1、課題：7.3兩條直線的位置關系(四)一點到直線的距離公式教學目的：1 .理解點到直線距離公式的推導，熟練掌握點到直線的距離公式；2 .會用點到直線距離公式求解兩平行線距離3 .認識事物之間在一定條件下的轉化，用聯系的觀點看問題 -教學重點：點到直線的距離公式教學難點：點到直線距離公式的理解與應用 .授課類型：新授課-課時安排：1課時教 具：多媒體、實物投影儀內容分析：前面幾節課，我們一起研究學習了兩直線的平行或垂直的充要條件，兩直 線的夾角公式，兩直線的交點問題，逐步熟悉了利用代數方法研究幾何問題的 思想方法.這一節，我們將研究怎樣由點的坐標和直線的方程直接求點P到直線l的距離.在引入本節的研

2、究問題：點到直線的距離公式之后，引導學生分析點到直 線距離的求解思路，一起分析探討解決問題的各種途徑，通過比較選擇其中一 種較好的方案來具體實施，以培養學生研究問題的習慣，分析問題進而解決問 題的能力.在解決兩平行線的距離問題時，注意啟發學生與點到直線的距離產生聯系，從而應用點到直線的距離公式求解 教學過程：一、復習引入：1 .特殊情況下的兩直線平行與垂直.當兩條直線中有一條直線沒有斜率時：當另一條直線的斜率也不存在時，兩直線的傾斜角都為90。，互相平行；(2)當另一條直線的斜率為 。時，一條直線的傾斜角為 90。，另一條直線的傾斜 角為0° ,兩直線互相垂直-2 .斜率存在時兩直線

3、的平行與垂直：兩條直線有斜率且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，則它們平行，即 l1l2= ki=k2且bi #b2已知直線11、l2的方程為11： Ax + B1y+C1=0,ll / 12的充要條件是AiBiCiA2B2兩條直線垂直的情形： 如果兩條直線的斜率分別是 k1和k2 ,則這兩條直線垂直的充要條件是k1k 2= -1.已知直線11和|2的一般式方程為11： Ax + B1y+C1=0,I2 ： A2X+B?y+C2 =0 ,則 li _L 12 y A1A2 +B1B2 = 0.3 .直線li到12的角的定義及公式：直線ll按逆時針方向旋轉到與1

4、2重合時所轉的角，叫做li到12的角.li到3Tl2 的角。：0° V 9 < i 8 0° ,如果 i +kik2 =0,即 kik2 = i,貝U日=.如果2一一 一匕 一 ki + k1k2 # 0, tan 日=i k2kl4 .直線li與l2的夾角定義及公式：l1到l2的角是», l2到L的角是兀-3，當l1與l2相交但不垂直時，3和兀-01僅有一個角是銳角，我們把其中的銳角叫兩條直線的夾角.當直線li，l 23T時，直線l1與l2的夾角是二.夾角豆：0 ° vaw90° .如果2一-一 k 一G 一 k1 +k1k2 =0,即

5、k1k2 = -1,則 a =一.如果 1 十k1k2 # 0, tan« .21+k2kl5 .兩條直線是否相交的判斷兩條直線是否有交點，就要看這兩條直線方程所組成的方程組:Ax + B1y +C1 =0 一1是否有惟一解A2x +B2y +C2 =0、講解新課：1 點到直線距離公式:點P(x。, y。)到直線l : Ax + By + C = 0的距離為：d =|Axo + By。+ CA B2(1)提出問題在平面直角坐標系中， 如果已知某點P的坐標為(x0,y0),直線l的方程是l : Ax + By +C = 0,怎樣用點的坐標和直線的方程直接求點P到直線l的距離呢？(2)解

6、決方案方案一：根據定義，點 P到直線l的距離d是點P到直線l的垂線段的長 設點P到直線l的垂線段為 PQ垂足為Q,由PQ，l可知，直線PQ的斜率為-(Aw0),根據點斜式 A寫出直線PQ的方程，并由l與PQ的方程求出點 Q的 坐標；由此根據兩點距離公式求出I PQI ,得到點 P 到直線l的距離為d.此方法雖思路自然，但運算較繁.下面我們探討別 一種方法-方案二：設 院0, Bw0,這時l與x軸、y軸都相交，過點 P作x軸的平行線，交l于點R(xi，y0)；作y軸的平行線，交l于點S(x0,y2),。°Ax0 +By2 +C =0-By 0 - C- Ax0 - C;, y2 二-所

