1、圓形磁場中的幾個典型問題一做就錯.常見問題許多同學對帶電粒子在圓形有界磁場中的運動問題常常無從下手,.對于這些問題，針對具分別是“最值問題、匯聚發散問題、邊界交點問題、周期性問題”體類型，抓住關鍵要素，問題就能迎刃而解，下面舉例說明.一、最值問題的解題關鍵一一抓弦長1 .求最長時間的問題例1真空中半徑為R=3X10-2m的圓形區域內，有一磁感應強度為B=0.2T的勻強磁場，方向如圖1所示一帶正電的粒子以初速度vo=106m/s從磁場邊界上直徑ab一端a點處射入磁場，已知該粒子比荷為q/m=108C/kg,不計粒子重力，若要使粒子飛離磁場時偏轉角最大，其入射時粒子初速度的方向應如何？（以V0與O

2、a的夾角表示）最長運動時間多長？小結：本題涉及的是一個動態問題，即粒子雖然在磁場中均做同一半徑的勻速圓周運動，但因其初速度方向變化，使粒子運動軌跡的長短和位置均發生變化，并且弦長的變化一定對應速度偏轉角的變化，同時也一定對應粒子做圓周運動軌跡對應圓心角的變化，因而當弦長為圓形磁場直徑時，偏轉角最大.2 .求最小面積的問題例2帶電質點的質量為m電量為q,以平行于Ox軸的,速度v從y軸上的a點射人如圖3所示第一象限的區域.為了_使該質點能從x軸上的b點以垂直于x軸的速度v射出，可在適當的地方加一個垂直于xoy平面、磁感應強度為B的勻強磁燈4工場.若此磁場僅分布在一個圓形區域內，試求此圓形磁場區域J

3、的最小面積，重力忽略不計.n1小結：這是一個需要逆向思維的問題，而且同時考查了空間想象能力，即已知粒子運動軌跡求所加圓形磁場的位置.解決此類問題時，要抓住粒子運動的特點即該粒子只在所加磁場中做勻速圓周運動，所以粒子運動的1/4圓弧必須包含在磁場區域中且圓運動起點、終點必須是磁場邊界上的點，然后再考慮磁場的最小半徑.上述兩類“最值”問題，解題的關鍵是要找出帶電粒子做圓周運動所對應的弦長.二、匯聚發散問題的解題關鍵一一抓半徑當圓形磁場的半徑與圓軌跡半徑相等時，存在兩條特殊規律；規律一：帶電粒子從圓形有界磁場邊界上某點射入磁場，如果圓形磁場的半徑與圓軌跡半徑相等，則粒子的出射速度方向與圓形磁場上入射

4、點的切線方向平行，如甲圖所示。規律二：平行射入圓形有界磁場的相同帶電粒子，如果圓形磁場的半徑與圓軌跡半徑相等，則所有粒子都從磁場邊界上的同一點射出，并且出射點的切線與入射速度方向平行，如乙圖所示。例3如圖5所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上.在半徑為R的圓形區域內加一與xoy平面垂直的勻強磁場.在坐標原點O處放置一帶電微粒發射裝置，它可以連續不斷地發射具有相同質量m、電荷量q(q>0)且初速為V0的帶電粒子，不計重力.調節坐標原點O處的帶電微粒發射裝置，使其在xoy平面內不斷地以相同速率Vo沿不同方向將這種帶電微粒射入x軸上方，現要求這些帶電微粒最終都能平行于x軸正方向射出，則

5、帶電微粒的速度必須滿足什么條件？小結：研究粒子在圓形磁場中的運動時，要抓住圓形磁場的半徑和圓周運動的半徑，建立二者之間的關系，再根據動力學規律運動規律求解問題.3.如圖甲所木，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上。在xoy平面內有與y軸平行的勻強電場，在半徑為R的圓形區域內加有與xoy平面垂直的勻強磁場。在坐標原點O處放置一帶電微粒發射裝置，它可以連續不斷地發射具有相同質量m電荷量q3°)和初速為''ci的帶電粒子。已知重力加速度大小為g。超中國乙(1)當帶電微粒發射裝置連續不斷地沿y軸正方向發射這種帶電微粒時，這些帶電微粒將沿圓形磁場區域的水平直徑方向離開磁場，并

