1、第6章行列式、矩陣與線性方程組本章教學(xué)要求：了解行列式、矩陣的基本概念，并會(huì)計(jì)算行列式、矩陣的計(jì)算題。在一個(gè)函數(shù)、方程或不等式中，如果所出現(xiàn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式是關(guān)于未知數(shù)或變量的一次式，那么這個(gè)函數(shù)、方程或不等式就稱(chēng)為線性函數(shù)、線性方程或線性不等式。在經(jīng)濟(jì)管理活動(dòng)中，許多變量之間存在著或近似存在著線性關(guān)系，使得對(duì)這種關(guān)系的研究顯得尤為重要，許多非線性關(guān)系也可轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系。線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)的又一個(gè)重要內(nèi)容，與微積分有著同樣的地位和同等的重要性行列式、矩陣與線性方程組（即一次方程組）的理論是線性代數(shù)的一個(gè)基本內(nèi)容，也是主要內(nèi)容線性代數(shù)在許多實(shí)際問(wèn)題中有著直接的應(yīng)用，并為數(shù)學(xué)的許多分支和其它學(xué)科所借鑒

2、行列式、矩陣與線性方程組在數(shù)據(jù)計(jì)算、信息處理、均衡生產(chǎn)、減少消耗、增加產(chǎn)出等方面有著廣泛應(yīng)用，是我們改善企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)管管理、提高經(jīng)濟(jì)效益很有用的工具。在這一章里，我們將介紹行列式和矩陣的一些基礎(chǔ)知識(shí)，并討論線性方程組的解法，以及行列式、矩陣與線性方程組的一些相關(guān)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用。n階行列式及性質(zhì)行列式是在討論線性方程組時(shí)建立起來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，是我們解線性方程組的一個(gè)有力工具6.1.1 二階行列式二元線性方程組的一般形式是 利用消元法求解：，得，得當(dāng)時(shí)，方程組的解為在二元線性方程組的解的表達(dá)式中，、的解的分母都是為了便于記憶和討論，引入一個(gè)新的記號(hào)來(lái)表示，即 (6-1)在中，、是方程組中、的系數(shù)，它們按

3、原來(lái)的位置排成一個(gè)正方形我們稱(chēng)為二階行列式，其中橫排稱(chēng)為行，縱排稱(chēng)為列，（；）稱(chēng)為二階行列式第行第列的元素(6-1)式的右端稱(chēng)為二階行列式的展開(kāi)式顯然，二階行列式有二行和二列，共4個(gè)元素，記為個(gè)元素，二階行列式的展開(kāi)式有兩項(xiàng)，記為2!項(xiàng)。二階行列式按如下方法展開(kāi)（圖6-1）： 圖6-1 二階行列式展開(kāi)方法實(shí)對(duì)角線（叫做主對(duì)角線）上兩元素之積取正號(hào)，虛對(duì)角線上兩元素之積取負(fù)號(hào)，然后相加就是行列式的展開(kāi)式這種展開(kāi)行列式的方法稱(chēng)為對(duì)角線展開(kāi)法由上可知，二階行列式等于一個(gè)確定的數(shù)，這個(gè)數(shù)稱(chēng)為二階行列式的值求二階行列式的值可用對(duì)角線展開(kāi)法例6-1計(jì)算下列二階行列式的值：；解：；根據(jù)對(duì)角線展開(kāi)法，我們?cè)賮?lái)

4、解決前面給出的二元線性方程組求解的另一種方法。有：對(duì)應(yīng)于、解的分母和分子的表達(dá)式,聯(lián)系二階行列式的展開(kāi)形式,得到如下： =，=記：，由于行列式是由方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來(lái)的順序排列而成，故稱(chēng)為系數(shù)行列式顯然，行列式、是以、分別替換行列式中的第一列、第二列的元素所得到因此，當(dāng)時(shí)，方程組的解可表示為：， (6-2)例6-2解方程組解：方程組化為一般形式：因?yàn)椋裕鶕?jù)(6-2)式，方程組的解為：，6.1.2 三階行列式三元線性方程組的一般形式為 與二元線性方程組類(lèi)似，用消元法可求出解的公式為其中分母式比較繁雜，為了便于記憶與討論，仿照二階行列式，用記號(hào)來(lái)表示，即 (6-3)(6-3)式的左邊叫

