1、第三章效用論1.一件襯衫的價格為 80元，一份肯德基快餐的價格為20元，在某消費者關于這兩種商品的效用最大化的均衡點上，一份肯德基快餐對襯衫的邊際替代率MRS是多少？解答：按照兩商品的邊際替代率MRS的定義公式，可以將一份肯德基快餐對襯衫的邊際替代率寫成：MRS= X Xi其中，Xi表示肯德基快餐的份數；X2表示襯衫的件數； MRS表示在維持效用水平不變的前提下，消費者增加一份肯德基快餐消費時所需要放棄的襯衫的消費數量。在該消費者實現關于這兩種商品的效用最大化時，在均衡點上有MRS = Pi/P220即有：MRS=80它說明，在效用最大化的均衡點上，該消費者關于一份肯德基快餐對襯衫的邊際替代率

2、MRS為 0.25。2假設某消費者的均衡如圖31(即教材中第96頁的圖3 22)所示。其中，橫軸 OXi和縱軸0X2分別表示商品1和商品2的數量，線段 AB為消費者的預算線，曲線X?1201DM_10 2030圖31某消費者的均衡U為消費者的無差異曲線，E點為效用最大化的均衡點。商品1的價格P1 = 2元。(1) 求消費者的收入；求商品2的價格P2；(3) 寫出預算線方程；(4) 求預算線的斜率；(5) 求E點的MRS12的值。解答：(1) 圖中的橫截距表示消費者的收入全部購置商品1的數量為30單位，且P = 2元，所以，消費者的收入 I = 2兀X 30= 60兀。 圖中縱截距表示消費者的收

3、入全部購置商品2的數量為20單位，且由(1)收入I =60元，所以，商品 2的價格F2 = I/20 = 60/20 = 3元。(3)由于預算線方程的一般形式為：FX+ P2X2= I所以，由(1)、(2)可將預算線方程具體寫為：2X + 3X2= 60(4)將(3)中的預算線方程進一步整理為X2=23X+ 20。很清楚，預算線的斜率為P1 在消費者效用最大化的均衡點E上，有MRS =巨，即無差異曲線斜率的絕對值即MRSP1P1 2等于預算線斜率的絕對值 巨。因此，mrs=p2= 33請畫出以下各位消費者對兩種商品(咖啡和熱茶)的無差異曲線，同時請對和(3)分別寫出消費者B和消費者C的效用函數

4、。(1) 消費者A喜歡喝咖啡，但對喝熱茶無所謂。他總是喜歡有更多杯的咖啡，而從不在 意有多少杯熱茶。(2) 消費者B喜歡一杯咖啡和一杯熱茶一起喝，他從來不喜歡單獨喝咖啡，或者單獨喝 熱茶。(3) 消費者C認為，在任何情況下，1杯咖啡和2杯熱茶是無差異的。(4) 消費者D喜歡喝熱茶，但厭惡喝咖啡。解答：(1)根據題意，對消費者A而言，熱茶是中性商品，因此，熱茶的消費數量不會影響消費者A的效用水平。消費者 A的無差異曲線見圖 3 2(a)。圖3 2中的箭頭均表示 效用水平增加的方向。根據題意，對消費者B而言，咖啡和熱茶是完全互補品，其效用函數是U = minxi,X2。消費者B的無差異曲線見圖 3

5、2(b)。根據題意，對消費者 C而言，咖啡和熱茶是完全替代品，其效用函數是U= 2xi + X2。消費者C的無差異曲線見圖 3 2(c)。(4)根據題意，對消費者D而言，咖啡是厭惡品。消費者 D的無差異曲線見圖32(d)。圖3 2關于咖啡和熱茶的不同消費者的無差異曲線4對消費者實行補助有兩種方法：一種是發給消費者一定數量的實物補助，另一種是發 給消費者一筆現金補助，這筆現金額等于按實物補助折算的貨幣量。試用無差異曲線分析法,說明哪一種補助方法能給消費者帶來更大的效用。圖3 3解答：一般說來，發給消費者現金補助會使消費者獲得更大的效用。其原因在于：在現金補 助的情況下，消費者可以按照自己的偏好來

