1、 補充：補充： 單元和插值形函數構造單元和插值形函數構造上次課內容回顧上次課內容回顧 單元形函數單元形函數單元位移函數取決于插值函數即形函數，形函數是定義與單元內坐標的連續函數，對平面問題，形函數確定的單元位移表示為：1 ,0 ijjijijNxyij11 v= nniiiiiiuN uN v不難證明：形函數具備如下基本性質1. 形函數的性質單元形函數單元形函數形函數應保證用它定義的位移函數滿足收斂性要求，即滿足完備性條件和協調性條件。形函數滿足單元位移插值完備性的充要條件為1, =niiiNx y xx2. 收斂性的要求1, =1niiNx y1, =yniiiNx y y形函數的構造方法形

2、函數的構造方法利用形函數在節點上的性質，利用幾何方法構造；然后再用位移函數的完備性和協調性來校核。1. 廣義坐標法2. 幾何法（自然坐標法）首先將單元位移表示為多項式，然后利用單元的幾何參數和節點位移來確定多項式的待定常數，從而用單元形函數和節點位移表示位移函數。形函數的構造方法形函數的構造方法2. 幾何法（自然坐標法）11( , ),( ,)mkkimkiikF x yNx yF x y回顧拉格朗日插值方法構造方法：以平面問題為例，先做一組（m條）不通過節點i但通過單元其他所有節點 的不可約曲線Fk=0，然后按下式計算求得Ni后，檢驗由它們構造的位移函數是否滿足完備性和協調性要求。例1 四結

3、點四邊形單元)4 , 3 , 2 , 1()1)(1 (41iNiii式中i、i是結點i的局部坐標 4141iiiiiiuN uvN v單元單元2 2 2 3 4 1 形函數的構造方法形函數的構造方法21(1)(1)4N同理： 母單元母單元2 2 2 3 4 1 形函數的構造方法形函數的構造方法做兩條直線過節點做兩條直線過節點2, 3, 4，但不，但不過節點過節點1，1(1)0F2(1)0F11111111114N31(1)(1)4N41(1)(1)4N例1 四結點四邊形等參數單元)4 , 3 , 2 , 1()1)(1 (41iNiii式中i、i是結點i的局部坐標 母單元母單元2 2 2 3

4、 4 1 形函數的構造方法形函數的構造方法合并表示為合并表示為完備性檢驗完備性檢驗411iiN41iiiN41iiiN例2 八結點四邊形等參數單元形函數的構造方法形函數的構造方法iiiiiivNvuNu81812/ )1)(1 (4/ ) 1)(1)(1 (2/ )1)(1 (4/ ) 1)(1)(1 (2/ )1)(1 (4/ ) 1)(1)(1 (2/ )1)(1 (4/ ) 1)(1)(1 (287265243221NNNNNNNN形函數的構造方法形函數的構造方法對節點對節點1，做三條直線過節點，做三條直線過節點2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，但不過節點，但不過節點1，1(1)0

5、F2(1)0F1111111111111114N 310F 過過3,4,5過過5,6,7過過2,8則則形函數的構造方法形函數的構造方法對節點對節點2，做三條直線過節點，做三條直線過節點1, 3, 4, 5, 6, 7, 8，但不過節點，但不過節點1，110F 210F 222221111111112N310F 過過3,4,5過過5,6,7過過7,8,1則則同理，構造同理，構造N3，N4，N8完備性檢驗和協調性檢驗完備性檢驗和協調性檢驗例3 五結點四邊形單元（過渡單元）過渡單元過渡單元2 2 2 3 4 1 形函數的構造方法形函數的構造方法5 對節點對節點1，做三條直線過節點，做三條直線過節點2

6、, 3, 4, 5，但不過節點，但不過節點1，1(1)0F2(1)0F111111()11111()4N 30F 過過2,3過過4,3過過5則則例3 五結點四邊形單元（過渡單元）過渡單元過渡單元2 2 2 3 4 1 形函數的構造方法形函數的構造方法5 對節點對節點2，做三條直線過節點，做三條直線過節點1, 3, 4, 5，但不過節點，但不過節點2，110F 210F 222211111114N 30F過過1,4過過4,3過過5則則例3 五結點四邊形單元（過渡單元）過渡單元過渡單元2 2 2 3 4 1 形函數的構造方法形函數的構造方法5 對節點對節點3，做二條直線過節點，做二條直線過節點1,

7、 2, 4, 5，但不過節點，但不過節點3，110F 210F 33311111114N過過1,4過過1,2,5則則同理同理44411111114N22525511111211N三角形高次單元的形函數三角形高次單元的形函數可用面積坐標表示，其形函數的構造公式為：12311231231(,),(,)mkkimkikF L L LNL L LF L L L351624yx例4 六結點三角形單元形函數對節點對節點1，做兩條直線過節，做兩條直線過節點點2, 3, 4, 5, 6，但不過節點，但不過節點1，即即10L 1102L 111111111212121LLNLLLL同理得同理得因此因此22221

8、NLL33321NLL351624yx例4 六結點三角形單元形函數對節點對節點4，做兩條直線過節，做兩條直線過節點點1, 2, 3, 5, 6，但不過節點，但不過節點4，即即10L 20L 121241212441/2 1/2L LL LNL LL L同理得同理得因此因此5234NL L6314NL L351624yx例4 六結點三角形單元形函數協調性檢驗協調性檢驗63122331112123123(21)4() 2()()1iiiiiNLLL LL LL LLLLLLL631242353161131(21)444 iiiiiiiiiiN xLL xL L xL L xL L xL xx注意到

9、注意到1242xxx2352xxx3162xxx完備性、協調性檢驗完備性、協調性檢驗例例5 十結點三角形單元的形函數十結點三角形單元的形函數3211011393138332723262215121427) 13 (29),13 (29) 13 (29),13 (29) 13 (29),13 (29) 3 , 2 , 1) 23)(13 (21LLLNLLLNLLLNLLLNLLLNLLLNLLLNiLLLNiiii（十結點三角形單元十結點三角形單元yx032164578910位移形函數為位移形函數為例6 空間二十結點六面體單元形函數的構造方法形函數的構造方法對節點對節點1，做四個平面過除節點，做四個平面過除節點1外的所有節點外的所有節點110F 210F 111111111(1)(2)111(1)(2)11(1)(2)8N 420F過2,3,6,7,13,14,18,19過5,6,7,8,11,12,14,15則