5、做三階行列式，右邊叫做這個(gè)三階行列式的展開(kāi)式顯然，三階行列式有三行和三列，共個(gè)元素，其中（；）是三階行列式第行第列的元素三階行列式的展開(kāi)式有3!項(xiàng)三階行列式的展開(kāi)可按如下方法展開(kāi)（圖6-2）： 圖6-2 三階行列式展開(kāi)方法實(shí)線上三數(shù)之積取正號(hào)，虛線上三數(shù)之積取負(fù)號(hào)，然后相加就是行列式的展開(kāi)式，這種展開(kāi)法則叫做對(duì)角線法則例6-3計(jì)算行列式的值解：例6-4展開(kāi)行列式解：與二階行列式相似，用三階行列式來(lái)求解三元線性方程。引入記號(hào)、，其中，行列式是由方程組中未知數(shù)的系數(shù)按原來(lái)的順序排列而成，叫做方程組的系數(shù)行列式，行列式、是以、分別替換行列式中的第一列、第二列、第三列的元素所得到因此，當(dāng)時(shí)，方程組的解

6、可表示為：， (6-4)例6-5解方程組解：方程組化為一般形式：因?yàn)椋裕鶕?jù)(6-4)式，方程組的解為：，6.1.3 n階行列式為了定義n階行列式及學(xué)習(xí)行列式的展開(kāi)定理，我們先介紹代數(shù)余子式的概念定義6.1將行列式中第行第列的元素所在行和列的各元素劃去，其余元素按原來(lái)的相對(duì)位置次序排成一個(gè)新的行列式，這個(gè)新的行列式稱(chēng)為元素的余子式，記作。稱(chēng)為元素的代數(shù)余子式，記作，即 （6-5）例如，在行列式中，；，有了代數(shù)余子式的概念，我們?nèi)菀椎玫饺A行列式按第一行元素展開(kāi)為（）若規(guī)定一階行列式，則二階行列式按第一行元素展開(kāi)為（）依照上述（）、（）式來(lái)定義n階行列式：定義6.2將個(gè)數(shù)排成一個(gè)正方形數(shù)表，

7、并在它的兩旁各加一條豎線，即 （6-6）稱(chēng)為n階行列式當(dāng)時(shí)，規(guī)定一階行列式；當(dāng)時(shí)，規(guī)定n階行列式 (6-7)例6-6計(jì)算行列式的值解：根據(jù)定義，在n 階行列式中，有一類(lèi)特殊的行列式，它們形如 (6-8)或 (6-9)我們都稱(chēng)它們?yōu)槿切涡辛惺剑渲惺?6-8)稱(chēng)為下三角形行列式，式(6-9)稱(chēng)為上三角形行列式三角形行列式的值等于主對(duì)角線上各元素的乘積，即四階和四階以上的行列式稱(chēng)為高階行列式6.1.4 n階行列式的性質(zhì)按定義計(jì)算行列式是一種較復(fù)雜的運(yùn)算方法，下面學(xué)習(xí)的n階行列式性質(zhì)，能簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算性質(zhì)行列式所有的行與相應(yīng)的列互換，行列式的值不變，即我們把行列式的行與列互換后所得行列式稱(chēng)為的轉(zhuǎn)

8、置行列式，記作 這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明，對(duì)于行列式的行成立的性質(zhì)，對(duì)于列也一定成立，反之亦然性質(zhì)行列式的任意兩行（列）互換，行列式僅改變符號(hào)例如， 性質(zhì)若行列式中某兩行（列）對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式的值為零例如， 性質(zhì)行列式中某行（列）的各元素有公因子時(shí)，可把公因子提到行列式符號(hào)外面例如， 例6-7計(jì)算下列行列式的值：；解：推論若行列式有一行（列）各元素都是零，則此行列式等于零例如，推論若行列式有二行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式等于零例如，性質(zhì)若行列式某一行（列）的各元素均是兩項(xiàng)之和，則行列式可表示為兩個(gè)行列式之和，其中這兩個(gè)行列式的該行（列）元素分別為兩項(xiàng)中的一項(xiàng)，而其它元素不變例如，性質(zhì)將行列式

