1、 第十三章 微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 (數(shù)三）考試要求1. 掌握導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義（含邊際與彈性的概念）。2. 了解差分與差分方程及其通解與特解等概念。3. 掌握一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法。4. 會(huì)應(yīng)用一階差分方程、極限、級(jí)數(shù)等知識(shí)求解簡(jiǎn)單的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題。一、.極限及級(jí)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用(一)復(fù)利： 設(shè)某銀行年利率為r，初始存款為元， （1）一年支付一次利息（稱為年復(fù)利），則t年后在銀行的存款余額為; （2）若一年支付n次，則t年后在銀行的存款余額為; （3）由于，所以當(dāng)每年支付次數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，年后得到的存款余額為， 稱為t年后按連續(xù)復(fù)利計(jì)算得到的存款余額。 (二)將來(lái)值與現(xiàn)值： 上述結(jié)論

2、中，稱是的將來(lái)值，而是的現(xiàn)值。現(xiàn)值與將來(lái)值的關(guān)系為： 或 例 1 現(xiàn)購(gòu)買一棟別墅價(jià)值300萬(wàn)元, 若首付50萬(wàn)元, 以后分期付款, 每年付款數(shù)目相同, 10年付清, 年利率 為6%, 按連續(xù)復(fù)利計(jì)算, 問(wèn)每年應(yīng)付款多少？ 例2（08）設(shè)銀行存款的年利率為，并依年復(fù)利計(jì)算，某基金會(huì)希望通過(guò)存款A(yù)萬(wàn)元，實(shí)現(xiàn)第一年提取19萬(wàn)元，第二年提取28萬(wàn)元，第n年提取（10+9n）萬(wàn)元，并能按此規(guī)律一直提取下去，問(wèn)A至少應(yīng)為多少萬(wàn)元？ 、二. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的常用函數(shù)需求函數(shù)：, 通常是的減函數(shù)；供給函數(shù)：, 通常是的增函數(shù)；成本函數(shù)：, 其中為固定成本, 為可變成本；收益函數(shù)：;利潤(rùn)函數(shù)：.例 1 某廠家生產(chǎn)的一

3、種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)銷售, 售價(jià)分別為和, 銷售量分別為和, 需求函數(shù)分別為, , 總成本函數(shù)為, 試問(wèn)：廠家如何確定兩個(gè)市場(chǎng)的售價(jià), 能使其獲得的總利潤(rùn)最大？最大的總利潤(rùn)為多少？例 2（99） 設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品必須投入兩種要素, 和分別為兩種要素的投入量, 為產(chǎn)出量；若生產(chǎn)函數(shù)為, 其中為正常數(shù), 且, 假設(shè)兩種要素的價(jià)格分別為和試問(wèn)：當(dāng)產(chǎn)出量為12時(shí), 兩要素各投入多少可以使得投入總費(fèi)用最小？解 需要在產(chǎn)出量的條件下, 求總費(fèi)用的最小值, 為此作拉格朗日函數(shù). 由(1)和(2), 得；因駐點(diǎn)唯一, 且實(shí)際問(wèn)題存在最小值, 故當(dāng)時(shí), 投入總費(fèi)用最小. 三. 利用導(dǎo)數(shù)求解經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題（1） 、邊

4、際量： 當(dāng)某經(jīng)濟(jì)量的自變量增加一個(gè)單位時(shí)經(jīng)濟(jì)量的改變量稱為該經(jīng)濟(jì)量的邊際量, 如邊際成本、 邊際收益、邊際利潤(rùn)等, 由于, 且對(duì)于大數(shù)而言, 一個(gè)單位可以看成是微小的, 習(xí)慣 上將視為的邊際量. 1、 定義 ： 設(shè)或，則稱或?yàn)殛P(guān)于的邊際函數(shù)。 2、經(jīng)濟(jì)學(xué)含義：表示自變量增加一個(gè)單位時(shí)經(jīng)濟(jì)量的改變量。(2） 、彈性函數(shù)： 1、定義：設(shè)某經(jīng)濟(jì)量，稱為 的彈性函數(shù)。 2、經(jīng)濟(jì)學(xué)含義：當(dāng)自變量增加1%時(shí), 經(jīng)濟(jì)量增加（0時(shí)）或減小（時(shí)）。 3、需求彈性：由于一般情況下需求函數(shù)是的減函數(shù), 因此定義需求對(duì)價(jià)格的 彈性 （恒正，表示價(jià)格增加時(shí)需求減小）例1 設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為, 而需求函數(shù)為, 其中為產(chǎn)