6、繼續沿x軸正方向運動。求電場強度和磁感應強度的大小和方向。(2)調節坐標原點處的帶電微粒發射裝置，使其在xoy平面內不斷地以相同速率V0沿不同方向將這種帶電微粒射入第1象限，如圖乙所示。現要求這些帶電微粒最終都能平行于x軸正方向運動，則在保證勻強電場、勻強磁場的強度及方向不變的條件下，應如何改變勻強磁場的分布區域？并求出符合條件的磁場區域的最小面積。答案CDS分）主題目中“奉電粒子從坐標原點。處沿f軸正方向遲入遨場后，最疊沿圖形磁場區域的不平宜邑庫開強調并繼續沿K軸江方向途動”可如，帶電微粒所受重力與電新力平衡，設電揚量度大小方的由平便條件帝也=q£二£=%電場方網沿尸軸正

7、方酉帶電微粒進入磁場后，跋勻速圓周運動，且圖運動半徑廣艮。*沒0強說痢的由愿裝強度大小為匕.四牛械第二主律春，嚴聲=二Em哂.方就垂直于斷度向外£*鼻胃】卅由行甲陸坤瓦酎裝首時入第我T.的帶中?常豺的打市南方向與上軸缺庫乩由于帶電班用懶工精正方足透岫.旅應垂直于孫平班向外.帶電觸在磁場內微季徑為E=*勻速網同一找百，由于吊電附靶的入射力向不同.若破場充滿更面.它們所對舊的運動的狼逶如圖所示方使理些%事批粒自他均需轉信啟下加正方向運均。由圖三知，它歸必:貢從兜。點作吃兩的各網的最高點飛高財"這樣皿園要上F點的土標FCi.，應滿足方程，K-R-y=用£1一e-

8、3;mg弟1r所以陵京池界的寸餌知事AJ+O-/E）J.JtJ由晚中g.i?一三的手懺可知.MJ一巴的品I#冉J%砥5曜：質陋網校的叵小磯旌2Cjf-G±*尸3/工即為所E姿場阻力一則峋在即n因此.捋i電口袈X的豪小血泅處電畫工二.3-月產=方才回（年G*+尸，=盤內高集陰牌（目中干|肥加力）比幾阿飛喂*叫以術,辱用H1*rH的域W的部十制忸.打士s產1產喈30，_丁TJm三、邊界交點問題的解題關鍵一抓軌跡方程例4如圖7所示，在xoy平面內x>0區域中，有一半圓形勻強磁場區域，圓心為O,半徑為R=0.10m,磁感應強度大小為B=0.5T,磁場方向垂直xoy平面向里.有一線狀粒子

9、源放在y軸左側（圖中未畫出），并不斷沿平行于x軸正方向釋放出電荷量為q=+1.6X10-19C,初速度V0=1.6xi06m/s的粒子，粒子的質量為m=1.0xi0-26kg,不考慮粒子間的相互作用及粒子重力，求：從y軸任意位置（0,y）入射的粒子離開磁場時的坐標.點評：帶電粒子在磁場中的運動是最能反映抽象思維與數學方法相結合的物理模型，本題則利用圓形磁場與圓周運動軌跡方程求交點，是對初等數學的抽象運用，能較好的提高學生思維.四、周期性問題的解題關鍵一一尋找圓心角1.粒子周期性運動的問題例5如圖9所示的空間存在兩個勻強磁場，其分界線是半徑為：二R的圓，兩側的磁場方向相反且垂直于紙面，磁感應強度

10、大小都為:彳B.現有一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計重力)從A點沿aA方向射出.求：(1)若方向向外的磁場范圍足夠大，離子自A點射出后在兩個磁場不斷地飛進飛出，最后又返回A點，求返回A點的最短時間及對.應的速度.(2)若向外的磁場是有界的，分布在以O點為圓心、半徑為R和2R的兩半圓環之間的區域，上述粒子仍從A點沿QA方向射出且粒子仍能返回A點，求其返回A點的最短時間.2.磁場發生周期性變化例6如圖12所示，在地面上方的真空室內，兩塊正對的平行金屬板水平放置.在兩'NI.附硒，仆部B/X10%板之間有一勻強電場，場強按如圖13所示規律變化(沿y軸方向為正方向)在兩板正中間有一圓形