9、某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)后加到另一行對(duì)應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變例如，性質(zhì)在行列式的計(jì)算中起著重要的作用運(yùn)用性質(zhì)時(shí)選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)，可以使行列式的某些元素變?yōu)榱惴磸?fù)交替地使用行列式性質(zhì)，將行列式化為三角形行列式，也是計(jì)算行列式的值的常用方法例6-8計(jì)算下列行列式的值：； 解：在n階行列式的定義中，是將行列式按第一行展開(kāi)的事實(shí)上， n階行列式也可以按任何一行（列）展開(kāi)性質(zhì)（行列式展開(kāi)性質(zhì)）行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和例6-9利用性質(zhì)計(jì)算行列式的值解：性質(zhì)行列式某一行（列）的各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零例如，在三階行列式中，；習(xí)

10、題6-1 利用對(duì)角線法則求下列各行列式的值：； 寫(xiě)出下列行列式中元素，的代數(shù)余子式：1 ； 利用行列式的性質(zhì)求下列各行列式的值： ； 求下列各行列式的值：； 用行列式解下列線性方程組：；試證明下列范得蒙（Vandermonde）行列式：；克萊姆（Cramer）法則在上一節(jié)的討論中我們知道，二元、三元線性方程組在系數(shù)行列式時(shí)方程組有唯一解，并且解可以用式(6-2)或(6-4)求出類(lèi)似地，對(duì)于n元線性方程組，其一般形式為(6-10)有如下結(jié)論：定理6.1（克萊姆法則）若n元線性方程組(6-10)的系數(shù)行列式，則方程組(6-10)有且僅有一個(gè)解：，其中是把的第列元素?fù)Q成方程組的常數(shù)項(xiàng)，而得到的n階行

11、列式例6-10解線性方程組解：方程組的系數(shù)行列式，所以，方程組有唯一解又因?yàn)椋煽巳R姆法則，得方程組的解為，例6-11某企業(yè)一次投料生產(chǎn)能獲得產(chǎn)品及副產(chǎn)品共四種，每種產(chǎn)品的成本未單獨(dú)核算現(xiàn)投料四次，得四批產(chǎn)品的總成本如下表所示試求每種產(chǎn)品的單位成本批次產(chǎn)品（公斤）總成本（元）第一批產(chǎn)品第二批產(chǎn)品第三批產(chǎn)品第四批產(chǎn)品4010020802050836204083210204125804102721100解：設(shè)、四種產(chǎn)品的單位成本分別為，依題意列方程組利用克萊姆法則解這個(gè)方程組，得方程組有唯一解：，所以，四種產(chǎn)品的單位成本分別為10元、元、元、元如果n元線性方程組(6-10)的常數(shù)項(xiàng)均為零，即 (6

12、-11)則當(dāng)系數(shù)行列式時(shí)，方程組(6-11)有唯一零解：，我們應(yīng)該知道，解線性方程組，只有在方程組的未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相等以及方程組的系數(shù)行列式時(shí)，才能應(yīng)用克萊姆法則當(dāng)，或者未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)不相等時(shí)，我們可以用矩陣的知識(shí)來(lái)解決習(xí)題6-2用克萊姆法則解下列線性方程組：；一節(jié)食者準(zhǔn)備他一餐的食物、已知每一盎司含有單位的蛋白質(zhì)，單位的脂肪，單位的糖；每一盎司含有單位的蛋白質(zhì)，單位的脂肪，單位的糖；每一盎司含有單位的蛋白質(zhì)，單位的脂肪，單位的糖如果這一餐必須精確地含有25單位的蛋白質(zhì)，24單位的脂肪，21單位的糖，請(qǐng)問(wèn)節(jié)食者每種食物須準(zhǔn)備多少盎司？（每盎司為28.35g）試根據(jù)下列資料求每類(lèi)商品

