1、思想應(yīng)用到坐標(biāo)（或集合特殊化）知識點系統(tǒng)總結(jié)方程運算逆運算以商的形式出現(xiàn)極限積分微分方程導(dǎo)數(shù)微分一、映射與函數(shù)、集合及其運算 、區(qū)間和鄰域 、映射 、函數(shù) 差集： 鄰域： （為任意正實數(shù)） 映射：像唯一，原像不唯一 函數(shù)特性：有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性 二、數(shù)列及函數(shù)的極限、數(shù)列的極限 、收斂數(shù)列的性質(zhì) 子數(shù)列及其性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性、有界性、保號性a、 唯一性：如果數(shù)列收斂，那么它的極限唯一。（如果極限不唯一，那么極限不 存在）b、 有界性：若數(shù)列收斂，則它一定有界。（注：收斂數(shù)列必有界，有界數(shù)列不一定收斂。如：，該數(shù)列有界卻發(fā)散）c、 保號性：那么存在正整數(shù)，當(dāng)時，都有函數(shù)極限的

2、性質(zhì)：唯一性、局部有界性、局部保號性 a、 唯一性：若存在，那么這個函數(shù)的極限唯一。b、 局部有界性：若則存在常數(shù)使當(dāng)時，有。c、 局部保號性：若，則存在常數(shù)，使得當(dāng)。如果數(shù)列收斂于，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是。 三、無窮小與無窮大及無窮小的比較、定義 （參看課本第一章第四節(jié)）、無窮小與無窮大之間的一種關(guān)系： 在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮小；反之，如果為無窮小，且，則為無窮大。 收斂+發(fā)散=發(fā)散（即有極限+無極限=無極限）、無窮小的比較 （非重點，相關(guān)內(nèi)容參見課本第一章第七節(jié)）若，則是的等價無窮小，記做。 等價無窮小特例：（） 、極限運算法則、極限存在準(zhǔn)則、兩個重

3、要極限 、定理：有限個無窮小的和是無窮小；常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小；有限個無窮小的乘積也是無窮小；有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小；兩個無窮小的商不一定為無窮小。（）、運算公式： 兩個重要極限： 夾逼準(zhǔn)則：在這道題中，應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則最重要的方法-放縮法，通過合適的放縮，將難變易。例：求解：設(shè)則一、微分、定義。（參見課本第二章第五節(jié)）、函數(shù)的微分定義式： 自變量的微分定義式： 可微必可導(dǎo)，可導(dǎo)必可微 、微分的運算：（當(dāng)微分以商的形式出現(xiàn)時，便成了導(dǎo)數(shù)。因此，微分的運算，可全部由導(dǎo)數(shù)的運算推出。故其運算法則不再列舉，詳情請參見后面的導(dǎo)數(shù)運算法則。） 、微分形式的不變性：在微分表達(dá)式中，當(dāng)更換自變量時

4、，微分的表達(dá)形式并未改變。利用該性質(zhì)，我們可以使用換元法很快的求出復(fù)合函數(shù)的微分。 例： 二、導(dǎo)數(shù) 、定義 、求導(dǎo)法則 、導(dǎo)數(shù)公式 、高階導(dǎo)數(shù)及隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)：可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)并不一定可導(dǎo)a、 函數(shù)和、差、積、商的求道法則：b、 反函數(shù)的求導(dǎo)法則：c、 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：（由內(nèi)到外依次求導(dǎo)） 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式： 高階導(dǎo)數(shù)：二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。 （冪函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，求一次導(dǎo)，降一次冪）隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： a、顯函數(shù)及隱函數(shù)的定義。（非重點，參見課本第二章第四節(jié)） b、隱函數(shù)的求導(dǎo)：、求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（把方程兩邊分別對求導(dǎo)） 例：求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 解：我們

5、把方程兩邊分別對求導(dǎo)數(shù)，注意，方程左邊對求導(dǎo)得隱函數(shù)的求導(dǎo)，最重要的是給等式兩邊的正確求導(dǎo)，而且一定要注意，是給x求導(dǎo)。 方程右邊對求導(dǎo)得 由于等式兩邊對的導(dǎo)數(shù)相等，所以 、求隱函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。（先把方程兩邊分別求導(dǎo)，再將代入原方程求出，最后將即可） 、冪函數(shù)的求導(dǎo)一般用對數(shù)求導(dǎo)法。（先在方程兩邊取對數(shù)，再用隱函數(shù)求導(dǎo)方法）例：求的導(dǎo)數(shù)。 解：這函數(shù)是冪指函數(shù)，為了求這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以先在兩邊取對數(shù)，得 上式兩邊對求導(dǎo)，注意到，得 于是便得到 、由參數(shù)方程確定的導(dǎo)數(shù)：利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和反函數(shù)的求導(dǎo)法則求解。 設(shè)有一參數(shù)方程：，則其求導(dǎo)公式化簡為：。三、微分中值定理1、費馬引理。（參見課

