1、2014年普通高等學校招生全國統一考試理科數學第卷一選擇題：共12 小題，每小題5 分，共 60 分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的一項。1.已知集合A x x2 2x 3 0 , B x 2 x 2 ，則 A B （）A2, 1 B1,2C1,1D1,2231+i2(1-iA 1 iB1 iC1 iD1 i3設函數f x , g x 的定義域都為R，且f x 是奇函數，g x 是偶函數，則下列結論中正確的是（）Af x g x 是偶函數Cf x g x 是奇函數Bf x g x 是奇函數D f x g x 是奇函數224 已知 F 為雙曲線C : x2 my2 3m m

2、 0 的一個焦點，則點 F 到 C 的一條漸近線的距離為（）A3B 3C3mD 3m5 4 位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為（）ABCD6如圖，圓O 的半徑為1， A 是圓上的定點，P 是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P 作直線OA 的垂線，垂足為M，將點 M 到直線 OP 的距離表示為x 的 函數 f x ，則 y f x 在 0, 的圖像大致為（O MA7執行右面的程序框圖，若輸入的a,b,k 分別為1， 2， 3，則輸出的M （）A 20B 7C3216515D81 sin8設0,0, 且 tan,則（）2

3、2cosA 3B 3C 2D 2x y 1,9 .不等式組的解集記為D,有下面四個命題x 2y 4p1 :x,y D,x 2y 2, p2: x, y D,x 2y 2,p3 :x, y D,x 2y 3, p4 : x, y D, x 2y 1, 其中的真命題是（）Ap2 , p3B p1, p2Cp1, p4Dp1, p3210 .已知拋物線C : y2 8x的焦點為F ,準線為 l , P 是 l 上一點 ,Q是直線 PF 與 C 的一個交點 ,若 FP 4FQ,則 QF （）7 A2B 35 C2D 211 已知函數f x ax3 3x2 1 ，若f x 存在唯一的零點x0 ，且x00

4、 ，則 a 的取值范圍是（A2,B1,C, 2D, 112.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的個條棱中，最長的棱的長度為（A.6 2B .6C. 4 2D .4本卷包括必考題和選考題兩個部分。第（第卷13）題-第（21 ）題為必考題，每個考生都必須作答。第（22）題-第（ 24）題為選考題，考生根據要求作答。二填空題：本大題共四小題，每小題5分。.（用數字填寫答案）13. （x y）（x y） 8的展開式中x2 y7的系數為14. 甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A， B， C 三個城市時，B 城市；乙說：我沒去過C 城市； 丙說：我們三人去過同一個

5、城市15. 已知A， B， C 是圓 O 上的三點，若 AO 1 （AB AC） ， 則 AB 與 AC 的夾角為16. 已知a,b,c分別為 ABC 的三個內角A, B,C 的對邊，a=2，且(2 b)(sin A sin B) (c b)sin C ，則 ABC 面積的最大值.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17. （本小題滿分12 分 ）已知數列 an 的前 n 項和為Sn ， a1=1 ， an0，其中 為常數 .( )證明：an 2an ；，使得 an 為等差數列？并說明理由18. （本小題滿分12分 ）從某企業的某種產品中抽取500件， 測量這些產品的一項質量指標值

6、，( )求這500 件產品質量指標值的樣本平均數x和樣本方差s2(同一組數據用該區間的中點值作代表)；()由頻率分布直方圖可以認為，這種產品的質量指標值Z 服從正態分布N( , 2 ) ，其中 近似為樣本平均數x，2 近似為樣本方差s2 .(i)利用該正態分布，求P(187.8 Z 212.2) ；( 11) 某用戶從該企業購買了100 件這種產品，記 X 表示這 100 件產品中質量指標值位于區間( 187.8,212.2)的產品件數，利用(i)的結果，求EX .附： 150 12.2.若 Z N( , 2) ，則 P( Z )=0.6826， P( 2 Z 2 ) =0.9544.19.

7、(本小題滿分12 分 )如圖三棱柱ABC A1B1C1中，側面BB1C1C 為菱形，AB B1C .( ) 證明： AC AB1；()若AC AB1 ，CBB1 60o， AB=BC ，求二面角A A1B1 C1 的余弦值.22xy20. (本小題滿分12 分 ) 已知點A( 0， -2) ， 橢圓 E ：221(a b 0) 的離心率為abF 是橢圓 E 的右焦點，直線23AF 的斜率為，3O 為坐標原點( )求 E 的方程；A 的直線 l 與 E 相交于 P, Q 兩點，當OPQ 的面積最大時，求l 的方程 .bx121. (本小題滿分12 分 )設函數f (x)aexln x be ，曲