11、勻強磁場區域，磁感應強度按圖14所示規律變化，如果建立如圖12所示的坐標系，在t=0時刻有一質量m=9.0X10-9kg、電荷量q=9.0X10-6C的帶正電的小球，以V0=1m/s的初速度沿y軸方向從O點射入，分析小球在磁場中的運動并確定小球在勻強磁場中的運動時間及離開時的位置坐標.國14小結：對于周期性問題，因為粒子運動軌跡和磁場邊界都是圓，所以要充分利用圓的對稱性及圓心角的幾何關系，尋找運動軌跡的對稱關系和周期性.五、磁場問題的規律前面分析的六個典型例題，其物理情景各異，繁簡不同，但解題思路和方法卻有以下四個共同點.(1)物理模型相同即帶電粒子在勻強磁場中均做勻速圓周運動.(2)物理規律

12、相同即洛倫茲力提供運動的向心力，通常都由動力學規律列方程求解.(3)數學規律相同即運用幾何知識求圓心角、弧長、半徑等物理量.(4)解題關鍵相同：一是由題意畫出正確軌跡；二是尋找邊界圓弧和軌跡圓弧的對應圓心角關系；三是確定半徑和周期，構建合適的三角形或平行四邊形，再運用解析幾何知識求解圓的弦長、弧長、圓心角等，最后轉化到題目中需求解的問題.【同步練習】1.如圖所示，在半徑為R的圓形區域內充滿磁感應強度為B的勻強磁一.；、場，仙渥一豎直放置的感光板.從圓形磁場最高點P垂直磁場射入大:“晨KXXXIbBKXX量的帶正電，電荷量為q,質量為m速度為V的粒子，不考慮粒子間的相互作用力，關于這些粒子的運動

13、以下說法正確的是（）DA.只要對著圓心入射，出射后均可垂直打在MN±B.對著圓心入射的粒子，其出射方向的反向延長線不一定過圓心C.對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中通過的弧長越長，時間也越長D.只要速度滿足vqBR,沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上m2.如圖所示，長方形abcd的長ad=0.6m,寬ab=0.3m,Qe分別是ad、bc的中點，以e為圓心eb為半徑的四分之一圓弧和以O為圓心Od為半徑的四分之一圓弧組成的區域內有垂直紙面向里的勻強磁場（邊界上無磁場）磁感應強度B=0.25T。一群不計重力、質量m=M0-7kg、電荷量q=+2X10-3C的帶正電粒子以速度v=

14、5M02m/s沿垂直ad方向且垂直于磁場射人磁場區域，則下列判斷正確的是（）CDA.從Od邊射入的粒子，出射點全部分布在Oa邊B.從aO邊射入的粒子，出射點全部分布在ab邊C.從Od邊射入的粒子，出射點分布在ab邊D.從ad邊射人的粒子，出射點全部通過b點3、一質量為崛、帶電量為q的粒子以速度從o點沿L軸正方向射入磁感強度為m的一圓b處穿過方軸，速度方向與形勻強磁場區域，磁場方向垂直于紙面，粒子飛出磁場區后，從X軸正向夾角為30°,如圖1所示（粒子重力忽略不計）。試求：（1）圓形磁場區的最小面積；（2）粒子從O點進入磁場區到達5點所經歷的時間;（3）&點的坐標。1尺3金叵巴卜

15、場區域最小半徑|即Ba3加飛b.獷磁場區域最小面積相§（2）粒子從O至a做勻速圓周運動的時間ta廨1=_3MH,從a飛出磁場后做勻速直線運動tan30'=iah(3)十班）sin30"=Olb.JM-2RQh=3R=故b點的坐標為（，0)4、在xoy平面內有許多電子（質量為煙、電量為白）,從坐標O不斷以相同速率也沿不同方向射入第一象限，如圖所示。現加一個垂直于立沙平面向內、磁感強度為B的勻強磁場，要求這些電子穿過磁場后都能平行于X軸向K正方向運動，求符合該條件磁場的最小面積。5 .如圖所示，在坐標系xoy內有一半徑為a的圓形區域，圓心坐標為O(a,0),圓內分布有垂

