signal Processing（數字信號處理）、Digital Signal Processor（數字信號處理器）。我們常說的DSP指的是數字信號處理器。數字信號處理器是一種適合完成數字信號處理運算的處理器。

6、廣義來說，數字信號處理是研究用數字方法對信號進行分析、變換、濾波、檢測、調制、解調以及快速算法的一門技術學科。但很多人認為：數字信號處理主要是研究有關數字濾波技術、離散變換快速算法和譜分析方法。隨著數字電路與系統技術以及計算機技術的發展，數字信號處理技術也相應地得到發展，其應用領域十分廣泛。1.2 MATLAB軟件介紹 MATLAB是矩陣實驗室（Matrix Laboratory）之意。除具備卓越的數值計算能力外，它還提供了專業水平的符號計算，文字處理，可視化建模仿真和實時控制等功能。經過不斷完善MATLAB已經發展成為適合多學科，多種工作平臺的功能強大大大型軟件。成為線性代數,自動控制理論，

7、數理統計，數字信號處理，時間序列分析，動態系統仿真等高級課程的基本教學工具。 MATLAB的語言特點：(1)語言簡潔緊湊，使用方便靈活，庫函數極其豐富。(2)運算符豐富。(3)MATLAB既具有結構化的控制語句（如for循環，while循環，break語句和if語句），又有面向對象編程的特性。(4)程序限制不嚴格，程序設計自由度大。(5)MATLAB的圖形功能強大。(6)MATLAB的缺點是，它和其他高級程序相比，程序的執行速度較慢。由于MATLAB的程序不用編譯等預處理，也不生成可執行文件，程序為解釋執行，所以速度較慢。第2章 設計目的及要求2.1 設計目的1 理解并掌握序列的采樣定理的條件

8、，并進行驗證；2 學會運用MATLAB驗證函數的采樣定理；3 學會運用MATLAB畫出函數的幅頻曲線；2.2 設計要求1掌握利用MATLAB在數字信號處理中的基本應用，并會對結果用所學知識進行分析；2對連續信號進行采樣，在滿足采樣定理和不滿足采用定理兩種情況下對連續信號和采樣信號進行FFT頻譜分析； 3從采樣信號中恢復原信號，對不同采樣頻率下的恢復信號進行比較分析。第3章 設計原理3.1整體設計原理 利用Matlab對連續信號進行采樣，對比采樣頻率，三種情況下的頻譜，并與理想頻譜進行分析，進而從實驗上驗證時域采樣定理。由時域采樣原理和頻域采樣原理，得到一個有用的結論，這兩個采樣理論具有對偶性：

9、“時域采樣頻譜周期延拓，頻域采樣時域信號周期延拓”。因此放在一起進行實驗。3.2時域采樣定理模擬信號經過 (A/D) 變換轉換為數字信號的過程稱為采樣，信號采樣后其頻譜產生了周期延拓，每隔一個采樣頻率 fs，重復出現一次。為保證采樣后信號的頻譜形狀不失真，采樣頻率必須大于信號中最高頻率成分的兩倍，這稱之為采樣定理。3.2.1時域采樣定理公式的推導（1）對模擬信號以間隔T進行時域等間隔理想采樣，形成的采樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜以采樣角頻率（）為周期進行周期延拓。公式為： （2）采樣頻率必須大于等于模擬信號最高頻率的兩倍以上，才能使采樣信號的頻譜不產生頻譜混疊。 理想采樣信號和模擬信號之間的關

10、系為 對上式進行傅立葉變換，得到： 在上式的積分號內只有當時，才有非零值，因此： 3.2.2 采樣信號的恢復 可用傳輸函數的理想低通濾波器不失真地將原模擬信號恢復出來，只是一種理想恢復。 因為 (2.2.2)理想低通濾波器的輸入輸出和， =*= （2.2.3）3.2.3 采樣信號的混疊現象 對連續信號進行等間隔采樣時，如果不能滿足采樣定理，采樣后信號的頻率就會重疊，即高于采樣頻率一半的頻率成分將被重建成低于采樣頻率一半的信號。這種頻譜的重疊導致的失真稱為混疊，而重建出來的信號稱為原信號的混疊替身，因為這兩個信號有同樣的樣本值。 3.3頻域采樣定理 頻域采樣點數N必須大于等于時域離散信號的長度M

