1、第八章第八章 圓錐曲線方程圓錐曲線方程第 講（第二課時）（第二課時）題型題型4 以拋物線為背景求變量的取值范圍以拋物線為背景求變量的取值范圍1. 已知拋物線已知拋物線y=x2上存在兩個不同的上存在兩個不同的點點M、N關于直線關于直線 對稱，對稱，求求k的取值范圍的取值范圍.9-2ykx解：解：設設M(x1,x12)、N(x2,x22)關于關于已知直線已知直線l對稱，對稱，所以所以MNl，所以，所以 即即又又MN的中點在的中點在l上，上，所以所以因為中點必在拋物線開口內，因為中點必在拋物線開口內，所以所以 即即221212-1,-xxxxk121.xxk221212919-4.22222xxxx

2、kkk2221212() ,22xxxx214() ,2k所以所以k2 ，則，則k .故所求實數故所求實數k的取值范圍是的取值范圍是(-,- )( ,+).點評：點評：求參數的取值范圍問題，關鍵是得出求參數的取值范圍問題，關鍵是得出參數的不等式參數的不等式(組組).本題是根據中點在拋物線內這本題是根據中點在拋物線內這一性質，轉化為相應不等式一性質，轉化為相應不等式.本題還可以根據直線本題還可以根據直線與拋物線相交問題中，一是有兩個解，二是與拋物線相交問題中，一是有兩個解，二是MN的中點在的中點在l上得出上得出.11614141414 拋物線拋物線x2=2y上距離點上距離點A(0,a)(a0)最

3、最近的點恰好是拋物線的頂點近的點恰好是拋物線的頂點,求求a的取值范圍的取值范圍.解：解：設設P(x，y)為拋物線上任意一點，則為拋物線上任意一點，則因為因為a0，所以，所以a-1-1.由于由于y0，且，且|PA|最小時，最小時，y=0.所以所以-1a-10，即，即0a1.故故a的取值范圍是的取值范圍是(0，1.2222222|( - )2-2-2( -1) -( -1)2 -1.PAxy ayyayayayayaa 2.(2010湖北卷湖北卷)已知一條曲線已知一條曲線C在在y軸右邊，軸右邊，C上每一點到點上每一點到點F(1,0)的距離減去的距離減去它到它到y軸距離的差是軸距離的差是1. (1)

4、求曲線求曲線C的方程；的方程；(2)是否存在正數是否存在正數m，對于過點，對于過點M(m,0)且與曲線且與曲線C有兩個交點有兩個交點A，B的任一直線，的任一直線，都有都有0)，化簡得化簡得y2=4x(x0)方法方法2：由已知曲線：由已知曲線C上任意一點上任意一點P到點到點F(1,0)的距離與到直線的距離與到直線x=-1的距離相等，的距離相等，所以曲線所以曲線C是以是以F(1,0)為焦點，為焦點，x=-1為準線為準線的拋物線，的拋物線，故曲線故曲線C的方程為的方程為y2=4x(x0)1 22xy (2)設過點設過點M(m,0)的直線的直線l與曲線與曲線C交于交于A(x1，y1)，B(x2，y2)

5、，l的方程為的方程為x=ty+m. 由 此 可 見 存 在 正 數由 此 可 見 存 在 正 數 m ， 對 于 過 點， 對 于 過 點M(m,0)且與曲線且與曲線C有兩個交點有兩個交點A、B的任一直的任一直線，都有線，都有 ，且，且m的取值范圍是的取值范圍是(3-2 ，3+2 ) 點評點評：本題主要考查直線與拋物線的本題主要考查直線與拋物線的位置關系、拋物線的性質等基礎知識，同時位置關系、拋物線的性質等基礎知識，同時考查推理運算能力考查推理運算能力22 設拋物線設拋物線y2=2px(p0)的焦點為的焦點為F，經過點經過點F的直線交拋物線于的直線交拋物線于A、B兩點，點兩點，點C在在拋物線的

