1、空間幾何體的表面積與體積知識梳理知識梳理1空間幾何體的結(jié)構(gòu)空間幾何體的結(jié)構(gòu)(1)多面體和旋轉(zhuǎn)體多面體和旋轉(zhuǎn)體由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做 圍成圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的多面體的各個多邊形叫做多面體的，相鄰兩個面的公共，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的邊叫做多面體的，棱與棱的公共點叫做多面體的，棱與棱的公共點叫做多面體的由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所由一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做形成的封閉幾何體叫做定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的多面體多面體頂點頂點旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體軸軸面面棱棱知識梳理(2)多面體的

2、結(jié)構(gòu)特征多面體的結(jié)構(gòu)特征棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱的結(jié)構(gòu)特征有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行其中兩互相平行的面叫做棱柱的邊形的公共邊都互相平行其中兩互相平行的面叫做棱柱的，其余各面叫做棱柱的，其余各面叫做棱柱的，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的，側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的，側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的底面是幾邊形就底面是幾邊形就叫幾棱柱叫幾棱柱側(cè)面?zhèn)让鎮(zhèn)壤鈧?cè)棱底面底面頂點頂點知識梳理棱錐的結(jié)構(gòu)特征棱錐的結(jié)構(gòu)特征有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角有一個面是多邊形，其余

3、各面都是有一個公共頂點的三角形這個多邊形面叫做棱錐的形這個多邊形面叫做棱錐的，有公共頂點的各個三角形，有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的面叫做棱錐的，各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的，各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的，相鄰，相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)面的公共邊叫做棱錐的底面是幾邊形就叫幾棱錐底面是幾邊形就叫幾棱錐棱臺的結(jié)構(gòu)特征棱臺的結(jié)構(gòu)特征用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做部分叫做原棱錐的底面與截面分別叫做棱臺的原棱錐的底面與截面分別叫做棱臺的和和，兩底面間的距離叫做棱臺的高棱臺也有側(cè)面、，兩底面間的距離叫做棱臺的高棱臺也有側(cè)

4、面、側(cè)棱、頂點棱臺側(cè)棱的延長線必相交于一點上、下底面是側(cè)棱、頂點棱臺側(cè)棱的延長線必相交于一點上、下底面是相似多邊形底面是幾邊形就叫幾棱臺相似多邊形底面是幾邊形就叫幾棱臺底面底面?zhèn)让鎮(zhèn)让鎮(zhèn)壤鈧?cè)棱頂點頂點棱臺棱臺上底面上底面下底面下底面知識梳理幾種特殊棱柱、棱錐、棱臺幾種特殊棱柱、棱錐、棱臺側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱棱柱叫做正棱柱(正棱柱的側(cè)面是全等的矩形，底面是全等的正棱柱的側(cè)面是全等的矩形，底面是全等的正多邊形正多邊形)理解下列關(guān)系：理解下列關(guān)系：正方體正方體正四棱柱正四棱柱長方體長方體直四棱柱直四棱柱直棱

5、柱直棱柱棱柱棱柱知識梳理如果一個棱錐的底面是正多邊形并且頂點在底面的射影是如果一個棱錐的底面是正多邊形并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐頂點到底面的距離叫底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐頂點到底面的距離叫做棱錐的高正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，這些等腰做棱錐的高正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，這些等腰三角形底邊上的高都相等，叫做棱錐的斜高如圖三角形底邊上的高都相等，叫做棱錐的斜高如圖351，高，高SO，斜高，斜高SE.由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺正棱臺各側(cè)面都是全等由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺正棱臺各側(cè)面都是全等的等腰梯形，這些等腰梯形的高叫做棱臺的斜高，如圖的等腰梯形，

6、這些等腰梯形的高叫做棱臺的斜高，如圖352所示，高所示，高，斜高，斜高.知識梳理OOEE(3)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征圓柱的結(jié)構(gòu)特征圓柱的結(jié)構(gòu)特征以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做，旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的，旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸軸，垂直于軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的，平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而，平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的成的曲面叫做圓柱的，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的圓柱和棱柱統(tǒng)稱

7、為柱體圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體圓錐的結(jié)構(gòu)特征圓錐的結(jié)構(gòu)特征以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做棱錐與圓錐統(tǒng)稱棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體為錐體知識梳理圓柱圓柱底面底面?zhèn)让鎮(zhèn)让婺妇€母線圓錐圓錐知識梳理圓臺的結(jié)構(gòu)特征圓臺的結(jié)構(gòu)特征用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做部分叫做與圓柱和圓錐一樣，圓臺也有軸、底面、側(cè)與圓柱和圓錐一樣，圓臺也有軸、底面、側(cè)面、母線棱臺和圓臺統(tǒng)稱為臺體面、母線棱臺和圓臺統(tǒng)稱為臺體球的結(jié)構(gòu)特征球