13、的利潤(rùn)率：商品月份銷(xiāo)售額（萬(wàn)元）總利潤(rùn)（萬(wàn)元）4810102.742.762.892.79矩陣的概念、運(yùn)算在本節(jié)，我們要學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念矩陣(matrix)矩陣不僅是解線性方程組的重要工具，而且在經(jīng)濟(jì)管理中也有著極為廣泛的應(yīng)用6.3.1 矩陣的概念例6-12某公司銷(xiāo)售四種商品、，它們?cè)诘谝患径鹊匿N(xiāo)售量分別如表6-1所示：表6-1商品月份銷(xiāo)售額（件）20025028022030026010090120300320400在數(shù)學(xué)中習(xí)慣僅將數(shù)據(jù)從表里提出來(lái)研究這樣一個(gè)純數(shù)表：如果我們把這些數(shù)按原來(lái)的行列次序排出一張矩形數(shù)表：這種矩形數(shù)表在數(shù)學(xué)上就叫做矩陣定義6.3由個(gè)數(shù)按一定順序排列成的一個(gè)行列的

14、矩形數(shù)表： （6-12）稱(chēng)為行列矩陣 稱(chēng)為矩陣的第行第列元素矩陣通常用大寫(xiě)英文字母，或，表示，也可記為或?qū)τ诰仃嚕?-12），當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為階方陣，簡(jiǎn)稱(chēng)方陣當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為行矩陣當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為列矩陣當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為零矩陣，記作或，即方陣從左上角到右下角的對(duì)角線稱(chēng)為主對(duì)角線除了主對(duì)角線上的元素外，其余元素均為零的方陣稱(chēng)為對(duì)角矩陣，即主對(duì)角線上的元素均為的對(duì)角矩陣稱(chēng)為單位矩陣，記為或例如，主對(duì)角線下方的各元素均為零的方陣稱(chēng)為上三角形矩陣，即；主對(duì)角線上方的各元素均為零的方陣稱(chēng)為下三角形矩陣，即上三角形矩陣和下三角形矩陣統(tǒng)稱(chēng)為三角形矩陣把矩陣的行換成列所得的矩陣稱(chēng)為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，記作或例如，則若兩矩陣與對(duì)應(yīng)位置上的元

15、素都相等，即，則稱(chēng)矩陣與矩陣相等，記作由方陣的元素按原來(lái)的次序所構(gòu)成的行列式稱(chēng)為矩陣的行列式，記作或例如，矩陣的行列式為6.3.2 矩陣的運(yùn)算矩陣的加法與減法例6-13某運(yùn)輸公司分兩次將某商品（單位：噸）從個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往個(gè)銷(xiāo)地，兩次調(diào)運(yùn)方案分別用矩陣與矩陣表示：，求該公司兩次從各產(chǎn)地運(yùn)往各銷(xiāo)地的商品運(yùn)輸量顯然所求商品運(yùn)輸量用矩陣表示為這個(gè)例子說(shuō)明，在實(shí)際問(wèn)題中有時(shí)需要把兩個(gè)矩陣的所有對(duì)應(yīng)元素相加這就是矩陣的加法定義6.4設(shè)矩陣，則矩陣稱(chēng)為與的和與差，記作，即顯然，兩個(gè)矩陣只有當(dāng)它們的行數(shù)和列數(shù)都相同時(shí)，才能進(jìn)行加減運(yùn)算例6-14已知，求；解：矩陣的加法滿(mǎn)足：交換律：；結(jié)合律：，其中、均是行列矩陣數(shù)