8、線 y f (x)在點(1，f (1)處x的切線為y e(x 1) 2 .( )求 a,b；f(x) 1 .請考生從第（22） 、 （ 23） 、 （ 24）三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B 鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。22. （本小題滿分10分）選修4 1：幾何證明選講如圖，四邊形ABCD 是 O 的內接四邊形，AB 的延長線與DC 的延長線交于點E，且 CB=CE.（ ）證明：D= E；（） 設 AD 不是 O 的直徑， AD 的中點為M ， 且 MB=MC ， 證明： ADE 為等邊三角形.23. （本小題滿分10

9、 分）選修4 4：坐標系與參數方程x2y2x 2 t已知曲線C ： x y 1 ，直線 l ：（ t 為參數）.49y 2 2t（ ）寫出曲線C 的參數方程，直線l 的普通方程；（） 過曲線 C 上任一點P 作與 l 夾角為30o的直線，交 l 于點A， 求 | PA |的最大值與最小值.24. （本小題滿分10 分）選修4 5：不等式選講若 a 0,b 0 ，且ab .ab33（ ） 求 a b 的最小值；a, b ，使得 2a 3b 6 ？并說明理由2014年普通高等學校招生全國統一考試理科數學答案解析12 小題，每小題5分，共 60 分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

10、的一項。1.已知集合A x x2 2x 3 0 , B x 2 x 2 ，則 A B （）A2, 1 B1,2C1,1D1,2解析： A x x2 2x 3 0 x x 3 x 10 x x 1或 x 3 ，又 B x 2 x 2 ， A B 2, 1 ，故選 A231+i21-iA 1 iB1 i321+i1+i1+i解析：221-i1-iC1 iD1 i2i 1+i1 i ，故選 D2i3設函數f x ,g x 的定義域都為R，且f x 是奇函數，g x 是偶函數，則下列結論中正確的是（）A f x g x 是偶函數B f x g x 是奇函數Cf x g x 是奇函數D f x g x

11、是奇函數解析： f x 是奇函數，g x 是偶函數，則f x g x 是奇函數，排除Af x 是奇函數，f x 是偶函數，g x 是偶函數，則f x g x 是偶函數，排除Bf x 是奇函數，g x 是偶函數，則f x g x 是奇函數，C 正確f x 是奇函數，g x 是偶函數，f x g x 是奇函數，則f x g x 是偶函數，排除D ，故選C224 已知 F 為雙曲線C : x2 my2 3m m 0 的一個焦點，則點 F 到 C 的一條漸近線的距離為（）A3B 3C3mD 3m解析：雙曲線的焦點到漸近線的距離為虛半軸長b，故距離3 ，選5 4 位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加

12、公益活動，則周六、周日都有同學參加公益活動的概率為（1 A83B85C87 D8解析：周六沒有同學的方法數為1，周日沒有同學的方法數為1，所以周六、周日都有同學242 7參加公益活動的概率為P 2 4 27 ，故選 D2486如圖，圓O 的半徑為1， A 是圓上的定點，P 是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P 作直線 OA 的垂線，垂足為M，將點 M 到直線 OP 的距離表示為x 的函數 f x ，則 y f x 在 0, 的圖像大致為（）sin x , OM解析：由已知OP 1, PMcosx12f x OPOM MPf x sin x cosx1sin 2x ，故選

13、C27執行右面的程序框圖，若輸入的a,b,k 分別為1， 2，3，則輸出的M（）A2037B2C16515 D833解析：當n2 時，M , a 2,b；2283815當 n 3時， M , a ,b ；當 n4時，M , a323815此時運算終止，M ，故選 D81 sin8設0,0, 且 tan 1 sin,則（22cosA 3B 3C 2815,b38D 2解析 : 由 tan1 sincossin得cos1 sincossin coscos cos sin即 sincos , 所 以 sinsin, 由 已 知 0, 2,0,2所 以,0, y sin x 在22222,2上 單 調

14、 遞 增 ,所 以,2,故選C22x y 1,9 .不等式組的解集記為D,有下面四個命題x 2y 4p1 :x,y D,x 2y 2, p2: x, y D,x 2y 2,p3 :x,y D,x 2y 3, p4 : x, y D, x 2y 1,其中的真命題是（Ap2 , p3B p1, p2Cp1, p4Dp1, p3解析: 令 x 2y m x y n x 2y m n x m 2n y ,所以mn1m 2n 24m341,解得,所以x 2y x y x 2y 0 ,因而可以判斷p1, p2133n3為真 ,故選 B10 .已知拋物線C : y2 8x的焦點為F ,準線為 l , P 是