11、(即NM)，才能使時域不產生混疊，則N點IDFT得到的序列就是原序列x(n),即=x(n)。如果N>M，比原序列尾部多N-M個零點；如果N<M，z則=IDFT發生了時域混疊失真，而且的長度N也比x(n)的長度M短，因此。與x(n)不相同。3.3.1頻域采樣定理公式的推導 對信號x(n)的頻譜函數X(ej)在0，2上等間隔采樣N點，得到則N點IDFT得到的序列就是原序列x(n)以N為周期進行周期延拓后的主值區序列，公式為： 第4章 設計過程的實現4.1設計步驟1.連續信號畫出連續信號的時2.域波形及頻譜特性曲線；2 對信號進行采樣得到采樣序列，畫出采樣頻率分別是200Hz，100Hz

12、，60Hz時的采樣序列波形；3.對不同采樣頻率下的采樣序列進行頻譜分析，繪制出幅頻曲線，對比各頻率下采樣序列的幅頻曲線有無區別；4.由采樣序列恢復出連續信號，畫時域波形，對比原連續時間信號波形；5.信號，編寫程序分別對=FTx(n)在上等間隔采樣32點和16點，得到，再分別對進行32點和16點IFFT得到，分別畫出，的頻譜圖，并畫出x(n),的波形，進行對比。4.2 設計步驟框圖繪制時域波形及幅頻特性采樣200Hz100Hz60Hz頻譜分析恢復信號 計算誤差 圖1 采樣定理示意第5章 設計結果及分析5.1 用MATLAB設計程序對應圖形圖2 時域波形與幅頻特性曲線圖3 信號恢復后的時域波形圖

13、圖4 頻域采樣的頻譜圖5.2設計分析5.2.1 時域采樣定理的分析 由公式知原信號的最高截止頻率為100Hz,由上圖可知，在三種不同的采樣頻率下，只有采樣頻率為200Hz時信號恢復較好。具體分析如下：(1) 頻率為60Hz即<時，為原信號的欠采樣信號和恢復，采樣頻率不滿足時域采樣定理，那么頻移后的各相臨頻譜會發生相互重疊，這樣就無法將他們分開，因而也不能再恢復原信號。頻譜重疊的現象被稱為混疊現象。(2) 頻率為100Hz即=時，為原信號的臨界采樣信號和恢復，上圖有其采樣的離散波形和頻譜，從恢復后信號和原信號先對比可知，恢復情況很差，前后時域波形差別很大。(3) 頻率為200Hz即>

14、時，為原信號的過采樣信號和恢復，由上圖采樣信號離散波形和頻譜，可以看出采樣信號的頻譜是原信號頻譜進行周期延拓形成的。此時的采樣是成功的，它能夠恢復原信號，從時域波形可看出，從上圖采樣恢復后的波形可看出與原信號誤差很小了，并且比上面采樣所得的沖激脈沖串包含的細節要多，說明恢復信號的精度已經很高，這樣我們可以利用低通濾波器得到無失真的重建。5.2.2 頻域采樣定理的分析 由頻域采樣定理可知，采樣后的信號頻譜是原信號頻譜以采樣頻率為周期進行周期延拓形成的，周期性在上面兩個圖中都有很好的體現。但是從16點和32點采樣后的結果以及與員連續信號頻譜對比可以看出，16點對應的頻譜出現了頻譜混疊而并非原信號頻