6、準線上，且拋物線的準線上，且BCx軸軸.證明直線證明直線AC經經過原點過原點O.證法證法1：設設AB： 代入代入y2=2px，得得y2-2pmy-p2=0.由韋達定理，得由韋達定理，得 即即因為因為BCx軸，且點軸，且點C在準線在準線 上，上，所以所以C,2pxmy2- ,A By yp2-.BApyy-2px (-,).2Bpy 則則 故直線故直線AC經過原點經過原點O. 證法證法2：如右圖，記準如右圖，記準 線線l與與x軸的交點為軸的交點為E，過，過A 作作ADl，垂足為，垂足為D. 則則ADEFBC. 連結連結AC交交EF于點于點N， 則則2.-2BAOCOAAAyypkkpyx| |,

7、.| |ENCNBFNFAFADACABBCAB 因為因為|AF|=|AD|，|BF|=|BC|， 所以所以 即即N是是EF的中點，從而點的中點，從而點N與點與點O重合，重合， 故直線故直線AC經過原點經過原點O.| | |,|ADBFAFBCENNFABAB1. 過拋物線過拋物線y2=4x的焦點的焦點F作直線作直線l交拋物線交拋物線于于A、B兩點，設兩點，設 若若4，9，求直，求直線線l在在y軸上的截距的取值范圍軸上的截距的取值范圍.解：解：設點設點A(x1，y1)，B(x2，y2).由已知得拋物線的焦點為由已知得拋物線的焦點為F(1，0).因為因為 所以所以(x2-1,y2)=(1-x1,

8、-y1). 所以所以 . 由得由得y22=2y12.,FBAF ,FBAF 2121-1(1- ) - xxyy又因為又因為y12=4x1，y22=4x2，所以所以x2=2x1.聯立解得聯立解得x2=，依題意有，依題意有0，所以所以B(，2 )或或B(，-2 ).所以直線所以直線l的方程為的方程為(-1)y=2 (x-1)或或(-1)y-2 (x-1).從而直線從而直線l在在y軸上的截距為軸上的截距為 或或因為當因為當4,9時時, 是減函數，是減函數，2-1b2-1b 221-1-b故當故當=4時時,b= ；當；當=9時時,b= .所以所以b ， .同理可得同理可得,當當 時時,有有b- ,-

9、 .故直線故直線l在在y軸上的截距的取值范圍是軸上的截距的取值范圍是- ，- ， .4334433443344343342-1b342.設直線設直線x-ay-2=0與拋物線與拋物線y2=2x相交于相異相交于相異兩點兩點A、B，以線段，以線段AB為直徑作圓為直徑作圓M. (1)證明：拋物線的頂點在圓證明：拋物線的頂點在圓M的圓周上；的圓周上； (2)求當求當a為何值時，圓為何值時，圓M的面積最小的面積最小. 解：解：(1)證明：由證明：由 可得可得y2-2ay-4=0. 設點設點A(x1,y1),B(x2,y2), 則則y1+y2=2a,y1y2=-4, 從而從而2-20,2x ayyx2221

10、2121 2()4,224yyy yx x 所以所以x1x2+y1y2=0，即即 所以所以故點故點O在圓在圓M上上.(2)因為因為x1+x2=a(y1+y2)+4=2a2+4.又又M是線段是線段AB的中點，的中點，所以點所以點M(a2+2，a).所以所以當且僅當當且僅當a=0時取等號時取等號,故當故當a=0時時,圓圓M的面積最小的面積最小.0,OA OB ,OAOB 22242|(2)542.OMaaaa 1. 拋物線的定義反映了拋物線的本拋物線的定義反映了拋物線的本質，靈活利用定義往往可以化繁為簡，質，靈活利用定義往往可以化繁為簡，化難為易，且思路清晰，解法簡捷化難為易，且思路清晰，解法簡捷.巧妙巧妙的解法常常來源于對定義的恰當運用，的解法常常來源于對定義的恰當運用，要很好地體會要很好地體會.2. 拋物線的幾何性質，要與橢圓、拋物線的幾何性質，要與橢圓、雙曲線加以對照，但由于拋物線的離心雙曲線加以對照，但由于拋物線的離心率為率為1，所以拋物線的焦點弦具有很多重，所以拋物線的焦點弦具有很多重要性質，而且應