8、的結(jié)構(gòu)特征以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做的旋轉(zhuǎn)體叫做，簡稱，簡稱半圓的圓心叫做球的半圓的圓心叫做球的，半，半圓的半徑叫做球的圓的半徑叫做球的，半圓的直徑叫做球的，半圓的直徑叫做球的圓臺圓臺球體球體球球球心球心半徑半徑直徑直徑知識梳理2空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積與體積(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積旋轉(zhuǎn)體的表面積圓柱的表面積圓柱的表面積S2r22rl2r(rl)；圓錐的表面積圓錐的表面積Sr2rlr(rl)；圓臺的表面積圓臺的表面積S(r2r2rlrl)(2)多面體的表面積等于各個面的面積之和多面體的表面積等于各個

9、面的面積之和(3)柱體、錐體與臺體的體積柱體、錐體與臺體的體積柱體的體積：柱體的體積：VSh；錐體的體積：錐體的體積：VSh；臺體的體積：臺體的體積：V31.SSSS31h知識梳理(4)球的表面積和體積球的表面積和體積球的表面積：球的表面積：S4R2；球的體積：球的體積：VR3.34 探究點探究點1 1空間幾何體的結(jié)構(gòu)空間幾何體的結(jié)構(gòu)要點探究要點探究例例1 1下列幾個命題，正確的是下列幾個命題，正確的是_棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；棱錐的側(cè)面均是三角形，且所有側(cè)面都有一個公共點；棱錐的側(cè)面均是三角形，且所有側(cè)面都有一個公共點；多面體至少有四個面；多面體至少有四個面；棱臺

10、側(cè)棱所在直線均相交于一點棱臺側(cè)棱所在直線均相交于一點要點探究【思路】【思路】 本題就是考查多面體的定義本題就是考查多面體的定義【解析【解析】 由多面體的定義可知由多面體的定義可知均正確，而均正確，而棱臺是棱臺是由棱錐所截而得，所以由棱錐所截而得，所以也正確也正確【答案【答案】 【點評【點評】 本題就是要熟練掌握多面體的定義對幾何體的本題就是要熟練掌握多面體的定義對幾何體的結(jié)構(gòu)除掌握定義之外，還要利用空間想象力，理解幾何體之間結(jié)構(gòu)除掌握定義之外，還要利用空間想象力，理解幾何體之間的位置關(guān)系，如下變式題：的位置關(guān)系，如下變式題：要點探究變式題變式題已知棱長都相等的正三棱錐內(nèi)接于一個球，某已知棱長都

11、相等的正三棱錐內(nèi)接于一個球，某人畫出四個過球心的平面截球與正三棱錐所得的圖形如下，人畫出四個過球心的平面截球與正三棱錐所得的圖形如下，則正確的有則正確的有_(填序號填序號)要點探究【思路【思路】 過球心的截面一定過該三棱錐的中心過球心的截面一定過該三棱錐的中心【答案【答案】 【解析【解析】 注意到過球心的條件，易判斷注意到過球心的條件，易判斷不合題意，不合題意，正確正確 探究點探究點2 2幾何體的表面積和體積幾何體的表面積和體積要點探究例例2 2 2009全國卷全國卷 直三棱柱直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面?zhèn)壤獯怪庇诘酌?ABCA1B1C1的各頂點都在同一球面上，若的各頂點都在同一球面上，若ABAC

12、AA12，BAC120，則此球的表面積等于，則此球的表面積等于_【思路【思路】 由已知可求得三角形由已知可求得三角形ABC的外接圓半徑，構(gòu)造的外接圓半徑，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理可求球半徑直角三角形，利用勾股定理可求球半徑【答案【答案】 20要點探究【解析【解析】 在在ABC中，中，ABAC2，BAC120，得角得角B30，在，在ABC中由正弦定理得中由正弦定理得2r，可，可得得ABC外接圓半徑外接圓半徑r2，設(shè)此圓圓心為，設(shè)此圓圓心為O，球心為，球心為O，在在RtOBO中，中，OO1，易得球半徑，易得球半徑R，故此球的表，故此球的表面積為面積為4R220.30sinAC5【點評【點評】

13、本題的關(guān)鍵是理解組合體的結(jié)構(gòu)，在三角形中本題的關(guān)鍵是理解組合體的結(jié)構(gòu)，在三角形中綜合運用正弦定理和勾股定理，求出組合體中球的半徑幾綜合運用正弦定理和勾股定理，求出組合體中球的半徑幾何體的表面積和體積，只要求出有關(guān)量，代入公式就可計何體的表面積和體積，只要求出有關(guān)量，代入公式就可計算算要點探究變式題變式題已知一個空間幾何體的三視圖如圖已知一個空間幾何體的三視圖如圖354所示，所示，其中正視圖、側(cè)視圖都是由半圓和矩形組成，根據(jù)圖中標(biāo)出其中正視圖、側(cè)視圖都是由半圓和矩形組成，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸的尺寸(單位：單位： cm)，可得這個幾何體的體積是，可得這個幾何體的體積是()A B. C. D23435