16、直紙面向里的勻強磁場，在直線y=a的上方和直線x=2a的左側區域內，有一沿x軸負方向的勻強電場，場強大小為E,一質量為m電荷量為+q(q>0)的粒子以速度v從O點垂直于磁場方向射入，當入射速度方向沿x軸方向時，粒子恰好從O點正上方的A點射出磁場，不計粒子重力，求：(1)磁感應強度B的大小；(2)粒子離開第一象限時速度方向與y軸正方向的夾角；(3)若將電場方向變為沿y軸負方向，電場強度大小不變，粒子以速度v從O點垂直于磁場方向、并與x軸正方向夾角0=30°射入第一象限，求粒子從射入磁場到最終離開磁場的總時間t。解：(1)設粒子在磁場中做圓運動的軌跡半徑為R,牛頓第二定律有粒子自A

17、點射出，由幾何知識解得y1(2)粒子從A點向上在電場中做勻減運動，設在電場中減速的距離為所以在電場中最高點的坐標為(a,(3)粒子在磁場中做圓運動的周期粒子從磁場中的P點射出，因磁場圓和粒子的軌跡圓的半徑相等,OOPO構成菱形，故粒子從P點的出射方向與y軸平行，粒子由O到P所對應的圓心角為。1=60°由幾何知識可知，粒子由P點到x軸的距離S=acos0粒子在電場中做勻變速運動，在電場中運動的時間粒子由P到Q粒子由P點第2次進入磁場，由Q點射出，POQO構成菱形，由幾何知識可知Q點在x軸上,的偏向角為。2=120°粒子先后在磁場中運動的總時間粒子在場區之間做勻速運動的時間(2

18、+殲4+2刪£解得粒子從射入磁場到最終離開磁場的時間【答案】（1分）（1分）（3）粒子在磁場中做勻速圓周運動，出磁場時:.V=尸一尸9560、（2分）粒子進電場后做勻減速運動，在上升階段有:wv*=qEAu,潮ir一（2分）JMV3A>'=為E（1分）啟陽（_*c?H）所以在電場中最遠坐標為21旺）（1分）因為粒子的軌跡半徑與磁場的邊界半徑相等，粒子返回磁場后射入點和射出點與軌跡圓心及磁場的邊界圓心的連線構成棱形。所以最后射出磁場的坐標為（2a,0）（2分）（4）可以加一個勻強磁場或者兩個方向不同的勻強電場方向如圖，大小與已知條件相同（2分）軌跡如圖所示（2分）節*晟總

19、帽從A點射入的粒子恰好從y軸上的A6 .如圖所示的直角坐標系中，從直線x=-2|o到y軸區域存在兩個大小相等、方向相反的有界勻強電場，其中x軸上方的電場方向沿y軸負方向，x軸下方的電場方向沿y軸正方向。在電場左邊界從A（-21。，-I。）點到C（-2lo,0）點區域內，連續分布著電量為+q、質量為m的粒子。從某時刻起，A點到C點間的粒子依次連續以相同速度V0沿x軸正方向射入電場。（0,-I。）點沿沿x軸正方向射出電場，其軌跡如圖所示。不計粒子的重力及它們間的相互作用。（1）求從AC間入射的粒子穿越電場區域的時間t和勻強電場的電場強度E的大小。（2）求在AC間還有哪些坐標位置的粒子通過電場后也能

20、沿x軸正方向運動？（3）為便于收集沿x軸正方向射出電場的所有粒子，若以直線x=2|0上的某點為圓心的圓形磁場區域內，設計分布垂直于xOy平面向里的勻強磁場，使得沿x軸正方向射出電場的粒子經磁場偏轉后，都能通過x=2l0與圓形磁場邊界的一個交點。則磁場區域最小半徑是多大？相應的磁感應強度B是多大？解析:（1）從A點射出的粒子，由A到A'的運動時間為T,根據運動軌跡和對稱性可得:x軸方向21口二97（2分）y軸方向。萬海2（2分）解得：%（2分）設到C點距離為y處射出的粒子通過電場后也沿x軸正方向，粒子第一次達x,1碑一、JL_JLiip7-（At）（1分）（2分）軸用時1,水平位移為x,

