1、【教學目標】【教學目標】知識與技能知識與技能：結合數學實例，了解歸納推理的含義；能利用歸納：結合數學實例，了解歸納推理的含義；能利用歸納進行簡單的推理，體會并認識歸納推理在數學發現中的作用進行簡單的推理，體會并認識歸納推理在數學發現中的作用.方法與過程方法與過程：歸納推理是從特殊到一般的一種推理方法，通常歸：歸納推理是從特殊到一般的一種推理方法，通常歸納的個體數目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越納的個體數目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發現一般性規律的重要方法。可靠，它是一種發現一般性規律的重要方法。情感態度與價值觀情感態度與價值觀：通過本節學習正確

2、認識合情推理在數學中的：通過本節學習正確認識合情推理在數學中的重要作用，養成從小開始認真觀察事物、分析事物、發現事物之間重要作用，養成從小開始認真觀察事物、分析事物、發現事物之間的質的聯系的良好品質，善于發現問題，探求新知識。的質的聯系的良好品質，善于發現問題，探求新知識。【教學重點】【教學重點】了解歸納推理的含義，能利用歸納進行簡單的推理。了解歸納推理的含義，能利用歸納進行簡單的推理。【教學難點】【教學難點】培養學生培養學生“發現發現猜想猜想證明證明”的歸納推理能力。的歸納推理能力。【教學方法】【教學方法】探析歸納，講練結合探析歸納，講練結合華羅庚教授曾舉過一個例子：華羅庚教授曾舉過一個例子

3、： 從一個袋子里摸出來一個紅玻璃球，第二個是紅玻璃球，甚至從一個袋子里摸出來一個紅玻璃球，第二個是紅玻璃球，甚至第三個、第四個、第五個都是紅玻璃球的時候，我們立刻會出現一第三個、第四個、第五個都是紅玻璃球的時候，我們立刻會出現一種猜想：種猜想：“是不是袋里的東西全部都是紅玻璃球？是不是袋里的東西全部都是紅玻璃球？”但是，當我們但是，當我們有一次摸出一個白玻璃球的時候，這個猜想失敗了；這時我們會出有一次摸出一個白玻璃球的時候，這個猜想失敗了；這時我們會出現另外一個猜想：現另外一個猜想：“是不是袋里的東西全部都是玻璃球？是不是袋里的東西全部都是玻璃球？”但是，但是，當我們有一次摸出一個木球的時候，

4、這個猜想又失敗了；那時我們當我們有一次摸出一個木球的時候，這個猜想又失敗了；那時我們又會出現第三個猜想：又會出現第三個猜想：“是不是袋里的東西全部都是球？是不是袋里的東西全部都是球？”這個猜這個猜想對不對，還必須加以檢驗想對不對，還必須加以檢驗 從上面的情境中，我們看到了探索活動是一個不斷地從上面的情境中，我們看到了探索活動是一個不斷地 提出提出猜想猜想驗證猜想驗證猜想再提出猜想再提出猜想再驗證猜再驗證猜想想的過程的過程引入引入 在生活和學習中，我們常常需要進行推理在生活和學習中，我們常常需要進行推理. .例如：例如： 1.1. 一個人看見一群烏鴉都是黑的，于是斷言一個人看見一群烏鴉都是黑的，

5、于是斷言“天下烏鴉都是天下烏鴉都是黑的黑的”.”. 2.“ 2.“每一個司機都應該遵守交通規則，小李是司機，所以，每一個司機都應該遵守交通規則，小李是司機，所以，小李應該遵守交通規則小李應該遵守交通規則”.”. 3. 3.銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導電，猜想：一切金屬都銅、鐵、鋁、金、銀等金屬都能導電，猜想：一切金屬都能導電能導電 4.“ 4.“如果如果a,b,ca,b,c都是實數，且都是實數，且ab,bc,ab,bc,那么那么ac.”ac.” 這些都是推理這些都是推理. .推理一般包括推理一般包括合情推理合情推理和和演繹推理演繹推理，它們都是，它們都是日常生活、學習、工作和科學研究中常見的