6、本第三章第一節(jié)）2、羅爾定理。（通過幾何圖像，將費馬引理反映的函數(shù)關(guān)系進一步定義，得到該定理）3、我們將羅爾定理中的一個特殊條件：去掉，擴大羅爾定理覆蓋的范圍，使其一般化，普遍化，便得到了下面的拉格朗日中值定理：（各個定理的理解請結(jié)合課本第三章第一節(jié)，通過各個定理所表達(dá)的幾何意義去理解它們，然后將幾何現(xiàn)象數(shù)學(xué)化，將定理推廣到函數(shù)中）例：證明當(dāng)時，。 證明：設(shè)顯然在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此，有應(yīng)用拉格朗日中值定理時一定要注意，題目中的各個條件都滿足該定理的存在條件！ 因此上式即為 又 故有 4、我們將任意曲線的數(shù)學(xué)定義一般化，設(shè)所有曲線均由參數(shù)方程確定，即，則在曲線上任意一點處，其

7、切線斜率為；圖像兩個端點a,b連線的斜率為，則由拉格朗日中值定理可知，曲線任一點中必存在一點，滿足 該結(jié)論同樣是對拉格朗日中值定理的另一種描述，被稱為柯西中值定理。（當(dāng)時，該定理即變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ恚?.洛必達(dá)法則： 、未定式：如果當(dāng)時，兩個函數(shù)都趨于零或都趨于無窮大，那么極限可能存在，也可能不存在。通常把這樣的極限表達(dá)式叫做未定式。通過該式的定義可以很明顯的看出，無法通過極限的運算法則求解該類極限。 、在拉格朗日中值定理中，設(shè)任意曲線的左端點為，右端點為，然后讓函數(shù)兩端點的距離無限小，即有： 由拉格朗日中值定理，得如下公式： 該公式是將柯西中值定理推廣到極限的結(jié)果，稱為洛必達(dá)法則。 例：求

8、。 解：當(dāng)時，而 該極限是個的未定式，而洛必達(dá)法則適用于求或型的未定式，因此，將原式化簡如下： 則此時可對極限式使用洛必達(dá)法則，即： 原式= 6、泰勒公式：泰勒公式是拉格朗日中值定理的一種推廣表達(dá)式。當(dāng)拉格朗日中值定理里的一階導(dǎo)數(shù)變?yōu)殡A導(dǎo)數(shù)時，便得到了泰勒公式： 如果函數(shù)在含有的某個開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對任一有 四，函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 、函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性 （利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖像的單調(diào)性是高中時期的重點內(nèi)容，因此在此不做過多總結(jié)） 在利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)部分性態(tài)中，有如下定理： 定理一：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則 a、如果在區(qū)間，那么函數(shù)單調(diào)遞增。 b、如果在區(qū)間，那么

9、函數(shù)單調(diào)遞減。 定理二：設(shè)連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么 a、若在區(qū)間，則函數(shù)的圖形是凹的。b、若在區(qū)間，則函數(shù)的圖形是凸的。 （ 函數(shù)的單調(diào)性及凹凸性，主要用來幫助我們判斷函數(shù)值的大小及函數(shù)圖像的形態(tài)分布等。）、函數(shù)圖像的拐點：函數(shù)二階導(dǎo)為零的點或者二階導(dǎo)不存在的部分點。（當(dāng)二階導(dǎo)不存在時，檢查在處左、右兩側(cè)鄰近的符號。當(dāng)兩側(cè)的符號相反時，點是拐點；當(dāng)兩側(cè)的符號相同時，點不是拐點） 、函數(shù)的極值與最大值最小值 （該知識點同樣是高中時的重點掌握內(nèi)容，故在此不做重點總結(jié)。相關(guān)詳細(xì)內(nèi)容可參見課本第三章第五節(jié)） 運用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的特殊值，有以下定理： 定理一：設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且，則函數(shù)在處取得極