21、則以工二豌"2m粒子從電場射出時的速度方向也將沿x軸正方向，則4=穩的解之得：”W里令一“（2分）_尸二一"，、，即AC間y坐標為超（n=1,2,3,）（1分）7 .如圖所示，在xoy坐標系中分布著三個有界場區：第一象限中有一半徑為r=0.1m的圓形磁場區域，磁感應強度B=1T,方向垂直紙面向里，該區域同時與x軸、y軸相切，切點分別為A、C；第四象限中，由y軸、拋物線FG（y10x2x0.025,單位：m）和直線DHyx0.425,單位：nD構成的區域中，存在著方向豎直向下、強度E=2.5N/C的勻強電場；以及直線DH右下方存在垂直紙面向里的勻強磁場B=0.5T。現有大量質

22、量m=1xi0-6kg（重力不計），電量大小為q=2X10-4C,速率均為20m/s的帶負電的粒子從A處垂直磁場進入第一象限，速度方向與y軸夾角在0至1800之間。（1）求這些粒子在圓形磁場區域中運動的半徑；（2）試證明這些粒子經過x軸時速度方向均與x軸垂直；（3）通過計算說明這些粒子會經過y軸上的同一點，并求出該點坐標。1q2班5二吟一三田分）%通=誓（2分）%并將為=-Wd+k-0.025和%=k0.425代入得瑪=區（2分）設其從K點離開磁場,O1和O2分別是磁場區域和圓周運動的圓心，因為圓周運動半徑和磁場區域半徑相同，因此O1AO2K為菱形，離開磁場時速度垂直于02K即垂直于x軸，得證

23、。（6分）（3）設粒子在第四象限進入電場時的坐標為（x,y1），離開電場時的坐標為（x,y2），離開電場時速度為v2,在B2磁場區域做圓周運動的半徑為R2.有S刃I駕-0分）五1得國=11陽（粉）因v2的方向與DH成45o,且半徑剛好為x坐標值，則粒子做圓周運動的圓心必在y軸上，在此磁場中恰好經過四分之一圓周，并且剛好到達H處，H點坐標為（0,-0.425）。（3分8.如圖所示，半圓有界勻強磁場的圓心O在x軸上，OO距離等于半圓磁場的半徑，磁感應強度大小為B。虛線MNff彳tx軸且與半圓相切于P點。在MNU方是正交的勻強電場和勻強磁場，電場場強大小為E,方向沿x軸負向，磁場磁感應強度大小為B2

24、oB,B2方向均垂直紙面，方向如圖所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向從原點O射入第I象限，其中沿x軸正方向進入磁場的粒子經過P點射入M巾，恰好在正交的電磁場中做直線運動，粒子質量為m電荷量為q（粒子重力不計）。求：（1）粒子初速度大小和有界半圓磁場的半徑。（2）若撤去磁場民，則經過P點射入電場的粒子從y軸出電場時的坐標。（3）試證明：題中所有從原點O進入第I象限的粒子都能在正交的電磁場中做直線運動。（1）洛洛氏（2）姆瓦星（3）見解析24.（1）小昆二為（2分）（2分）由題意知粒子在磁場B中圓周運動半徑與該磁場半徑相同,（2分）洛洛瑪（2分）(2)在電場中粒子做類平拋運動:為尸v

25、-A=2m（2分）E搭E2t=,-=“B.Eq也1與用（3分）甌)（2分）(3)證明：設從O點入射的任一粒子進入B磁場時，速度方向與x軸成。角，粒子出B磁場與半圓磁場邊界交于Q點，如圖所示，找出軌跡圓心，可以看出四邊形OOOQ四條邊等長是平行四邊形，所以半徑QQ與OO平行。所以從Q點出磁場速度與QQ垂直，即與x軸垂直，所以垂直進入MN&界。進入正交電磁場E、B2中都有外斕工一二*故做直線運動。（5分）9.如圖所示，真空中一平面直角坐標系xOy內，存在著兩個邊長為L的正方形勻強電場區域I、n和兩個直徑為L的圓形磁場區域出、IV。電場的場強大小均為E,區域I的場|r-x軸上，左邊界剛好與剛