15、 l 上一點 ,Q是直線 PF 與 C 的一個交點 ,若 FP 4FQ,則 QF （）7 A2B 35 C2D 2解 析 : 由 已 知xP2 x, F2又4 4 xQ 2 , xQ 1,過 Q 作 QD 垂直于 l，垂足為所以 QF QD 3 ，故選BFP 4FQ3211已知函數f x ax 3x 1 ，若 f x 存在唯一的零點x0，且x0 0，則 a的取值范圍是（）A2,B1,C, 2D, 1解析：當a 0 時， f x 3x2 1有兩個零點，不滿足條件222當 a 0時，f ' x3ax2 6x 3ax x ，令 f ' x 0 3ax x 0，aa232解 得 x 0

16、或 x ， 當 a 0 時 ， f x ax 3x 1 在 a2224, 和 0, 遞增，,0 遞減 ， f =2 1 為極小值，f 0 =1 為極大值，aaaa24若 f x 存在唯一的零點x0 ，且x0 0 ，只需 f =2 1 0,即為 a2，當a 0aa時， f xax3 3x2 1 在 ,0 和 2 , 遞增， 0,2 遞減 ， f 0 =1為極大值，24f 2 =42 1 為極小值，不可能有滿足條件的極值，故選Caa12 .如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為()A.6 2 B.6 C. 4 2 D .4解析：幾何

17、體為如圖所示的一個三棱錐P ABC ，底面 ABC 為等 P腰三角形，AB BC,A C 4, 頂點B到 AC的距離為4，面PAC 面 ABC ，且三角形PAC 為以 A為直角的等腰直角三角形，所以棱 PB 最長，長度為6，故選BC第卷本卷包括必考題和選考題兩個部分。第(13)題-第( 21 )題為必考題，每個考生都必須作答。第(22)題-第(24)題為選考題，考生根據要求作答。二填空題：本大題共四小題，每小題5分。13 . (x y)(x y) 8的展開式中x2 y7的系數為.(用數字填寫答案)解析： (x y)(x y)8 x(x y)8 y(x y)8，故展開式中x2y2的系數為C81

18、C82 8 282014 .甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A， B， C 三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B 城市；乙說：我沒去過C 城市；丙說：我們三人去過同一個城市.由此可判斷乙去過的城市為.解析：乙沒去過C 城市，甲沒去過B 城市，但去過的城市比乙多，所以甲去過A， C，三人都去過同一個城市，一定是A，所以填A115 .已知A， B， C 是圓 O 上的三點，若 AO (AB AC) ， 則 AB 與 AC 的夾角為2解析： AO 1 (AB AC) ，如圖所示，O 為 BC 中點，即BC 為圓 O 的直徑，所以AB 與 AC 的夾角為216 .已知 a,b,c分別為 A

19、BC 的三個內角A, B,C 的對邊，a=2，且 (2 b)(sin A sin B) (c b)sin C ， 則 ABC 面積的最大值為.解析：222 bca1cosA2bc2(2 b)(sin A sin B) (c b)sin C (2 b)(a b) (c b)c 2a b2 c2 bc ，因為 a =2，所以2a b2 c2 bcb2 c2 a2 bcABC 面積 S 1 bcsin A 3 bc，而 2422b c bc 4 bc 4222222b c a bc b c bc aS 1 bcsin A 3 bc 324三 .解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17 .

20、(本小題滿分12 分)已知數列an 的前n 項和為Sn ，a1=1 ，an0，anan1Sn1 ， 其中 為常數 .( )證明：an 2an；（）是否存在，使得 an 為等差數列？并說明理由.anan 1Sn 1, 解析 : （ ）證明：當n 2時， n n 1 n，-得an 1anSn 1 1 an an 1an1anSnSn1anan 1an1an ,an 0 an 1an1,，即an 2an（）存在，證明如下：假設存在，使得 an為等差數列，則有2a2 a1+a3，而a1=1，a21,a3 1 ，所以 2124，此時 an 為首項是1，公差為4 的等差數列18 . （本小題滿分12分 ）

21、從某企業的某種產品中抽取500件， 測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖：2（ ）求這500 件產品質量指標值的樣本平均數x和樣本方差s2 （同一組數據用該區間的中點值作代表）；（）由頻率分布直方圖可以認為，這種產品的質量指標值Z 服從正態分布N（ , 2） ，其中 近似為樣本平均數x，2 近似為樣本方差s2 .（i）利用該正態分布，求P（187.8 Z 212.2） ；（ ii） 某用戶從該企業購買了100 件這種產品，記 X 表示這 100 件產品中質量指標值位于區間（ 187.8,212.2）的產品件數，利用（i）的結果，求EX .附： 150 12.2.若 Z

