1、7.3一元二次不等式及其解法第七章不等式、推理與證明NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)題型分類 深度剖析課時(shí)作業(yè)1基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)PART ONE1.一元二次不等式的解集知識(shí)梳理ZHISHISHULIZHISHISHULI判別式b24ac000)的圖象方程ax2bxc0 (a0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x10 (a0)的解集 _x|xRax2bxc0)的解集_x|xx2x|x1 x0或(xa)(xb)0型不等式的解法不等式解集ab(xa)(xb)0_(xa)(xb)0_口訣：大于取兩邊，小于取中間.x|xbx|xax|xax|axbx|bx0(a0)的解集與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)

2、yax2bxc的圖象有什么關(guān)系？提示ax2bxc0(a0)的解集就是其對(duì)應(yīng)函數(shù)yax2bxc的圖象在x軸上方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.【概念方法微思考】2.一元二次不等式ax2bxc0(0)恒成立的條件是什么？題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，則方程ax2bxc0的兩個(gè)根是x1和x2.()(3)若方程ax2bxc0(a0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2bxc0的解集為R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的條件是a0且b24ac0.()(5)若二次函數(shù)yax2bxc的

3、圖象開口向下，則不等式ax2bxc0，則RA等于A.x|2x3B.x|2x3C.x|x3D.x|x2x|x3123456123456解析x2x60，(x2)(x3)0，x3或x3或x0，3x22x20的解集為123456題組三易錯(cuò)自糾4.不等式x23x40的解集為_.(用區(qū)間表示)解析由x23x40可知，(x4)(x1)0，得4x1.(4,1)123456ab14.146.不等式(a2)x22(a2)x40，對(duì)一切xR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(，2 B.(2,2C.(2,2) D.(，2)另a2時(shí)，原式化為40，不等式恒成立，2a2.故選B.1234562題型分類深度剖析PART TW

4、O題型一一元二次不等式的求解命題點(diǎn)1不含參的不等式例1(2019呼和浩特模擬)已知集合Ax|x2x20，By|y2x，則AB等于A.(1,2) B.(2,1) C.(0,1) D.(0,2)解析由題意得Ax|x2x20 x|1x0， ABx|0 x2(0,2).故選D.多維探究多維探究命題點(diǎn)2含參不等式解原不等式變?yōu)?ax1)(x1)0，例2解關(guān)于x的不等式ax2(a1)x10).當(dāng)a1時(shí)，解集為 ；當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為 ；對(duì)含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論：根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.根據(jù)判別式判斷根的個(gè)數(shù).有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.思維升華跟蹤訓(xùn)練1解不等式

5、12x2axa2(aR).解原不等式可化為12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為(，0)(0，)；題型二一元二次不等式恒成立問(wèn)題例3已知函數(shù)f(x)mx2mx1.若對(duì)于xR，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.多維探究多維探究解當(dāng)m0時(shí)，f(x)10恒成立.命題點(diǎn)1在R上的恒成立問(wèn)題綜上，4m0，故m的取值范圍是(4,0.命題點(diǎn)2在給定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題例4已知函數(shù)f(x)mx2mx1.若對(duì)于x1,3，f(x)5m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解要使f(x)0時(shí)，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)，即7m60，當(dāng)m0

6、時(shí)，60恒成立；當(dāng)m0時(shí)，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0.1.若將“f(x)5m恒成立”改為“f(x)5m無(wú)解”，如何求m的取值范圍？解若f(x)5m無(wú)解，即f(x)5m恒成立，得m6，即m的取值范圍為6，).引申探究2.若將“f(x)5m恒成立”改為“存在x，使f(x)5m成立”，如何求m的取值范圍？解由題意知f(x)5m有解，又x1,3，得m6，即m的取值范圍為(，6).命題點(diǎn)3給定參數(shù)范圍的恒成立問(wèn)題解設(shè)g(m)mx2mx1(x2x)m1，其圖象是直線，當(dāng)m1,2時(shí)，圖象為一條線段，例5若mx2mx10對(duì)于m1,2恒成立，求實(shí)數(shù)x的取

