1、2013年全國初中數學競賽試題班級姓名成績供稿人：李錦揚一、選擇題共5小題,每題7分,共35分.每道小題均給出了代號為A,B,C,D的四個選項,其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里,不填、多填或錯填都得0分1.設非零實數a,b,c滿足a2b3c0那么"bC聚的值為().2a3b4c0,a2b2c2(A)2(B)0(C)1(D)12.a,b,c是實常數,關于x的一元二次方程ax2bxc0有兩個非零實根Xi,X2,那么以下關于X的一元二次方程中,以口,4X1x2為兩個實根的是().22222222(A) cx(b2ac)xa0(B)cx(b2ac)xa0(C)

2、 c2x2(b22ac)xa20(D)c2x2(b22ac)xa203.如圖,在RtABC中,O是斜邊AB的中點,CDLAB垂足為D,DHOC垂足為E.假設ADDBCD的長度都是有理數,第3題第4題那么線段ODOEDEAC的長度中,不一定是有理數的為.AODBOE(C)DE(D) AC4.如圖,ABC的面積為24,點D在線段AC上,點F在線段BC的延長線上,且BC4CF,DCFE是平行四邊形,那么圖中陰影局部的面積為.A3B4(C)6(D)85.對于任意實數x,y,z,定義運算“*為:33-2233xy3xyxy45xy33,x1y160且xyzxyz,那么20212021L32的值為().(

3、A)607967、填空題(B)1821967967(D)163899676 .設a®b是a2的小數局部,那么b23的值為.7 .如圖,點D,E分別是ABC勺邊ACAB上的松日百點,直線BgCE交于點F,ACDFABFEABCF弟7屜的面積分別是3,4,5,那么四邊形AEFD勺面積是.8 .正整數a,b,c滿足ab22c20,3a28bc0,那么abc的最大值為.9 .實數a,b,c,d滿足：一元二次方程x2cxd0的兩根為a,b,一元二次方程x2axb0的兩根為c,d,那么所有滿足條件的數組a,bcd為.10 .小明某天在文具店做志愿者賣筆,鉛筆每支售4元,圓珠筆每支售7元.開始時他

4、有鉛筆和圓珠筆共350支,當天雖然筆沒有全部賣完,但是他的銷售收入恰好是2021元.那么他至少賣出了支圓珠筆.三、解做題11 .如圖,拋物線yax2bx3,頂點為E,該拋物線與x軸交于A, B兩點,與y軸交于點C,且OB=OC=3OA直線1 一"一一第11題y-x1與y軸父于點D.3求/DBC/CBE12 .設ABC的外心,垂心分別為O,H,假設B, C,H,O共圓,對于所有的ABC,求BAC所有可能的度數.13 .設a,b,c是素數,記xbca,ycab,zabc,當z2y,五百2時,a,b,c能否構成三角形的三邊長？證實你的結論.14 .如果將正整數M放在正整數m左側,所得到的新

5、數可被7整除,那么稱M為m的“魔術數例如,把86放在415的左側,得到的數86415能被7整除,所以稱86為415的魔術數.求正整數n的最小值,使得存在互不相同的正整數a1,a2,an,滿足對任意一個正整數m在即a",品中都至少有一個為m的魔術數.2021全國數學聯賽試題參考答案一、選擇題i.設非零實數a,b,c滿足a,3c0；那么abbcca的值為().2a3b4c0,a2b2c2(A)1(B)0(C)1(D)122【答案】A【解答】由得abc(2a3b4c)(a2b3c)0,故21.2.22abbcca1(abc)0.于是abbcca-(abc),所以-22一.2a2b2c222

6、.a,b,c是實常數,關于x的一元二次方程ax2bxc0有兩個非零實根X1,X2,那么以下關于X的一元二次方程中,以口,3X1x2為兩個實根的是().(A)c2x2(b22ac)xa20(B)c2x2(b22ac)xa20(C)c2x2(b22ac)xa20(D)c2x2(b22ac)xa20那么a0.因c0,且【解答】由于ax2bxc0是關于x的一兀二次方程,為工2xxx2,xx2c,且xx20,所以aa1(%x2)22x1x2b22ac11a22222)22)x24x2cx1x2c于是根據方程根與系數的關系,以為兩個實根的一元二次方程是x2b22acx0即c2x2(b22ac)xa20.c

7、c3.如圖,在RtAABC,O是斜邊AB的中點,CD!AB,垂足為D,DaOC垂足為E.假設ADDBCD的長度都是有理數,那么線段ODOEDEAC的長度中,不一定是有理數的為().(A)OD(B)OE(C)DE(D)AC(第3題)【解答】因AD所以,.與.氏OC=DBCD的長度都是有理數,ADBD是有理數.于是,od2第3題做題=OA-AD是有理數.由RSDOEs2RtACOD,知oeOD-,OC,de變坨都是有理數,而AC=/ad-ab不一定是OC有理數.4.如圖,ABC的面積為24,點D在線段AC上,點F在線段BC的延長線上,且面積為.A3BC4CF,DCFE是平行四邊形,那么圖中陰影局部

8、的(B)4第4題C6【答案】【解答】且EF/DC(D)8C由于DCF里平行四邊形,所以DE/CF連接CE由于DE/CF,即DE/BF,所以$defSadec因此原來陰影局部的面積等于ACE勺面積.連接AF,由于EF/CD即EFF/AC所以Saace=Saacf.由于BC4CF,所以SaabC=4Sxacf.故陰影局部的面積為6.5.對于任意實數x,y,z,定義運算“*為：第4題做題(A)zx60732233xy3xyxy453x1y1那么202120211821(B)967602的值為().5463(C)967(D)16389967C設20212021L20212021L443mm,那么333