7、以，| PR | = I x0 x1Ax0By0 +CAI PS| = | y0 -y2 I =Ax0 + By0 + CBI RS| =2_ 2PR PS_a2_b2|abAx0 + By0 + C I由三角形面AB積公式可知：d - | RS| = | PR | | PS| -所以d =Ax0 +By0 +C|, A2 B2可證明，當 A= 0或8=。時，以上公式仍適用2.兩平行線間的距離公式已知兩條平行線直線11和12的一般式方程為11 ： Ax + By + C1 = 0 ,C1 C212: Ax +By+C2 =0,則 11 與 12的距離為 d = 1.A2 B2證明：設P0(Xo

8、，yo)是直線Ax + By+C2 =0上任一點，則點 R到直線|AXo +By° +C1Ax + By +C1 = 0的距離為d = J-f-a A2 B2又 Ax0 By。 C2 =0C1 -C2即 Ax0 +By0 - -C2 , d= ,1 22,A2 B2三、講解范例：例1求點F0(-1,2)到下列直線的距離.(1) 2x + y -10 =0; (2) 3x = 2 -. 22M(1) + 210l解：(1)根據點到直線的距離公式得d=( ) 人=2年221225(2)因為直線3x=2平行于y軸，所以d =|2(-1)|=2 - 33評述：此例題(1)直接應用了點到直線的

9、距離公式，要求學生熟練掌握；(2)體現了求點到直線距離的靈活性，并沒局限于公式例 2 求兩平行線 11 ： 2x+3y8 = 0, 12： 2x+3y 10=0 的距離.解法一：在直線11上取一點R4, 0),因為11 / 12,所以點P到12的距離等于11與12的距離. 于是2 4-3 0 10. 22 32解法二：11 / 12又 C1 = -8,C2 = -10.由兩平行線間的距離公式得-8-(-10)2 3,223213四、課堂練習：課本P53練習1 .求原點到下列直線的距離：(1)3 x + 2 y 26=0; (2) x= y解：(1) d =-261c 777；八、,=2J13.

10、(2) ,一原點在直線 y = x上，d= 0,322 22 .求下列點到直線的距離:(1)A( 2, 3), 3x + 4 y + 3= 0; (2)B (1, 0), J3x+ y J3 = 0；3 3) C (1, 2), 4 x + 3y = 0.解:3M(-2)+4父3+39J3-V3=Q,；=；(2) d 二 ,32425( 3)2 14 13 (-2)2423254 .求下列兩條平行線的距離：(1)2 x + 3y-8 = 0, 2x + 3y+18=0,(2)3 x + 4 y = 10, 3x + 4 y = 0.解：(1)在直線2x + 3y-8 = 0上取一點P( 4 ,

11、 0),則點P到直線2 x +_ 口-2M 4+18 r-3 y + 1 8的距離就是兩平行線的距離，d= 一=203 -.2232(2)在直線3x + 4 y=0上取一點 O (0, 0),則點O到直線3x + 4 y =一 1010的距離就是兩平行線的距離，d =2-3242五、小結：點到直線距離公式的推導過程，點到直線的距離公式，能把求兩平行線的距離轉化為點到直線的距離公式-六、課后作業：課本P53習題7.313.求點R5, 7)到直線12x+5y 3=0的距離.解:12 父(-5) +57-328,122521314.已知點值：(1) d=4,A( a , 6)到直線3 x 4 y = 2的距離d取下列各值，求 a的(2) d>4 -解：3a -4x6-2,32 (乂)246=4 ,斛得a = 2或a =33a 4 6-2(3) d =,32(-4)246> 4 ,解得a v 2或a >3(15) 知兩條平行線直線li和12的一般式方程為li ： Ax + By + Ci = 0 ,l2： Ax+By+C2 =0,則 l1 與 12的距離為 =Ci - C2證明：設P0(x0,y0)是直線Ax+ By+C2 =0上任一點，則點 R到直線Ax + By +Ci =0的距離為d =Ax。 By。Ci又 Ax0 B