7、值范圍.解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是主元，誰(shuí)是參數(shù)，一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).思維升華跟蹤訓(xùn)練2函數(shù)f(x)x2ax3.(1)當(dāng)xR時(shí)，f(x)a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；解當(dāng)xR時(shí)，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，實(shí)數(shù)a的取值范圍是6,2.(2)當(dāng)x2,2時(shí)，f(x)a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；解當(dāng)x2,2時(shí)，設(shè)g(x)x2ax3a0，分如下三種情況討論(如圖所示)：如圖，當(dāng)g(x)的圖象與x軸不超過(guò)1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有a24(3a)0，即6a2.如圖，g(x)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，但當(dāng)x2，)時(shí)，g(x)0，如圖，g(x)的圖象與

8、x軸有2個(gè)交點(diǎn)，但當(dāng)x(，2時(shí)，g(x)0.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是7,2.(3)當(dāng)a4,6時(shí)，f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解令h(a)xax23.當(dāng)a4,6時(shí)，h(a)0恒成立.3課時(shí)作業(yè)PART THREE一、選擇題1.已知集合Ax|x0，Bx|(x1)(x5)0，則AB等于A.1,4) B.0,5)C.1,4 D.4，1) 4,5)12345678910111213141516解析由題意得Bx|1x5，故ABx|x0 x|1x0的解集為x|1x0的解集為解析不等式ax2bx20的解集為x|1x2，ax2bx20的兩根為1,2，且a0，1234567891011121314151

9、6A.(3,0) B.3,0C.3,0) D.(3,012345678910111213141516解得3k0.4.若存在實(shí)數(shù)x2,4，使x22x5mx22x5，設(shè)f(x)x22x5(x1)24，x2,4，當(dāng)x2時(shí)f(x)min5，x2,4使x22x5mf(x)min，m5.故選B.123456789101112131415165.若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，則a的取值范圍是A.4,1 B.4,3C.1,3 D.1,312345678910111213141516解析原不等式為(xa)(x1)0，當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為a,1，此時(shí)只要a4即可，即4a1時(shí)，不等式的解集為1

10、，a，此時(shí)只要a3即可，即10在區(qū)間1,5上有解，則a的取值范圍是12345678910111213141516解析由a280知方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根，又因?yàn)閤1x220，所以方程必有一正根，一負(fù)根，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象的示意圖如圖.7.在關(guān)于x的不等式x2(a1)xa0的解集中至多包含1個(gè)整數(shù)，則a的取值范圍是A.(3,5) B.(2,4)C.1,3 D.2,412345678910111213141516解析因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2(a1)xa0可化為(x1)(xa)1時(shí)，不等式的解集為x|1xa，當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為x|ax1，當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為 ，要使得解集中至多包含1個(gè)整數(shù)，則a1

11、或1a1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a1,3，故選C.8.設(shè)a0，(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，則ba的最大值為12345678910111213141516解析當(dāng)ab0時(shí)，x(a，b)，2xb0，所以(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，可轉(zhuǎn)化為x(a，b)，a4x2，12345678910111213141516當(dāng)a0b時(shí)，(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，當(dāng)x0時(shí)，(4x2a)(2xb)ab0，不符合題意；當(dāng)a0b時(shí)，由題意知x(a,0)，(4x2a)2x0恒成立，二、填空題9.(2018全國(guó)名校大聯(lián)考)不等式x22ax3a20)的解集為_.x|ax3a解

12、析x22ax3a20(x3a)(xa)0，a3a，不等式的解集為x|ax0時(shí)，原不等式等價(jià)于x21，解得x1；當(dāng)x0時(shí)，原不等式等價(jià)于x20的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.(4,0)12345678910111213141516解析因?yàn)閤2axa0的解集為R，所以(a)24(a)0，解得4a0，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(4,0).(1,0解得10，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.12345678910111213141516(1,5解析設(shè)f(x)x22(a2)xa，當(dāng)4(a2)24a0時(shí)，即1a0 對(duì)xR恒成立；當(dāng)a1時(shí)，f(1)0，不合題意；當(dāng)a4時(shí)，f(2)0 符合題意；12345678910111213141516綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,5.即40；解f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a3b的解集為(1,3)，求實(shí)數(shù)a，b的值