6、購置商品，以獲得盡可能大的效用。如圖33所示。在圖3 3中，直線AB是按實物補助折算的貨幣量構成的現金補助情況下的預算線。在現金補助的預算線 AB上，消費者根據自己的偏好選擇商品 1和商品2的購置量分別為 x1 和x2，從而實現了最大的效用水平 U2,即在圖3 3中表現為預算線 AB和無差異曲線 U2 相切的均衡點E而在實物補助的情況下，那么通常不會到達最大的效用水平U2。因為，譬如，當實物補助的商品組合為 F點即兩商品數量分別為 x11、x21，或者為 G點即兩商品數量分別為 x12和x22時，那么消費者能獲得無差異曲線 U1所表示的效用水平，顯然， U1<U25.某消費者每年用于商品

7、1和商品=20元和P2= 30元，該消費者的效用函數為 數量應各是多少？每年從中獲得的總效用是多少？2的收入為540元，兩商品的價格分別為U= 3X1X2,該消費者每年購置這兩種商品的P1解答:根據消費者的效用最大化的均衡條件MU PiMU= P2其中，由U= 3XX1可得MU=dTU dX=3X22030MU =羅=6X1X2 dX?整理得：X2= 4X1 (1)于是有：3X?6X1X2將式(1)代入預算約束條件：20Xi + 30X2= 5404得：20Xi + 30 3X = 5403解得：Xi = 9將Xi = 9代入式得：X = 12因此，該消費者每年購置這兩種商品的數量應該為9和1

8、2。將以上最優的商品組合代入效用函數得：* * * 2 2U = 3X(X2) = 3x 9X 12=3 888它說明該消費者的最優商品購置組合給他帶來的最大效用水平為3 888。6假設某商品市場上只有A、B兩個消費者，他們的需求函數各自為QA = 20- 4P和Qb = 30 - 5P。(1) 列出這兩個消費者的需求表和市場需求表。(2) 根據(1)，畫出這兩個消費者的需求曲線和市場需求曲線。解答：(1)由消費者A的需求函數QA = 20-4P,可編制消費者 A的需求表；由消費者 B 的需求函數QB = 30-5P,可編制消費B的需求表。至于市場的需求表的編制可以使用兩種 方法，一種方法是利

9、用已得到消費者A、B的需求表，將每一價格水平上兩個消費者的需求數量加總來編制市場需求表；另一種方法是先將消費者A和B的需求函數加總來求得市場需求函數，即市場需求函數 Qd= QA+ QB= (20- 4P) + (30 5P) = 50- 9P,然后運用所得到 的市場需求函數 Qd= 50- 9P來編制市場需求表。這兩種方法所得到的市場需求表是相同的。 按以上方法編制的 3張需求表如下所示。消費者A的需求表PcA020116 :212384450,消費者B的需求表PcB0301252203154105560PQ = Qd+Qd0501412323234145560,市場的需求表圖34在pw 5

10、的范圍，市場需求函數 01= 50 9P成立；而當P> 5時，只有消費者 B的需求 函數才構成市場需求函數，即Q= 30 5P。在此，需要特別指出的是，市場需求曲線有一個折點，該點發生在價格P=5和需求量Qd= 5的坐標點位置。關于市場需求曲線的這一特征，可以從兩個角度來解釋：一個角度是從圖形來理解，市場需求曲線是市場上單個消費者需求曲線的水平加總，即在PW 5的范圍,市場需求曲線由兩個消費者需求曲線水平加總得到；而當P>5時，只有消費者 B的需求曲線發生作用，所以，他的需求曲線就是市場需求曲線。另一個角度是從需求函數看，7假定某消費者的效用函數為U = x eq f(3,8) i

11、x eq f(5,8)2,兩商品的價格分別為P1, P2,消費者的收入為M。分別求該消費者關于商品1和商品2的需求函數。解答：根據消費者效用最大化的均衡條件f(MU 1,MU2)=f(P1,P2)其中，由的效用函數U = xf(3,8)ixf(5,8) i 可得MUi=f(dTU,dxi) =f(3,8) x f(5,8) ixf(5,8) 2MU 2=f(dTU,dx2) . =f(5,8) xf(3,8) . ixf(3,8) 2于是，有a f(f(3,8)x f(5,8) ixf(5,8) 2,f(5,8)xf(3,8) ix f(3,8) 2)“ =山 f(Pi ,巳)卜、 整理得f(