22、N( , 2) ，則 P( Z )=0.6826， P( 2 Z 2 ) =0.9544.解析 :( )x 0.02 170 0.09 180 0.22 190 0.33 200 0.24 210 0.08 220 0.02 230 2002222s2 0.02 170 2000.09 180 2000.22 190 20022220.33 200 2000.24 210 2000.08 220 2000.02 230 200150()(i)由 ( )知 ,2 =s2 =150,所以150 12.2,P(187.8 Z 212.2) P(200 12.2 Z 200 12.2) 0.6826B

23、 100,0.6826 ,所以EX 100 0.6826 68.2619. (本小題滿分12 分 )如圖三棱柱ABC A1B1C1中，側面( ) 證明：AC AB1；()若 AC AB1，CBB1 60o， AB=BC ， 求二面角A A1 B1 C1 的余弦值.BB1C1C 為菱形，AB B1C .( ii) 100件產品中質量指標值為于區間(187.8,212.2)的產品件數X 服從二項分布解析: ( ) 證明：側面BB1C1C 為菱形,令 BC1 B1C OAB BC1 B B1C 面 ABC1 AO 面 ABC1 AO B1CO 為 B1C 中點,所以三角形ACB1為等腰三角形,所以A

24、C AB1BC1B1C又 ABB1C ,又AA1()AC AB1 ，CBB1 60o， AB=BC ，令AC 1 B1C2 BC AB 2 ,又由已知可求C OC1BB1AO 2 , BO 6 , AO2 22AO B1C,B1C BO O如圖所示建立空間直角坐標系3A 0,0,B 1,0,0 ,B1 03BO2 AB2 AO BO,AAO 面 BB1C1CCC1O xyzx BOB1y33,0 ,C 0,0,3333AB10, A1B1 AB 1,0,AB3, B1C1BC 1,33,0設 n x, y, z 為平面AA1B1 的一個法向量,則n AB1 0, 1即n A1B103y 3z

25、0,33x 3z 03, 所以可取n 1, 3, 3m B1C1 0,設 m a,b,c 為平面A1B1C1的一個法向量,則同理可取m 1,3, 3m A1B10則 cos n,m11,所以二面角A A1B1 C1 的余弦值為20. (本小題滿分12 分 )x2y23A( 0， -2) ， 橢圓 E ：221(a b 0) 的離心率為，ab2F 是橢圓 E 的右焦點，直線AF 的斜率為2 3 ， O 為坐標原點.3( )求 E 的方程；A 的直線 l 與 E 相交于 P, Q 兩點，當OPQ 的面積最大時，求l 的方程 .解析 : ( )由已知得a2 23a22解得橢圓E的方程：x y2 1c

26、34c3l 垂直于 x 軸時， OPQ 不存在2令直線 l 的方程為y kx 2與 xy2 1 聯立消去y有： 4k2 1 x2 16kx 12 04216k4 4k2 1 1222364k2 48 0 k24x216k 4k2 1, 12x1令 P x1, y1 , Q x2 , y2x1 x221 2 4k2 1PQ 1 k2x1x224x1x21k24k162k124k4281整理得 PQ 4 1 k2 4k2 3 ，令點 O 到直線 l 的距離為d,則 d 24k2 1k2 11所以 OPQ 的面積 S k 1 PQ d4 4k2 34k2 14k2 3 t t 04 4k2 3S k

27、 4k2 14tt2 44t4 t71 當且僅當t2,即k 7 時取到2此時直線l 的方程為y 7x 2或 y27x 2221. (本小題滿分12 分 )設函數 f (x) aex ln xx1 bexy f (x)在點( 1， f (1)處的切線為y e(x 1) 2 . ( )求 a, b ；()證明：f (x) 1 .x 1bex 1 x 1 x 11 b x 1解析：( ) f '(x) ae ln x2 e ae ln x2x xxx因為曲線y f (x)在點( 1，f(1)處的切線為y e(x 1) 2，所以f(1)2a1f(1)2 ,代入有a1f '(1)eb22

28、ex 1( )知 f (x) e ln x ，欲證 f (x) 1 ，只需證x2ex 1 xee ln xx211 ，即證 ln x x ，即證 x ln xex e2x令 g x xln2x1xx , h x x , g' x 1 ln x, h' x x eee1g' x 1 ln x 0, 解得 x , h' x e1x0, 解得 x 1110 x , g' x 0,x ,g ' x 0, g x min10 x 1,h' x 0,x 1,h' x 0, g x maxe2x所以 x ln x x 成立，所以f （x） 1ee請考生從第（22） 、 （ 23） 、 （ 24）三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B 鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。22.（本小題