1、專訓1 線段垂直平分線的幾種應用【名師點睛】線段的垂直平分線與線段的兩種關系：位置關系垂直，數量關系平分，利用垂直平分線的這些性質可以求線段的長度。角的度數等，還可以解決試劑生活中的選址等問題。類型1線段垂直平分線的性質在求線段中的應用1.如圖，ABC中，AB、AC的垂直平分線交BC于點D.E，已知ADE的周長為12cm，則BC=_.解答：DF、EG分別是線段AB、AC的垂直平分線，AD=BD，AE=CE，AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，ADE的周長為12cm，即AD+DE+AE=12cm，BC=12cm.故答案為：12cm.2.如圖，在ABC中，C=90，A=15，DE垂直平分AB

2、于點E，交AC于點D.若BC=2cm，求AD的長.解答：連接BD，DE垂直平分AB于點E，交AC于點D，AD=BD，A=ABD.A=15，ABD=15.在BDC中，BDC=A+ABD=15+15=30.C=90，BC=2cm，BD=2CD=4cm，AD=4cm.類型2線段垂直平分線的性質在求角中的應用3.如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知ADE=40，則DBC=.解答：AB=AC，DE垂直平分AB，ADE=40，ADE=EDB=40，AE=BE，A=ABD=50.AB=AC，ABC=ACB=12(180-A)=65，DBC=ABC-ABD=154.如圖，在RtABC

3、中，C=90，AB邊的垂直平分線DE交BC于點D，交AB于點E，連接AD，AD將CAB分成兩個角1，2，且1:2=2:5，求ADC的度數.解答：設1=2x，則2=5x.DE是AB的垂直平分線，DA=DB，B=2=5x，ADC=B+2=10x.C=90，ADC+1=90，即10x+2x=90，x=7.5，ADC=10x=75.5.已知：如圖，在ABE中，AB，AE邊上的垂直平分線m1，m2分別交BE于點C，D，且BC=CD=DE.（1）求證：ACD是等邊三角形；（2）求BAE的度數.解答：（1）證明：m1，m2是AB、AE的垂直平分線，BC=AC，AD=DE.又BC=CD=DE，AC=CD=AD

4、，ACD是等邊三角形.（2）ACD是等邊三角形，CAD=ACD=ADC=60.BC=AC，AD=DE，ACD=2BAC，ADC=2EAD，BAC=EAD=30，BAE=30+30+60=120.類型3線段垂直平分線的性質在實際中的應用6.如圖，某城市規劃局為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區A，B，C之間修建一個購物中心，試問：該購物中心應建于何處，才能使得它到三個小區的距離相等？解答：如圖，連接AB、BC，分別作AB、BC的垂直平分線DE、GF，兩直線的交點M即為所求.類型4線段垂直平分線的判定在判斷兩線位置關系中的應用7.如圖，AD為ABC的角平分線，AE=AF，請判斷線段AD所在的直線

5、是否是線段EF的垂直平分線.如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.解答：線段AD所在的直線是線段EF的垂直平分線.理由如下：AD平分BAC，BAD=CAD.在AED和AFD中，AE=AF，BAD=CAD，AD=AD，AEDAFD，DE=DF，D在EF的垂直平分線上.AE=AF，A在EF的垂直平分線上，線段AD所在的直線是線段EF的垂直平分線.類型7利用線段垂直平分線的性質探究角之間的變化規律8.如圖，在ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AB于N,交BC的延長線于M,A=40.（1）在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交BC的延長線于點M，A=40，求NMB的大小；（

6、2）如果將（1）中的A的度數改為70，其余條件不變，再求NMB的大小；（3）你發現了什么樣的規律？試證明你發現的規律；（4）將（1）中的A改為鈍角，對這個問題的規律性認識是否需要修改？（不需說明理由）解答：（1）AB=AC，ABM=ACB.BAC=40，ABM=ACB，ABM=(180-BAC)=70.MNB=90，ABM=70，NMB=90-ABM=90-70=20.（2）與（1）同理可得B=(180-BAC)=55，NMB=90-55=35.（3）規律：NMB=A.理由如下：AB=AC，ABM=ACB.ABM=(180-A).ABM=(180-A)，BNM=90，BMN=90-ABM=A.

7、（4）如果將A改為鈍角，這個規律性的認識也無需修改，仍有等腰三角形一腰的垂直平分線與底邊相交所形成的銳角等于頂角的一半.類型8利用線段垂直平分線的判定證明線段的垂直平分線9.如圖，四邊形ABCD是一只“風箏”的骨架，其中AB=AD，CB=CD.（1）八年級王建同學觀察了這個“風箏”的骨架后，他認為四邊形ABCD的兩條對角線ACBE，垂足為E，并且BE=ED，你同意王建同學的判斷嗎？請說明理由；（2）設對角線AC=a，BD=b，請用含a，b的式子表示四邊形ABCD的面積.解答：（1）王建同學的判斷是正確的理由：AB=AD，點A在BD的垂直平分線上CB=CD，點C在BD的垂直平分線上AC為BD的垂直平分線，BE=DE，ACBD（2）由（1）得ACBDS四邊形ABCD=SCBD+SABD=BDCE+BDAE=BDAC=ab類型9利用線段垂直平分線的性質和判定探究線段垂直平分線的條件10.如圖,在四邊形ABCD中,已知ADBC，E為CD的中點，連接AE并延長AE交BC的延長線于點F.(1)求證：CF=AD；(2)若AD=2，AB=8，當BC為多少時，點B在線段AF的垂直平分線上?為什么?解答：(1)證明：ADBC，F=DAE.又FEC=AED，ECF=ADE，E為CD中點，CE=DE，在FEC與AED中，FEC=AED，CE