5、量(假定等于需求量), 為價(jià)格, 試求(1)邊際成本； (2)邊際收益；(3)邊際利潤(rùn)；（4）收益的價(jià)格彈性 ；例2設(shè)某商品的需求函數(shù)為（1）求需求彈性函數(shù)及P=6時(shí)的需求彈性，并給出經(jīng)濟(jì)解釋。（2）當(dāng)P取什么值時(shí)，總收益最大？最大總收益是多例3（15）為了實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化，廠商需要對(duì)某種商品確定其定價(jià)模型。設(shè)Q為需求量，P為價(jià)格，MC為邊際成本，（1）證明定價(jià)模型 (2)若成本函 例4(04)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 - 5P，其中價(jià)格P Î (0 , 20)，Q為需求量.(I) 求需求量對(duì)價(jià)格的彈性(> 0)； (II) 推導(dǎo)(其中R為收益)，并用彈性說(shuō)明價(jià)格在何范圍

6、內(nèi)變化時(shí)，降低價(jià)格反而使收益增加.例5(12)某企業(yè)為生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的產(chǎn)品，投入的固定成本為10000(萬(wàn)元)，設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為(件)和(件)，且固定兩種產(chǎn)品的邊際成本分別為(萬(wàn)元/件)與(萬(wàn)元/件).(I)求生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品的總成本函數(shù).(萬(wàn)元).(II)當(dāng)總產(chǎn)量為50件時(shí)，甲乙兩種的產(chǎn)量各為多少時(shí)可以使總成本最小？求最小的成本. (III)求總產(chǎn)量為50件時(shí)且總成本最小時(shí)甲產(chǎn)品的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)意 義。例6（09） 設(shè)某產(chǎn)品的需求量函數(shù)為, 其對(duì)價(jià)格的彈性, 則當(dāng)需求量為 10000件時(shí), 價(jià)格增加1元, 會(huì)使產(chǎn)品收益增加 元. 例 7 已知某商品的需求量對(duì)

7、價(jià)格的彈性, 而市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的最大需求量為1 (萬(wàn)件), 求需求量函數(shù). 例8 設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為10, 當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本為, 邊際收益為. 試求(1) 總利潤(rùn)函數(shù)；(2) 使總利潤(rùn)最大的產(chǎn)量. 例9 設(shè)產(chǎn)品的需求函數(shù)為，收益函數(shù)，其中為產(chǎn)品價(jià)格，為需求量（產(chǎn)品的產(chǎn)量），是單調(diào)減少函數(shù)。如果當(dāng)價(jià)格為對(duì)應(yīng)產(chǎn)量為時(shí)，邊際收益，收益對(duì)價(jià)格的邊際效應(yīng) 。需求對(duì)價(jià)格的彈性為，求。四、差分方程及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用（一）、差分與差分方程的概念及性質(zhì)定義：若記為，則稱差為函數(shù)的一階差分，記為； 含有 或的 等式叫一階差分方程。定理：線性差分方程的性質(zhì)：1、 若為線性齊次差分方程的解，則通解；2、若為線性非齊次差分方程的一個(gè)特解，為對(duì)應(yīng)的 線性齊次差分方程的通解，則為的通解。3、若為的特解，為的特解， 則 為的特解。4、若均為的解，則 為的解；仍為 的解。（二）一階線性常系數(shù)差分方程的解法1、一階線性常系數(shù)齊次差分方程 的解法：特征方程：, 特征值:, 通解:.2、 一階線性常系數(shù)非齊次差分方程的解法:方程的通解為，其中為原非齊次方程的特解。當(dāng)時(shí)，設(shè)特解形式為, 其中.，可用待定系數(shù)法求之：（三）、典型例題例1 (01,I) 某公司每年的工資總額在比上一年增加20%的基礎(chǔ)上再追加2百萬(wàn)元，若以表示第t年的工資總額(單位：百萬(wàn)元), 則滿足的差分方程