16、與矩陣相乘在例6-13中，若運(yùn)輸公司第三次將這種商品從個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往個(gè)銷(xiāo)地，且運(yùn)輸量是第二次的倍，則第三次從各產(chǎn)地運(yùn)往各銷(xiāo)地的商品運(yùn)輸量用矩陣表示為這實(shí)際上是數(shù)與矩陣相乘定義6.5設(shè)矩陣，則矩陣稱(chēng)為數(shù)與矩陣相乘，簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)乘矩陣，記作，即例6-15已知，求解：數(shù)乘矩陣滿(mǎn)足：交換律：；分配律：，；結(jié)合律：；，；，其中、為任意常數(shù)，、均是行列矩陣矩陣與矩陣相乘例6-16某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，計(jì)劃元月份的產(chǎn)量分別為100、120件，用矩陣表示已知每種產(chǎn)品都需經(jīng)過(guò)三臺(tái)機(jī)器加工，每臺(tái)機(jī)器上所費(fèi)時(shí)間（小時(shí)）用矩陣表示，求元月份每臺(tái)機(jī)器的使用時(shí)間顯然，元月份每臺(tái)機(jī)器的使用時(shí)間用矩陣表示這實(shí)際上就是矩陣與矩陣相乘

17、定義6.6設(shè)矩陣，則矩陣，其中稱(chēng)為矩陣與矩陣的乘積，記作，即由定義可以看出，只有當(dāng)矩陣的列數(shù)等于矩陣的行數(shù)時(shí)，才能與相乘，并且所得結(jié)果的行數(shù)等于矩陣的行數(shù)，而列數(shù)等于矩陣的列數(shù)例6-17已知，求 解：例6-18已知，求，解：，由例6-18可以知道：，即矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律因此，矩陣與矩陣的乘積常讀作左乘或右乘，這時(shí)我們稱(chēng)矩陣為左矩陣，矩陣為右矩陣由不能推出或不能推出，即矩陣乘法不滿(mǎn)足消去律例6-19已知，求，解：，矩陣乘法滿(mǎn)足：分配律：，；結(jié)合律：，；，其中、是矩陣，是任意常數(shù)例6-20、某商店主要銷(xiāo)售甲、乙、丙三種商品，其銷(xiāo)售量如表1所示，每件商品銷(xiāo)售價(jià)格及銷(xiāo)售利潤(rùn)如表2所示，試求該商店第二

18、季度三個(gè)月的銷(xiāo)售額及銷(xiāo)售利潤(rùn)各為多少？表1月份銷(xiāo)售量甲乙丙4月4002007005月5003005006月600400600表2 單位：元單價(jià)單位利潤(rùn)甲305乙204丙152解：4月份的銷(xiāo)售額為4月份的利潤(rùn)為同理可得：5月份的銷(xiāo)售額為28500元，5月份的利潤(rùn)為4700元；6月份的銷(xiāo)售額為35000元，6月份的利潤(rùn)為5800元我們將上運(yùn)算用矩陣表示：習(xí)題6-3行列式與矩陣有什么區(qū)別？已知矩陣，求，計(jì)算：；若、B是兩個(gè)不同的階方陣，恒等式是否成立？為什么？其中現(xiàn)有三批貨物分別運(yùn)往三個(gè)地點(diǎn)，貨物去向，重量及運(yùn)費(fèi)分別如下表所列：貨物去向貨物件數(shù)每件重量（公斤）運(yùn)費(fèi)（元公斤）廣州沈陽(yáng)蘭州8050702

19、030500.120.100.11試用矩陣形式計(jì)算這三批貨物的運(yùn)費(fèi)總額6.某商店一周內(nèi)售出商品甲、乙、丙的數(shù)量及單價(jià)如表：商品日銷(xiāo)售量單價(jià)（元）一 二 三 四 五 六 日甲9 3 0 10 7 2 114乙7 5 8 11 9 0 123丙6 4 5 6 10 3 102試用矩陣運(yùn)算計(jì)算出每日的銷(xiāo)售量。7.四個(gè)工廠均能生產(chǎn)甲、乙、丙三利產(chǎn)品，其單位成本如下表：現(xiàn)要生產(chǎn)甲種產(chǎn)品600件，乙種產(chǎn)品500件，丙種產(chǎn)品200件，問(wèn)由哪個(gè)工廠生產(chǎn)成本最低？單位 產(chǎn)品成本工廠甲乙丙1356224834554437逆矩陣及初等變換6.4.1 逆矩陣根據(jù)矩陣與矩陣的乘積和矩陣相等的定義，方程組(6-10)可寫(xiě)