14、要點探究【解析【解析】 C由三視圖可知，該幾何體由一個半球和一由三視圖可知，該幾何體由一個半球和一個圓柱組成，球半徑為個圓柱組成，球半徑為1，圓柱的高和底面半徑均為，圓柱的高和底面半徑均為1，故，故該幾何體的體積為該幾何體的體積為13121.342135 探究點探究點3 3幾何體中的最值問題幾何體中的最值問題要點探究【思路【思路】 畫出平面展開圖，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題畫出平面展開圖，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題例例3 3如圖如圖355，在直三棱柱，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面中，底面ABC為直角三角形，為直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是是BC1上一動點，則上一動點，則C

15、PPA1的最小值是的最小值是_2【答案【答案】25要點探究【解析【解析】 把面把面A1C1B沿沿BC1展開與展開與CBC1在同一個平面在同一個平面上，連上，連A1C，如圖，如圖356所示所示ACB90，AC6，BCC1C，A1C1B90，A1C16，CC1A1135.在在CC1A1中，利用余弦定理中，利用余弦定理A1C22CC1A1C1cosCC1A150.A1C5，即，即CPPA1的最小值為的最小值為5.21211CCCA22要點探究【點評【點評】 幾何體表面的最值問題，一般是利用展開圖進幾何體表面的最值問題，一般是利用展開圖進行求解本題最大的困難是正確畫出平面展開圖，因為行求解本題最大的困

16、難是正確畫出平面展開圖，因為A1P在幾何體內(nèi)部，可依據(jù)它所在的平面在幾何體內(nèi)部，可依據(jù)它所在的平面A1C1B繞繞BC1展到與平面展到與平面CBB1C1重合注意想象展開后平面圖形的形狀當(dāng)展開圖重合注意想象展開后平面圖形的形狀當(dāng)展開圖有多種時注意選擇適當(dāng)?shù)膱D形，如下變式題：有多種時注意選擇適當(dāng)?shù)膱D形，如下變式題：要點探究變式題變式題如圖如圖357，在正方體，在正方體ABCDA1B1C1D1中，中，F(xiàn)為棱為棱AB的中點，如果的中點，如果AB1，一個點從，一個點從F出發(fā)在正方體的表出發(fā)在正方體的表面上依次經(jīng)過棱面上依次經(jīng)過棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的點，又回上的點，又回到到F，指出整

17、個線路的最小值并說明理由，指出整個線路的最小值并說明理由要點探究【解答【解答】 如圖如圖358，將正方體六個面展開，從圖中，將正方體六個面展開，從圖中F到到F，兩點之間線段最短，而且依次經(jīng)過棱，兩點之間線段最短，而且依次經(jīng)過棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中點，所求的最小值為上的中點，所求的最小值為3.2 探究點探究點4 4折疊問題折疊問題要點探究例例4 4 給出一邊長為給出一邊長為2的正三角形紙片，把它折成一個側(cè)棱的正三角形紙片，把它折成一個側(cè)棱長與底面邊長都相等的三棱錐，并使它的全面積與原三角形面長與底面邊長都相等的三棱錐，并使它的全面積與原三角形面積相等，設(shè)計一種折疊方法，

18、用虛線標(biāo)在圖積相等，設(shè)計一種折疊方法，用虛線標(biāo)在圖359中，并求該三中，并求該三棱錐的體積棱錐的體積要點探究【思路【思路】 沿正三角形的三條中位線折得三棱錐構(gòu)造直角沿正三角形的三條中位線折得三棱錐構(gòu)造直角三角形，求三棱錐的高是求體積的關(guān)鍵三角形，求三棱錐的高是求體積的關(guān)鍵【解答【解答】 如圖如圖3510所示，取等邊三角形三邊的中點所示，取等邊三角形三邊的中點A、B、C，連接，連接AB、BC、CA(原三角形三條中位線原三角形三條中位線)得得ABC，以中位，以中位線為折線折起三角形，使三角形三頂點重合，則得側(cè)棱長與底線為折線折起三角形，使三角形三頂點重合，則得側(cè)棱長與底面邊長都等于面邊長都等于1的

19、三棱錐的三棱錐SABC(如圖如圖3511)，作，作SO平面平面ABC，則易證點，則易證點O是是ABC的重心，連接的重心，連接CO并延長交并延長交AB于于E，則則E是是AB的中點，連接的中點，連接SE.要點探究O是是ABC的重心，的重心，OCCE32,3312332要點探究在在RtSOC中，中，SC1，SOV三棱錐三棱錐SABCSABCSOCEABSO22OC-SC31，3631-12131.1223612361【點評【點評】 折疊問題應(yīng)分清折疊前、后幾何圖形中變化的量折疊問題應(yīng)分清折疊前、后幾何圖形中變化的量與不變的量，不變的量常常是后續(xù)解題的已知條件與不變的量，不變的量常常是后續(xù)解題的已知條件規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)