15、譜的周期延拓。這是因為N取值過小導致采樣角頻率，因此經周期延拓出現了頻譜混疊。而N取32時，其采樣角頻率，從而可以實現原信號頻譜以抽樣頻率為周期進行周期延拓，并不產生混疊.本例中，x(n)的長度M=26。從圖中可以看出，當采樣點數 N=32大于等于序列長度M=26時，則x32(n)=IDFTX(k)=x(n)，時域無混疊；當采樣點數N小于序列長度M時，對信號x(n)的頻譜函數X(ej)在0，2上等間隔采樣N=16時， N點IDFT得到的序列正是原序列x(n)以16為周期進行周期延拓后的主值區序列。由于存在時域混疊，x316(n)=IDFTX(k)x(n)。由此可知頻域采樣定理的條件是：頻域采樣

16、點數NM。總結這次的數字信號處理的課設，我們做的是基于MATLAB的采樣定理的驗證。采樣定理在數字信號處理中是一個重要的內容。以前的學習當中，有很多的不了解。通過這次的課設，我清楚地掌握了采樣定理的內容，學到了不少。首先，通過本次課設，我掌握了MATLAB軟件的使用，了解了其優缺點，學會了利用MATLAB實現函數的波形圖及頻譜圖的產生。在設計過程中，有好幾次圖都無法產生，通過查閱資料及網上查詢，最終將所要求的圖形全都畫了出來。通過這個過程，我明白了所有的軟件程序調試過程中，我們只有自己親自動手，親自編寫程序，才能學會解決問題的方法，提高自己發現問題、分析和解決問題的能力。其次，在做課設的過程當

17、中，常常因為一個程序搞不出來而厭煩想到放棄。但是，正因為不斷地翻閱資料，告知自己不要放棄，不要認輸，最后才把程序寫出來。這個過程中我學會了無論遇到多大的困難，只有靜下心來，不怕困難，努力鉆研，就一定能克服困難，渡過難關。在此次的課設中，我對數字信號處理這門學科也有了更深的認識。在我們的學習當中，僅僅掌握課本上的知識是遠遠不夠的，還要學會如何應用到實踐中。只有這樣，我們才能更好的地去學習。 參考文獻1 高西全,丁玉美.數字信號處理(第三版)M.西安：西安電子科技大學出版社，2008.102 MATLAB在數字信號處理中的應用薛年喜主編 清華大學出版社，2003年3 鄭阿奇，曹戈，趙陽.MATLA

18、B實用教程M.北京：電子工業出版社，2007.74 程衛國，馮峰，姚東，徐聽.MATLAB5.3應用指南M.北京：人民郵電出版社，2003.55 陳楊.MATLAB 6.X圖像編程與圖像處理M.西安：西安電子科技大學出版社，2004.46 陳懷琛等編著.MATLAB及在電子信息課中的應用.北京：電子工業出版社，2002.7 劉衛國主編.MATLAB程序設計與應用（第二版）. 北京：高等教育出版社，2006.附錄1. 時域采樣程序clc;clear;close all; fs=500;fs1=200;fs2=100;fs3=600; %設置四重采樣頻率 t=0:1/fs:0.1; %采集信號長度

19、為0.1sA=100;b=50*2*pi;a=10; %連續信號xa(t)的參數xa=exp(-a*t).*sin(b*t);k=0:511;f=fs*k/512; %由wk=2pik/512=2pifT求得模擬頻率fw=2*pi*k/512;Xa=xa*exp(-j*1:length(xa)'*w);%近似模擬信號頻譜 T1=1/fs1;t1=0:T1:0.1; %采集信號長度為0.1sx1=A*exp(-a.*t1).*sin(b*t1); %200Hz抽樣序列x1(n)X1=x1*exp(-j*1:length(x1)'*w);%x1(n)的512點DTFTT2=1/fs

20、2;t2=0:T2:0.1; %采集信號長度為0.1sx2=A*exp(-a.*t2).*sin(b*t2); %100Hz抽樣序列x2(n)X2=x2*exp(-j*1:length(x2)'*w);%x2(n)的512點DTFTT3=1/fs3;t3=0:T3:0.1; %采集信號長度為0.1sx3=A*exp(-a.*t3).*sin(b*t3); %60Hz抽樣序列x3(n)X3=x3*exp(-j*1:length(x3)'*w);%x3(n)的512點DTFT figure(1);subplot(2,2,1);plot(t,xa);axis(0,max(t),min

