1、 本科畢業論文（設計）題 目： 行列式乘法規則的證明方法及其應用 學 生： 學號： 學 院： 數學學院 專業： 數學與應用數學 入學時間： 年 月 日指導教師： 職稱： 完成日期： 年 月 日誠 信 承 諾我謹在此承諾：本人所寫的畢業論文行列式乘法規則的證明方法及其應用均系本人獨立完成，沒有抄襲行為，凡涉及其他作者的觀點和材料，均作了注釋，若有不實，后果由本人承擔。 承諾人（簽名）： 年 月 日行列式乘法規則的證明方法及其應用姓名： 學號： 指導老師： 摘 要：行列式的乘法規則是解決行列式相關問題的重要理論依據。通過對它的學習，有利于我們更好的掌握和運用行列式的解題技巧去解決相關問題。本文首先

2、用三種方法證明了行列式的乘法規則，包括數學歸納法，利用拉普拉斯定理證明和用矩陣分塊思想證明，最后，還給出了行列式乘法規則的應用。關鍵字：行列式；拉普拉斯定理；分塊矩陣Proof Method of Determinant Multiplication Rule and Its ApplicationName: Student Number: Advisor: Abstract: Determinant of the multiplication rule is the important theoretical basis to solve the problem of determinant

3、 associated. Through learning about it, be helpful for our better master and use the determinant problem solving skills to solve related problems. In this paper, using three methods proved determinant of the multiplication rule. Including mathematical induction, the use of Laplace theorem proving an

4、d the matrix block .And also gives a few examples.Key words: determinant; Laplace theorem; partitioned matrix目 錄1引言及預備知識52行列式乘法規則的證明方法52.1利用數學歸納法證明52.2利用拉普拉斯定理證明92.3利用矩陣分塊證明123行列式乘法規則的應用舉例134結束語15參考文獻15致謝171引言及預備知識線性方程組是數學中最基礎也是應用最廣泛的內容之一，而行列式是解線性方程組的一個基本工具。隨著數學的不斷發展，行列式的應用已經不僅僅局限于線性代數，在數學分析、解析幾何、概率

5、論與數理統計、數學建模等領域都有著廣泛的應用。在學習行列式的過程中，它自身的特點和性質是基礎中的基礎，決定著其它有關內容的掌握程度。當然行列式的計算也是相當重要之內容。由于行列式的計算方法多樣，應用靈活，我們要根據題目的具體要求選擇簡便的方法，使問題解決簡單化。 行列式的乘法規則是行列式中最基礎也是必須掌握的內容之一，它的應用非常廣泛，是解決相關問題的依據。通過對行列式乘法規則的掌握，也有利于我們進一步的理解和應用行列式去探討其它一些重要問題。本文主要采用數學歸法，利用拉普拉斯定理和利用矩陣分塊這三種方法完整的證明了行列式乘法規則，同時給出了它們的常見應用。命題1（ 行列式的乘法規則）若兩個階

6、行列式，則與的乘積是一個行列式其中2行列式乘法規則的證明方法 2.1利用數學歸納法證明 要證明行列式的乘法規則，需先證明以下兩個引理： 引理1 證明: .證明 首先我們對的個數作數學歸納法。當時，左邊=右邊，故引理結論成立。假設當時，引理結論成立,即 現在我們來看當時，引理結論是否成立。首先我們按第一行展開，則有 可見，當時，引理的結論也成立。因此根據數學歸納法原理，引理1得證。引理2 證明:其中證明 首先對作以下變換:第一列乘以，第二列乘以，依此類推，第列乘以，之和加到第列；第一列乘以，第二列乘以，依此類推，第列乘以，之和加到第列；如此下去，第一列乘以，第二列乘以，依此類推，第列乘以，之和加

7、到第列；第一列乘以，第二列乘以，依此類推，第列乘以，之和加到第列，則有然后再依次按行，行, 行展開，則有原式=因此，由引理1及引理2知行列式的乘法規則成立。2.2利用拉普拉斯定理證明 首先需證明以下引理：引理3 行列式的任一子式與它的代數余子式的乘積中的每一項都是行列式的展開式中的一項，而且符號也一致。 證明 令為行列式的任一階子式,為對應的余子式。令展開后的一般項為,（1）其中為從小到大的行排列，為次序不定的列排列。 再令展開后的一般項為,（2）其中為從小到大的列排列，為次序不定的行排列。又與都為的一個排列。從而將式（1）（2）相乘，得.顯然為展開后的任意項。 再者,（3）我們注意到，因為中