12、3x 2,5x1)=f(Pl,P2)即有 X2=f(5Pixi,3P2)小(1)將式(i)代入約束條件Pixi+ P2X2 = M,有Pixi+ P2 f(5Pixi,3P2)= M解得 xoal(*,i)=f(3M,8P i)代入式得 xoal(*,2) =f(5M,8P2) o所以，該消費者關于兩商品的需求函數為blcrc (avs4alcoi(xoal( *,i)= f(3M,8P i)* xoal( ,2) = f(5M,8P2)J.8. 令某消費者的收入為M,兩商品的價格為 Pi、P2。假定該消費者的無差異曲線是線性的，且斜率為一a。求該消費者的最優商品消費組合。解答：由于無差異曲線

13、是一條直線，且其斜率的絕對值MRSi2 =f(dx2,dxi)=a,又由于預算線總是一條直線，且其斜率為一eq f(Pi,P2)，所以，該消費者的最優商品組合有以下三種情況，其中第一、二種情況屬于邊角解，如圖35所示。第一種情況：當 MRSi2>f(Pi,P2)4,即 a>f(Pi,P2)時，如圖 3 5(a)所示，效用最大化的均衡點 E位于橫軸，它表示此時的最優解是一個邊角解，即x eq oal( ,i)= eq f(M,P i) , x eq oal(*,2)J“ = 0。也就是說，消費者將全部收入都購置商品i,并由此到達最大的效用水平，該效用水平在圖中用以實線表示的無差異曲線

14、標出。顯然，該效用水平高于在既定的預算線上的其他任何一個商品組合所能到達的效用水平，例如那些用虛線表示的無差異曲線的效用水平。第二種情況：當 MRS12Vf(Pi,P2)，即 avf(Pi,P2)時，如圖 3 5(b)所示，效用最大化的均衡點 E位于縱軸，它表示此時的最優解是一個邊角解，即x eq oal( ,1)=0, xeq oal( ,2) = eq f(M,P 2)。也就是說，消費者將全部收入都購置商品2,并由此到達最大的效用水平，該效用水平在圖中用以實線表示的無差異曲線標出。顯然，該效用水平高于在既定的預算線上的其他任何一個商品組合所能到達的效用水平，例如那些用虛線表示的無差異曲線的

15、效用水平。第三種情況：當 MRSi2=f(Pi,P2)，即 a=f(Pi,P2)時，如圖 35(c)所示，無差異曲線與預算線重疊，效用最大化的均衡點可以是預算線上任何一點的商品組合， 即最優解為 xoal( ,1)> 0, xoal( ,2)> 0,且滿足 P1X1 + P2X2= M。此時所到達的最大效用水平在圖中用以實線表示的無差異曲線標出，顯然，該效用水平高于其他任何一條在既定預算約束條件下可以實現的用虛線表示的無差異曲線的效用水平。9. 假定某消費者的效用函數為U = q + 3M,其中，q為某商品的消費量，M為收入。求:(1) 該消費者的需求函數；(2) 該消費者的反需求

16、函數；當p =f(1,12) , q = 4時的消費者剩余。解答：(1)由題意可得，商品的邊際效用為MU =f(?U,?q)貨幣的邊際效用為匸f(?U,?M)- = 3于是，根據消費者均衡條件f(MU,p)亦=入，有,p)= 3(2) 由需求函數q =f(1,36p2)，可得反需求函數為p=f(1,6r(q)(3) 由反需求函數p =f(1,6r(q)，可得消費者剩余為CS=/oal(q,o)：卜 j blc(rc)(avs4alco1(f(1 ,6r(q) dq pq= eqf(1,3) . qf(1,2)oal(q,o) pq=f(1,3) qf(1 ,2) pq將p =f(1,12)滬，