21、(xa),max(xa);title('模擬信號');xlabel('t(s)'); %X-軸標注ylabel('Xa(t)'); %Y-軸標注 line(0,max(t),0,0); %添加網格和繪X-軸線subplot(2,2,2);plot(f,abs(Xa)/max(abs(Xa);title('模擬信號的幅度頻譜');axis(0,500,0,1);xlabel('f(Hz)');ylabel('|Xa(jf)|'); subplot(2,2,3);stem(t1,x1,'.

22、9;); %繪棒狀圖，末端用實心圓點line(0,max(t1),0,0);axis(0,max(t1),min(x1),max(x1);title('抽樣序列x1(n)(fs1=200Hz)');xlabel('n');ylabel('X1(n)'); f1=fs1*k/512;subplot(2,2,4);plot(f1,abs(X1)/max(abs(X1);title('x1(n)的幅度譜');xlabel('f(Hz)');ylabel('|X1(jf)|'); figure(2);sub

23、plot(2,2,1);stem(t2,x2,'.');line(0,max(t2),0,0);axis(0,max(t2),min(x2),max(x2);title('抽樣序列x2(n)(fs2=100Hz)');xlabel('n');ylabel('X2(n)'); f=fs2*k/512;subplot(2,2,2);plot(f,abs(X2)/max(abs(X2);title('x2(n)的幅度譜');xlabel('f(Hz)');ylabel('|X1(jf)|'

24、); subplot(2,2,3);stem(t3,x3,'.');line(0,max(t3),0,0);axis(0,max(t3),min(x3),max(x3);title('抽樣序列x3(n)(fs3=600Hz)');xlabel('n');ylabel('X3(n)'); f=fs3*k/512;subplot(2,2,4);plot(f,abs(X3)/max(abs(X3);title('x3(n)的幅度譜');xlabel('f(Hz)');ylabel('|X3(jf)

25、|')2.信號的恢復程序clear;close all;A=100;b=50*2*pi;a=10; %連續信號xa(t)的參數for k=1:1:3 if k=1 Fs=60; %抽樣頻率 elseif k=2 Fs=100; elseif k=3 Fs=200; end T=1/Fs; dt=T/3; %每個抽樣間隔T上g(t)去三個樣點 tp=0.1; %重構時間區域為0,0.1s t=0:dt:tp; %生成序列t n=0:tp/T; %生成序列n TMN=ones(length(n),1)*t-n'*T*ones(1,length(t);%生成TMN矩陣 x=A*exp

26、(-a.*n*T).*sin(b*n*T); %生成模擬信號抽樣序列x(n) xa=x*sinc(Fs*TMN); %內插公式 subplot(3,1,k); %繪制重構信號 plot(t,xa); hold on; axis(0,max(t),min(xa)-100,max(xa)+100); st1=sprintf('由Fs=%d',Fs); st2='Hz的抽樣序列x(n)重構的信號' ylabel('xa(t)'); st=st1,st2 title(st); x0=A*exp(-a.*t).*sin(b*t); %以3Fs對原始模擬信號

27、抽樣 stem(t,x0,'.'); line(0,max(t),0,0); %繪制抽樣信號end3 頻域采樣理論的驗證M=26;N=32;n=0:M;%產生M長三角波序列x(n)xa=0:M/2; xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=xa,xb;Xk=fft(xn,1024); %1024點FFTx(n), 用于近似序列x(n)的TFX32k=fft(xn,32) ;%32點FFTx(n)x32n=ifft(X32k); %32點IFFTX32(k)得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔點抽取X32k得到X16(K)x16n=ifft(X16k,N/2); %16點IFFTX16(k)得到x16(n)subpl