8、的任意項也會與中的任意項構成逆序，產生逆序數。在中能與構成逆序的有項，能與構成逆序的有項，依此類推，能與構成逆序的有項。所以有（3）式成立。 又由于,（4）我們注意到，因為中的任意項也與中的項構成逆序，產生逆序數。比項大的有項，而中有項，所以能與構成逆序的有項，同理在中能與構成逆序的有項，依此類推，能與構成逆序的有項。所以有（4）成立。因此，我們有從而有即的一般項為.又為的代數余子式。所以的一般項為.這剛好是行列式的一般項，所以引理3得證。定理1 若為行列式，為的取定行后得到的子式，分別為的代數余子式。則有證明 我們知道的每一項就是中的一項且有相同的符號。又與無公共項，所以只需證明兩邊項數相同

9、便可得到上式。由于的項數式，而的項數是，的項數式，又所以被證等式右邊的項數是，故定理1得證。 其實該定理就是拉普拉斯定理的簡單敘述，以上也給出了一般的證明方法。拉普拉斯定理是行列式計算中的一個重要定理，是行列式展開的理論依據，有很多教材都給出了詳細證明，例如北大教研組編的高等代數，及張禾瑞，郝鈵新編的高等代數等。大家可以參見這些資料，來具體學習拉普拉斯定理，在這里也不再做詳細說明。 現在來給出行列式乘法規則的第二種證明方法。 證明 首先我們作一個階的行列式，利用拉普拉斯定理，將按前行展開，可見只有左上角的那個階子式不為零，則，這與引理1所得的結果相同。其實這不是偶然，引理1中的行列式是的特例，

10、是得一般形式。學過拉普拉斯定理后，類似的行列式都容易計算多了。 再根據引理2即可得到行列式的乘法規則。2.3利用矩陣分塊證明 下面我們將采用矩陣分塊的思想來證明行列式的乘法規則。 證明 首先作一個階的行列式令 .所以.根據分塊矩陣乘法和拉普拉斯定理，得.由此可見利用分塊矩陣和拉普拉斯定理組合也可以得到和引理1一樣的結果。再由引理2即可得到行列式的乘法規則。以上我們采用了三種方法證明了行列式的的乘法規則，分別是數學歸納法，利用拉普拉斯定理證明以及利用矩陣分塊證明，下面我們給出其的幾個常見應用。 3行列式乘法規則的應用舉例行列式的的應用非常廣泛，以下就行列式乘法規則的應用給出幾個典型例題，供大家參

11、考。例1 計算以下行列式.解 原式= 例2 計算以下行列式(1).解 原式=(2). 解 原式=例3 計算下列行列式 .解 原式= 例4 計算以下行列式.解 由于顯然中的系數為1，所以必是正。即4結論關于行列式乘法規則的詳細證明在高等數學等教材中所占的篇幅都比較少，甚至都不給予單獨說明。對于它的學習一般都是在學習行列式其它內容時才給出一些簡單說明。但是我們在做行列式相關問題時，行列式乘法規則是最基礎也是最常用的理論之一，所以我們應該自己組織時間進行具體學習。本文運用了三種方法（數學歸納法，利用拉普拉斯定理及矩陣分塊思想）論證了行列式的乘法規則，為了讓讀者能夠順利的理解和領會乘法規則，還給出了一

12、些典型例題。希望讀者在學習此理論的同時，也能夠很好的掌握它的運用技巧。當然關于行列式乘法規則的證明以及應用遠不止這些，由于本人知識有限，在這里不能一一說明面面俱到。參考文獻：1北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組. 高等代數M. 北京：高等教育出版社，2003.2張禾瑞，郝鈵新.高等代數M.北京：高等教育出版社，2004.3張金武.行列式的乘法規則及其應用N.成人教育學報, 1998-4-3(4).4鐘婷.矩陣乘積的一個行列式等式的證明J.高等數學研究，2004,(6):50.5殷紅彩.拉普拉斯(Laplace)定理的新證明N.赤峰學院學報，2012-8-3(9).6楊子胥.高等代數習題解（上冊）M.濟南：山東科學技術出版社，2002.7王萼芳，石生明.高等代數輔導與習題解答M. 北京:高等教育出版社，2007.8李師正.高等代數解題方法與技巧M. 北京：高等教育出版社，2005.9黎伯堂，劉桂真.高等代數解題技巧與方法M. 濟南：山東科學技術出版社，2001.10P.Dentoni,M.Sce.Funzioni regolari nell algebra di Cayley,Rend.Sem Mat.Univ. Padova,1998，50（8）：251-267.致謝首先由衷的感謝我的導師唐劍老師，感謝老師為我提供