17、q= 4代入上式，那么有消費者剩余CS=f(1,3) Mf(1,2)f(1,12)X4=f(1,3)10. 設某消費者的效用函數為柯布道格拉斯類型的，即U = xV®,商品x和商品y的價格分別為Px和Py,消費者的收入為M , a和®為常數，且a+ 3= 1。(1)求該消費者關于商品x和商品y的需求函數。證明當商品x和y的價格以及消費者的收入同時變動一個比例時，消費者對兩商品 的需求關系維持不變。證明消費者效用函數中的參數a和3分別為商品x和商品y的消費支出占消費者收入的份額。解答：(1)由消費者的效用函數U = xay3,算得blc rc (avs4alco1( MU x

18、 = f(?U,?x) = a X?3MUy= f(?U,?y)= 3ay3=)消費者的預算約束方程為Pxx+ Pyy= M(1)根據消費者效用最大化的均衡條件山 blcrc (avs4alco1(f( MU x,MU y) = f(Px,Py)Pxx+ Pyy= M)(2)得blcrc (avs4alco1(f(a 婦中3, 3 % 廠)=f( Px,Py)Pxx+ Pyy= M)(3)解方程組(3)，可得X= aM/Px(4) y= BMP y(5)式(4)和式(5)即為消費者關于商品 x和商品y的需求函數。上述需求函數的圖形如圖3 6所示。商品x和y的價格以及消費者的收入同時變動一個比例

19、，相當于消費者的預算線變 為入 Xx+ 入 yy=入 M(6)其中入為一非零常數。此時消費者效用最大化的均衡條件變為心 blcrc (avs4alco1(f( a X1yBX廠 1)= f(Px,Py)入P+入p =入M)J“由于 EQ故方程組(7)化為M r blcrc (avs4alco1(f( a X 1yB, b X 廠 = f( Px,Py) Pxx+ Pyy= M)小(8)顯然，方程組(8)就是方程組，故其解就是式和式。 這說明，消費者在這種情況下對兩商品的需求關系維持不變。由消費者的需求函數式 和式，可得a= Pxx/M (9)B= Pyy/M(10)關系式(9)的右邊正是商品x

20、的消費支出占消費者收入的份額。關系式(10)的右邊正是商品y的消費支出占消費者收入的份額。故結論被證實。U = X1X2，兩商品的價格分別為 P1= 4, P2= 2，消費者的收入是 M = 80。現在假定商品 1的價格下降為P1= 2。1的購置量發生1的購置量發生多1的購置量發生多求：(1)由商品1的價格P1下降所導致的總效應，使得該消費者對商品 多少變化？(2)由商品1的價格P1下降所導致的替代效應，使得該消費者對商品 少變化？由商品1的價格P1下降所導致的收入效應，使得該消費者對商品 少變化？解答：利用圖3 7解答此題。在圖 3 7中，當P1= 4, P2= 2時，消費者的預算線為AB，

21、效用最大化的均衡點為 a。當P1 = 2, P2= 2時，消費者的預算線為 AB',效用最大化的 均衡點為bo先考慮均衡點a。根據效用最大化的均衡條件MRSi2= eq f(Pi,P2)，其中，MRS12=f(MUi,MU2)松=f(X2,Xi) ,f(Pi,P2) =f(4,2) = 2,于是有f(X2,Xi) = 2, Xi=f(i,2) X2。將 Xi= f(i,2)X2代入預算約束等式 4Xi + 2X2= 80,有4 f(i,2)X2+ 2X2 = 80解得X2= 20進一步得Xi= i0那么最優效用水平為Ui = XiX2= io X20= 200再考慮均衡點b。當商品i的

22、價格下降為Pi= 2時，與上面同理，根據效用最大化的均衡條件 MRSi2=f(Pi,P2)，有f(X 2,Xi) =f(2,2) , Xi= X2。將 Xi=X2代入預算約束等式 2Xi+ 2X2= 80,解得Xi = 20 , X2= 20。從a點到b點商品i的數量變化為 AXi= 20 i0= i0,這就是Pi變化引起的商品 i消 費量變化的總效應。(2)為了分析替代效應，作一條平行于預算線AB'且相切于無差異曲線 Ui的補償預算線FG,切點為c點。在均衡點 c,根據 MRSi2= eq f(Pi,P2p 的均衡條件，有 eq f(X 2,Xi) = eq f(2,2) ,Xi=