26、好強方向沿x軸正方向，其下邊界在x軸上，右邊界剛好與區域n的邊界相切；區域n的場強方向沿y軸正方向，其上邊界在與區域IV的邊界相切。磁場的磁感應強度大小均為2EmE,區域出的圓心坐標為（0,L）、,qL2磁場方向垂直于xOy平面向外；區域IV的圓心坐標為（0,L）、磁場方向垂直于xOy平面23向里。兩個質重均為m電何重均為q的田正電粒子MN在外力約束下靜止在坐標為（L,2L）、（3L,2_a3L）的兩點。在x軸的正半軸（坐標原點除外）放置一塊足夠長的感224光板，板面垂直于xOy平面。將粒子MN由靜止釋放，它們最終打在感光板上并立即被吸收。不計粒子的重力。求：（1）粒子離開電場I時的速度大小。

27、（2）粒子M擊中感光板的位置坐標。（3）粒子N在磁場中運動的時間。II小燈卿I的于育區域I學運動電嗡能定用將7"占分1解得3-盧昭壯分I威椎氣口粕二磁情4，皿f型豺廣忤更場中匹3；津旗1號犯動盛動，的牛蚓金二定1口內U皿LG辦，M迅修的獻f衿坷磁場儀收的整餐工間.故制在博E中雇黜U悔I個附則后空過跳建兒幅R.周is動內分之一個周同抬拳打卜Ml上方向離用場.居岸藁兒Etl埴II恒優中也七動巡役”射出電場后耳打出/心的始用板J_I*電*中HQffniJr一皂“#r器電格力口神丫-事M：吟）：L-二等二分卜,£rAAV1!"1i所以幅段成*旬動發小ti用涓電修廳應他速度

28、叫L“L屬選度但阿垢|沏問吐yUj.噸出電螞代沿.慝h向的總附歸I.1taraj-4JTli£,!由鵬童成帆t*版*H號+LFL必楂2*加訓出itXftHU運動灼月也如"勺是沏、與的打飛崎.力行盟內.，4JJ.4七扛小堵.向中師軍為，底年者崎|千人本碣A，F后峽d點離拜堂/h強理行*X逢11田所裊料作豉品III中運號的時r，點了一卷J券由燈杼室系flJMl在總Bill中運硝時同H同戰RF在由場中超弟的時N/獷爭<1'*、。分）10.一質量為nr電荷量為+q的粒子以速度,從O點沿y軸正方向射入磁感應強度為b處穿過x軸,B的圓形勻強磁場區域，磁場方向垂直紙面向外，

29、粒子飛出磁場區域后，從速度方向與x軸正方向的夾角為30,同時進入場強為E、方向沿與x軸負方向成60角斜向下的勻強電場中，通過了b點正下方的c點，如圖所示，粒子的重力不計，試求：（1）圓形勻強磁場區域的最小面積；（2）c點到b點的距離。(2)qE11.如圖甲所示，質量n=8.0M0-25kg,電荷量q=1.6M0-15C的帶正電粒子從坐標原點O處沿xOy平面射入第一象限內,且在與x方向夾角大于等于30°的范圍內，粒子射入時的速度方向不同，但大小均為V0=2.0M07m/s。現在某一區域內加一垂直于xOy平面向里的勻強磁場,磁感應強度大小B=0.1T,若這些粒子穿過磁場后都能射到與y軸平行的熒光屏MNt,并且當把熒光屏MNJ左移動時，屏上光斑長度和位置保持不變。（聲3.14）求:(1)粒子從y軸穿過的范圍。0(2)熒光屏上光斑的長度。(3)從最高點和最低點打到熒光屏MNk的粒子運動的時間差。畫出所加磁場的最小范圍（用斜線表示）其0-出R(2)1=(1+方)R(3)t=(12+0.5)X10-8S(4)解析：設