9、m29m2745于是20212021L323m23933m164602391032293609,32455463967、填空題6.設a語,b是a2的小數局部,那么(b2)3的值為.【答案】【解答(b2)3(39)37.如圖,91由于1a2a23,故ba22&2,因此9.點D,E分別是ABC勺邊AGAB上的點,直線BgCE交于點F,CDFABFEABCF的面積分別是3,4,5,那么四邊形AEFD勺面積是.答案理(第7題)13【解答】如圖,連接AF,那么有:SAEF4SAEFSBFEBFSAFDSAFD3SAEF解得SAEF警13SafdfdSAFDSCDFCFSAEFFEc96SAFD1

10、3sBCFSGDFSBCFSBEF53'54,(第7題做題)所以,四邊形AEFD勺面積是8.正整數a,b,c3a28bc0,那么abc的最大值為.204*13滿足ab2【答案】2021【解答】由ab22c2b假設假設假設26a21,那么2,那么3,那么66.由a為正整數及8b6a2c0消去C,并整理得a<66,可得1wa03.282828(ii)假設b5,那么59,無正整數解；40,無正整數解；9,于是可解得b11,c61,從而可得abc3c13,從而可得abc3b1155.612021；13195.綜上知abc的最大值為2021.9.實數a,b,c,d滿足：一元二次方程x2cx

11、d0的兩根為a,b,一元二次方程x2axb0的兩根為c,d,那么所有滿足條件的數組(a,bcd)為.【答案】(12,1,2),(t,0t,0)(t為任意實數)abc,【解答】由韋達定理得abdcda,cdb.由上式,可知bacd.假設bd0,那么ad1,cPl,進而bdac2.bd假設bd0,那么ca,有(a,bcd)(t,0t,0)(t為任意實數).經檢驗,數組(1,2,1,2)與(t,0t,0)(t為任意實數)滿足條件.10 .小明某天在文具店做志愿者賣筆,鉛筆每支售4元,圓珠筆每支售7元.開始時他有鉛筆和圓珠筆共350支,當天雖然筆沒有全部賣完,但是他的銷售收入恰好是2021元.那么他至

12、少賣出了支圓珠筆.【答案】207【解答】設x,y分別表示已經賣出的鉛筆和圓珠筆的支數,那么4x7y2021,xy350,所以x-(5032y)口,44于是上是整數.又20214(xy)3y43503y,4所以y204,故y的最小值為207,此時x141.三、解做題11 .如圖,拋物線yax2bx3,頂點為E,該拋物線與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,且O氏OO30A直線1 _(第11題)y-x1與y軸交于點D.3求/DBC/CBE【解答】將x0分別代入y1x1,yax2bx33知,D(0,1),q0,3),所以B(3,0),A(1,0).直線y1x1過點B.3將點C(0,3)的坐標代入ya

13、(x1)(x3),得a1.(第11題做題)5分拋物線yx22x3的頂點為E(1,4).于是由勾股定理得BC=3",CP灰,BE=26.由于BC+CE=B&所以,BCE為直角三角形,bce90.10分因止匕tancbe=ce=1,又tan/DBOOD-,貝fj/DBG=cbe.CB3OB3'15分所以,DBCCBEDBCDBOOBC45.20分12.設ABC的外心,垂心分別為O,H,假設B,C,H,O共圓,對于所有的ABC,求BAC所有可能的度數.【解答】分三種情況討論.i假設ABC為銳角三角形.由于BHC180ABOC2A,所以由BHCBOC,可得180A2A,于是A

14、60.5分第12題做題ii第12題做題iii假設ABC為鈍角三角形.當A90時,因為BHC180A,BOC2180A,所以由BHCBOC180,可得3180A180,于是A120.10分當A90時,不妨假設B90,由于BHCA,BOC2A,所以由BHCBOC180,可得3A180,于是A60.15分iii假設abc為直角三角形.當A90時,由于.為邊BC的中點,B,C,H,O不可能共圓,所以A不可能等于90;當A90時,不妨假設B90,此時點B與H重合,于是總有8, C,H,O共圓,因此A可以是滿足0A90的所有角.綜上可得,A所有可能取到的度數為所有銳角及120.20分13 .設a,b,c是

15、素數,記xbca,ycab,zabc,當z2y,.XJ2時,a,b,c能否構成三角形的三邊長？證實你的結論.【解答】不能.依題意,得a1(yz),b-(xz),c1(xy)222由于yz2所以a-(yz)1(z2z)zz-222a3.10分b9,c10,與b,15分又由于z為整數,a為素數,所以z2或3,當z2時,yz24,x(百2)216.進而,c是素數矛盾；當z3時,abc0,所以a,b,c不能構成三角形的三邊長.20分14 .如果將正整數M放在正整數m左側,所得到的新數可被7整除,那么稱M為m的“魔術數(例如,把86放在415的左側,得到的數86415能被7整除,所以稱86為415的魔術數).求正整數n的最小值,使得存在互不相同的正整數為,a2,an,滿足對任意一個正整數m在即a",品中都至少有一個為m的魔術數.【解答】假設nW6,取m1,2,7,根據抽屜原理知,必有aba2,an中的一個正整數M是i,j(1WiVjW7)的