20、成矩陣形式 (6-13)其中稱(chēng)為方程組(6-10)的系數(shù)矩陣，稱(chēng)為未知數(shù)矩陣，稱(chēng)為常數(shù)項(xiàng)矩陣式(6-13)稱(chēng)為矩陣方程我們知道代數(shù)方程的解為，對(duì)于矩陣方程(6-13)，為了將它寫(xiě)成的形式，我們引進(jìn)逆矩陣的概念定義6.7設(shè)是n階方陣，如果存在一個(gè)n階方陣，使得，則稱(chēng)方陣是可逆的（或非奇異的），并稱(chēng)為的逆矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)逆陣，記作否則稱(chēng)是不可逆的（或奇異的）例6-21設(shè)，驗(yàn)證證明：，逆矩陣有以下性質(zhì)：若可逆，則其逆陣是唯一的的逆陣的逆陣是，即求可逆矩陣的逆陣可用伴隨矩陣法定義6.8設(shè)n階方陣，其行列式中各元素的代數(shù)余子式為，將按中的順序排列成方陣，然后轉(zhuǎn)置所得的方陣稱(chēng)為方陣的伴隨矩陣，記作，即根據(jù)n階行

21、列式的性質(zhì)、性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，所以，有以下定理：定理6.2方陣可逆的充要條件是當(dāng)可逆時(shí)有例6-22判斷下列矩陣是否可逆？若可逆，求其逆陣；解：因?yàn)椋钥赡嬗忠驗(yàn)椋裕驗(yàn)椋圆豢赡嬗心婢仃嚨母拍睿瑢?duì)于矩陣方程(6-13)，若可逆，則例6-23解矩陣方程解：方程兩邊同時(shí)右乘，得： 例6-24利用逆矩陣解線性方程組解：方程組的系數(shù)矩陣、未知數(shù)矩陣、常數(shù)項(xiàng)矩陣分別為，則得到矩陣方程為因?yàn)椋裕玫椒匠探M的解為，6.4.2 矩陣的初等變換由前面的討論可知，用克萊姆法則和逆矩陣求線性方程組的解時(shí)，要求方程組必須是n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的線性方程組，而且其系數(shù)行列式不等于零均有一定的局限性，為了更一般地求解

22、線性方程組，在這里我們先介紹矩陣的秩和初等變換的概念定義6.9在矩陣中，任取行列，位于這些行列相交處的元素所構(gòu)成的階行列式，稱(chēng)為的階子式例如，在矩陣中，第一、二行與第一、二列相交處元素構(gòu)成的二階子式為；第一、二、三行與第二、三、四列相交處元素構(gòu)成的三階子式為定義6.10如果矩陣中至少有一個(gè)階子式不為零，而所有高于階的子式都為零，則數(shù)稱(chēng)為矩陣的秩，記為，即顯然，若，則中階子式不可能全為零例如，在矩陣中，有二階子式，而它的四個(gè)三階子式，均為零，所以，定義6.11若矩陣滿(mǎn)足：零行（即元素全為零的行）在下方，首非零元（即非零行第一個(gè)不為零的元素）的列標(biāo)號(hào)隨行標(biāo)號(hào)的增加而嚴(yán)格遞增，則矩陣稱(chēng)為階梯形矩陣 例如，都是階梯形矩陣顯然，階梯形矩陣的秩等于其中非零行的行數(shù)上面階梯形矩陣，定義6.12若階梯形矩陣滿(mǎn)足：非零行的首行非零元都是，所有首非零元所在列的其它元素都是，則矩陣稱(chēng)為簡(jiǎn)化階梯形矩陣?yán)纾?， 都是簡(jiǎn)化階梯形矩陣定義6.13對(duì)矩陣的行（或列）作以下三種變換，稱(chēng)為初等變換矩陣的任意兩行（或列）互換位置（第行（或列）與第行（或列）互換，記作（或）用一個(gè)不為零的常數(shù)乘矩陣的某一行（或列）（數(shù)乘第行（或列），記作（或）用