6、思維過程日常生活、學習、工作和科學研究中常見的思維過程. . na1121314123naaaadaadaada問題問題1 在等差數列在等差數列 中，首項為中，首項為 ，公差為，公差為1ad1(1)and歸納猜想出歸納猜想出問題問題2 1=1 1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16 歸納猜想出歸納猜想出 1+3+5+7+(2n-1)= 2n9 問題問題3“是不是所有不小于是不是所有不小于6的偶數，都可以表示為兩個素數的和呢？的偶數，都可以表示為兩個素數的和呢？” 6 63 33 3 8 83 35 5 10 105 55 5 12 125 57 7 14 147 77 7 1 000

7、 1 0002929971971 1 002 1 002139139863863 歸納歸納出：偶數（不小于出：偶數（不小于6 6）素數素數）素數素數想一想：上述想一想：上述3個問題的推理有什么共同特征？個問題的推理有什么共同特征？ 部分部分 整體整體 個別個別 一般一般【抽象概括】【抽象概括】 根據一類事物中的根據一類事物中的部分對象部分對象具有某種屬性，推斷該具有某種屬性，推斷該類事物中的類事物中的全部對象全部對象都具有這都具有這種屬性種屬性,或者由或者由個別事實個別事實概概括出括出一般結論一般結論的推理方式稱為的推理方式稱為歸納推理。歸納推理。 實驗、觀察實驗、觀察概括、推廣概括、推廣猜測

8、一般性結論猜測一般性結論 注注（1 1）歸納推理是由歸納推理是由部分到整體部分到整體, ,由由個別到一般個別到一般的推理。的推理。（2 2）猜想的思維過程為）猜想的思維過程為: : 歸納推理的模式歸納推理的模式: S1具有具有P S2具有具有P . Sn具有具有P 歸納歸納A類事物具有類事物具有P成語成語“一葉知秋一葉知秋”統計初步中的用樣本估計總體統計初步中的用樣本估計總體 通過從總體中抽取通過從總體中抽取部分對象部分對象進行觀測或進行觀測或試驗，進而對試驗，進而對整體整體做出推斷做出推斷.成語成語意思是從一片樹葉的凋落，知道秋意思是從一片樹葉的凋落，知道秋天將要來到天將要來到.比喻由比喻由

9、細微的跡象細微的跡象看出看出整體整體形勢形勢的變化，由的變化，由部分部分推知推知全體全體.【情景情景1 1】16401640年，著名數學家費馬對形如年，著名數學家費馬對形如 的數進行的數進行計算時，發現計算時，發現 是素數，是素數， 是素數是素數. . 是素數是素數. . 是素數是素數. .于是，他歸納出一個猜想于是，他歸納出一個猜想: : “ “所有形如所有形如 的數都是素數的數都是素數.”.” 對于大一點的對于大一點的n,n,驗證這個猜想是很難的事情驗證這個猜想是很難的事情. .直至近百年直至近百年后的后的17321732年，瑞士數學家歐拉發現年，瑞士數學家歐拉發現 不是素數，從而否定了這

10、個猜想不是素數，從而否定了這個猜想. .12215 221n422165537 221(1,2,3,.)nn5221641 6700417 注：歸納推理的注：歸納推理的結論不一定正確。結論不一定正確。222117 3221257 【情景【情景2 2】永動機】永動機 歷史上，人們曾經有過制造永動機的美好愿望，歷史上，人們曾經有過制造永動機的美好愿望，希望制造出一種不消耗能量的機器，永無休止地希望制造出一種不消耗能量的機器，永無休止地為人類服務為人類服務. .人們提出過人們提出過許多永動機的設計方案許多永動機的設計方案. .最早最早永動機的設計方案是永動機的設計方案是1313世紀世紀的法國人亨內考

11、提出的，后的法國人亨內考提出的，后來人們又提出了各種永動機來人們又提出了各種永動機的設計方案的設計方案. .滾珠永動機滾珠永動機軟臂永動機軟臂永動機 阿基米德螺旋永動機阿基米德螺旋永動機磁力型永動機磁力型永動機 從大量的失敗案例中，科學界歸納歸納出了一個結論:不可能制造出永動機.后來，著名科學家羅蒙諾索夫提出了能量守恒定律，從理論上說明了制造永動機是不可能的.17 【情景【情景3 3】 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 ：這個問題是德國數學家哥德巴赫（這個問題是德國數學家哥德巴赫（1690-1764）于）于1742年年6月月7日在給大數學家歐拉的信中提出的，所日在給大數學家歐