10、值。 定理二：設(shè)函數(shù)在處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，那么a、 當(dāng)時，函數(shù)在處取得極大值。b、 當(dāng)時，函數(shù)在處取得極小值。一、 不定積分、不定積分的概念與性質(zhì) 、換元積分法 、分部積分法 有理函數(shù)積分 不定積分的性質(zhì)： 不定積分解題時常用的方法：a、 根號換為指數(shù)。例：求不定積分解：題目原式中有 ，故要將根號換為指數(shù)，如下： 故原式 b、 當(dāng)被積函數(shù)分母只有一項而分子有多項時，將分子上的項展開，而后利用不定積分的性質(zhì)做題。例：求不定積分解：在該題中，首先要展開分子上的項，即 所以，原式=c、 三角函數(shù)換元法（恒等式變形）例：求不定積分 解：通過查閱積分表不難發(fā)現(xiàn)，基本積分里沒有該類型的積分，故需要一定的變

11、換，將其化簡為基本積分。且已知，故將原式化簡為 此時通過查閱基本積分表，可知（求解該類型的題時，一定要做到對所有三角函數(shù)公式的完全記憶和熟練運用）d、 最簡湊微法例：求不定積分解：由于式中有，令，將的形式，則 即原式=e、 三角函數(shù)湊微法（該類不定積分的求解中常可用到：、 、等公式）例：求不定積分解：由題可知，可以從被積函數(shù)中提出一個與湊成，而剩下的可以寫成 則原式= f、 三角換元法（第二類換元法）、三角換元法例：求不定積分 解：由題可知，要想辦法將被積函數(shù)換算成基本積分表里的式子，即去掉根號，利用，令，則 原式= 但是，最終的結(jié)果中，不能出現(xiàn)中間變量，因此，通過輔助三角形，將上式結(jié)果中的換

12、為。 由輔助三角形可得， 則原式=、倒代法（常用它消去被積函數(shù)的分母中的變量因子） 例：求不定積分 解：若令為一個分?jǐn)?shù)如，則可消去原被積函數(shù)中的分母， 令，則 則原式化為 然后通過三角換元，解得原式= 將結(jié)果中的用換回來，得最終結(jié)果：g、 分部積分法（應(yīng)用公式）、若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正（余）弦函數(shù)的乘積，或者是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，則設(shè)冪函數(shù)為。 例：求不定積分 解：原式= 對再用一次分部積分法，即有 原式=、被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，則選取對數(shù)或反三角函數(shù)為u.、需要注意，某些不定積分需要兼用換元法與分部積分法。h、 有理函數(shù)的積分、待定系數(shù)法 例1：求不定積分

13、 解：被積函數(shù)的分母可分解為，則 則設(shè)，其中為待定系數(shù)，故有： 等式兩邊各項值的系數(shù)相等，故有 解得 所以原式= 例2：求不定積分 解：被積函數(shù)分母的兩個因式與有公因式，所以還需要再分解為，則設(shè) 由例1可知，有 解得 所以原式=、根號換元法（若被積函數(shù)中含有，可以令這個簡單根式為。） 例：求不定積分 解：為了去根號，可設(shè) 所以原式=基本積分表是求解不定積分最重要的工具，具體親參閱課本第362頁附錄3二、 定積分1. 定義（非重點，詳細(xì)內(nèi)容請參閱課本第五章第一節(jié)）2. 運算法則（基本公式，兩類方法）3. 特殊定積分（反常積分）4. 定積分的應(yīng)用。定理一：設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上可積定理二：設(shè)在

14、區(qū)間上有界，且只有有限個間斷點，則在上可積定積分的性質(zhì)： 規(guī)定性質(zhì)：性質(zhì)：性質(zhì)：設(shè)性質(zhì)：如果在區(qū)間性質(zhì)：若在區(qū)間性質(zhì)：設(shè)與分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值，則有： 性質(zhì)：（定積分中值定理）如果函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，則在上至少存在一點，使下式成立：微積分基本公式（牛頓萊布尼茨公式）：如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則例：求定積分 解：原式=求解定積分類的問題時，主要有以下兩種方法：（可參照不定積分的運算來理解）、換元法： 例：計算定積分 解：設(shè)則。當(dāng) 則原式=、分部積分法： 例：求定積分 解：令 則原式=關(guān)于定積分的幾個小推論： 若在上連續(xù)且為偶函數(shù)，則 若在上連續(xù)且為奇函數(shù)，則 若在上連續(xù)，則；以及 設(shè)是連續(xù)的周期函數(shù)，周期為，則