23、X2。將Xi = X2代入效用約束等式 Ui= XiX2= 200,解得Xi= i4, X2= i4(保存整 數)。從a點到c點的商品i的數量變化為 AXi= i4 i0= 4,這就是Pi變化引起的商品i消 費量變化的替代效應。至此可得，從c點到b點的商品i的數量變化為 AXi= 20 i4 = 6,這就是Pi變化引 起的商品i消費量變化的收入效應。 當然，由于總效應=替代效應+收入效應，故收入效應也可由總效應 AX i = i0減去替代效應 AX i = 4得到，仍為6。12. 某消費者是一個風險回避者，他面臨是否參與一場賭博的選擇：如果他參與這場賭博，他將以5%的概率獲得i0 000元，以

24、95%的概率獲得i0元；如果他不參與這場賭博， 他將擁有509.5元。那么，他會參與這場賭博嗎？為什么？解答：該風險回避的消費者不會參與這場賭博。因為如果該消費者不參與這場賭博，那么，在無風險條件下，他可擁有一筆確定的貨幣財富量509.5元，其數額剛好等于風險條件下的財富量的期望值 i0 000 W%+ i0X95% = 509.5元。由于他是一個風險回避者，所以在他看來，作為無風險條件下的一筆確定收入509.5元的效用水平，一定大于風險條件下這場賭博所帶來的期望效用。13. 基數效用論者是如何推導需求曲線的？解答：要點如下：(1) 基數效用論者提出的商品的邊際效用遞減規律是其推導需求曲線的根

25、底。他們指出，在其他條件不變的前提下，隨著消費者對某商品消費數量的連續增加，該商品的邊際效用是遞減的，所以，消費者對每增加一單位商品所愿意支付的最高價格(即需求價格)也是遞減的，即消費者對該商品的需求曲線是向右下方傾斜的。(2) 在只考慮一種商品的前提下，消費者實現效用最大化的均衡條件是f(MU,P)=入由此均衡條件出發，可以計算出需求價格，并推導與理解(1)中的消費者的向右下方傾斜的需求曲線。14. 用圖說明序數效用論者對消費者均衡條件的分析，以及在此根底上對需求曲線的推導。解答：要點如下：(1) 此題涉及的兩個根本分析工具是無差異曲線和預算線。無差異曲線是用來表示消費者偏好相同的兩種商品的

26、全部組合的，其斜率的絕對值可以用商品的邊際替代率MRS來表示。預算線表示在消費者收入和商品價格給定的條件下，消費者全部收入所能購置到的兩種商品的全部組合，其斜率為f(P1,P2)。(2) 消費者效用最大化的均衡點發生在一條給定的預算線與無數條無差異曲線中的一條相切的切點上，于是，消費者效用最大化的均衡條件為：MRS12=f(P1,P2)，或者山 f(MU 1,P1)忖=* f(MU 2,P2)忖。在的根底上進行比擬靜態分析，即令一種商品的價格發生變化，便可以得到該商 品的價格一消費曲線。價格一消費曲線是在其他條件不變的前提下，與某一種商品的不同價格水平相聯系的消費者效用最大化的均衡點的軌跡。如

27、圖38(a)所示。(b)圖3 8(4) 在(3)的根底上，將一種商品的不同價格水平和相應的最優消費量即需求量之間的一 一對應關系描繪在同一坐標平面上，就可以得到需求曲線，如圖3 8(b)所示。顯然有：需求曲線一般斜率為負，表示商品的價格和需求量成反方向變化；而且，在需求曲線上與每一價格水平相對應的需求量都是可以在該價格水平給消費者帶來最大效用的最優消費數量。15. 分別用圖分析正常物品、低檔物品和吉芬物品的替代效應和收入效應，并進一步說 明這三類物品的需求曲線的特征。解答：要點如下：1當一種商品的價格發生變化時所引起的該商品需求量的變化可以分解為兩個局部，它們分別是替代效應和收入效應。替代效應是指僅考慮商品相對價格變化所導致的該商品需 求量的變化，而不考慮實際收入水平即效用水平變化對需求量的影響。收入效應那么相反，它僅考慮實際收入水平即效用水平變化導致的該商品需求量的變化，而不考