12、拉的信中提出的，所以被稱作哥德巴赫猜想，同年以被稱作哥德巴赫猜想，同年6月月30日，歐拉在回信中認為這日，歐拉在回信中認為這個猜想可能是真的，但他無法證明。個猜想可能是真的，但他無法證明。 從此，這道數學難題引起了幾乎所有數學家的注意。哥從此，這道數學難題引起了幾乎所有數學家的注意。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的“明珠明珠”。用當代語言來敘述，哥德巴赫猜想有兩個內容，。用當代語言來敘述，哥德巴赫猜想有兩個內容， 第一部分叫做奇數的猜想，奇數的猜想指出，任何一個第一部分叫做奇數的猜想，奇數的猜想指出，任何一個大于等于大于等于7的奇數都是

13、三個素數的和。的奇數都是三個素數的和。 第二部分叫做偶數的猜想。第二部分叫做偶數的猜想。偶數的猜想是說不小于偶數的猜想是說不小于6的偶的偶數一定是兩個素數的和。數一定是兩個素數的和。” 1966年，中國的年，中國的陳景潤陳景潤證明了證明了 “1+2 ”用通俗的話說用通俗的話說，就是大偶數，就是大偶數=素數素數+素數素數*素數素數 或或 大偶數大偶數=素數素數+素數素數 由于陳景潤的貢獻，人類距離哥德巴赫猜想的最后結由于陳景潤的貢獻，人類距離哥德巴赫猜想的最后結果果“11”僅有一步之遙了。但為了實現這最后的一步，僅有一步之遙了。但為了實現這最后的一步，也許還要歷經一個漫長的探索過程。有許多數學家

14、認為，也許還要歷經一個漫長的探索過程。有許多數學家認為，要想證明要想證明“11”，必須通過創造新的數學方法，以往的，必須通過創造新的數學方法，以往的路很可能都是走不通的。路很可能都是走不通的。 姓名：陳景潤姓名：陳景潤 （19331996）國家或地區：國家或地區：中國中國 身份：身份：數學數學家家19 “是不是所有不小于是不是所有不小于6的偶數，都可以表示為兩個素數的和呢？的偶數，都可以表示為兩個素數的和呢？” 6 63 33 3 8 83 35 5 10 105 55 5 12 125 57 7 14 147 77 7 1 000 1 0002929971971 1 002 1 002139

15、139863863 歸納歸納出：偶數（不小于出：偶數（不小于6 6）素數素數）素數素數【情景【情景4 4】 歐拉公式歐拉公式 凸多面體凸多面體面數（面數（F F）頂點數（頂點數（V V）棱數（棱數（E E）四棱柱四棱柱三棱錐三棱錐八面體八面體三棱柱三棱柱四棱錐四棱錐尖頂塔尖頂塔四棱柱6812644三棱錐1286八面體695三棱柱558四棱錐9169尖頂塔思考:可以可以歸納歸納出出 F FV VE E2 2這就是著名的這就是著名的歐拉公式歐拉公式. . 以上推理以上推理都是歸納推理，雖然歸納推理的結論都是歸納推理，雖然歸納推理的結論不一定正確，但是，在數學，科學，經濟和社會的歷不一定正確，但是，

16、在數學，科學，經濟和社會的歷史發展中，史發展中，歸納推理有非常重要的價值，它是科學發歸納推理有非常重要的價值，它是科學發展和創造的基礎！展和創造的基礎！Hu ai min (E-mail:)例1 .由下面的等式 37 X 3=111 37 X 6=222 37 X 9=333 你能猜想 37 X12= 37 X 歸納得出 37 X 3n=111n （n=1,2,3.9） 例題解析例題解析：44415=555例2.已知數列an中，a1=1，且 an+1= (n=1,2,)nna1a(1)計算a1,a2,a3,a4;(2)猜想an=？歸納歸納推理推理例題解析：例題解析： 在平面內觀察：在平面內觀察： 三邊形內角和為：三邊形內角和為：180180。 四邊形四邊形內角和為：內角和為：360360。 五邊形五邊形內角和為：內角和為：5