1、精選優質文檔-傾情為你奉上蘭州交通大學2008年大學生數學建摸競賽論文題目： 污水處理問題 姓名 袁愷瞳 學院 數理學院 班級 信計06 參賽人1：姓名 郝文晶 學院 經管學院 班級 國貿06 參賽人2：姓名 劉薇 學院 經管學院 班級 國貿06 參賽人3：學校統一編號，個人不得填寫論文編號： 污水處理問題摘要：污水處理問題屬于優化類模型，本文先建立了一般情況下的使江面上所有地段的水污染達到國家標準和使江旁邊居民點上游的水污染達到國家標準的污水處理的PL模型，然后通過具體問題對模型求解。求解模型采用了求解PL模型的經典求解算法 單純形法，通過專業求解PL模型得Lingo軟件使計算實現此算法。使

2、江面上所有地段的水污染達到國家標準的PL模型求解結果為：污水處理廠1、處理廠2和處理廠3出口的濃度依次為41.01 mg/l、21.06 mg/l和50.00 mg/l時，江面上所有地段的水污染達到國家標準，且最小處理費用為489.67萬元；使江旁邊居民點上游的水污染達到國家標準的污水處理的PL模型求解結果為：在處理廠1、處理廠2和處理廠3出口的濃度依次為63.33 mg/l、60 mg/l和50 mg/l時，為三個居民點上游的水污染達到國家標準，且最小處理費用為183.36萬元。在對模型結果進行分析中，得知污水處理廠2在使江旁邊居民點上游的水污染達到國家標準的污水處理的PL模型中可不工作；污

3、水處理廠3在兩種模型中均不工作。最后本文結合求解結果，對模型結果和模型建立過程中提到的：由于江水的自凈能力，第n （）個污水處理廠對面江水的污水濃度總是大于第n+1居民點上游的污水濃度，即江面污水的濃度總是在污水處理廠對面時達到一個較大值，進行了檢驗。 本模型是針對一般問題建立的，因此模型自壯性好，應用廣泛。但是，模型表達式復雜，若為工廠較多情況下，求解需對模型進行標準化，使得模型效益降低。關鍵詞：優化 LP模型 單純形法 Lingo一問題提出如下圖,有若干工廠的污水經排污口流入某江，各口有污水處理站,處理站對面是居民點。工廠1上游江水流量和污水濃度，國家標準規定的水的污染濃度,以及各個工廠的

4、污水流量和污水濃度均已知道。設污水處理費用與污水處理前后的濃度差和污水流量成正比,使每單位流量的污水下降一個濃度單位需要的處理費用(稱處理系數)為已知.處理后的污水與江水混合,流到下一個排污口之前,自然狀態下的江水也會使污水濃度降低一個比例系數(稱自凈系數),該系數可以估計.試確定各污水處理站出口的污水濃度,使在符合國家標準規定的條件下總的處理費用最小.先建立一般情況下的數學模型,再求解以下的具體問題: 設上游江水流量為 ,污水濃度為0.8 mg/l,3個工廠的污水流量均為 ,污水濃度(從上游到下游排列)分別為100,60,50(mg/l),處理系數均為1萬元(mg/l),3個工廠之間的兩段江

5、面的自凈系數(從上游到下游)分別為0.9和0.6.國家標準規定水的污染濃度不能超過1mg/l.(1)為了使江面上所有地段的水污染達到國家標準,最少需要花費多少費用?(2)如果只要求三個居民點上游的水污染達到國家標準最少需要花費多少費用?二符號說型和模型分析1 . 符號說明某江上有到下游的工廠、處理廠和居民點的序號；總污水處理費用；第i個處理廠的污水處理費用；某江上游江水流量；第i個工廠排放的污水流量；某江上游污水濃度；國家標準規定的水的污染濃度；第i個工廠排放的污水濃度；第i個污水處理廠出口的污水濃度；第i個居民點上游的污水濃度；第i個污水處理廠對面江水的污水濃度；第i個處理廠的處理系數；第i

6、1到i工廠之間的江面自凈系數（此時）。2 . 模型分析此問題屬于優化類模型，目標為使污水總的處理費用最小，約束條件為江面的污水濃度。（1）：各居民點上游的江水污水濃度居民點上游的江水污水濃度為江的上游污水和上游污水處理廠排出的污水濃度流到居民點時的污水濃度。因此，要求某一居民點上游的江水污水濃度，可先求江的上游污水流到居民點時的濃度，和上游每個污水處理廠排出的污水到居民點時的濃度，最后將其相加即可得次居民點上游的江水污水濃度。第n-1個污水處理廠排放的污水第i個污水處理廠排放的污水（1<i<n-1）第1個污水處理廠排放的污水第n個居民點上游的污水的濃度上游污水 （2）：各污水處理廠

7、對面江水的污水濃度各污水處理廠對面江水的污水濃度為此污水處理站對面居民點上游污水和此污水處理站排出的污水混合之后的污水濃度。因此，當已求出各居民點上游的污水濃度時，某污水處理廠對面江水的污水濃度，可將其對面居民上游污水和其污水處理廠排出的污水混合，其濃度即為此污水處理廠對面江水的污水濃度。第n個污水處理廠排出的污水第n個污水處理廠對面江水的污水濃度第n個居民點上游的污水的濃度（3）：各污水處理站出口的污水濃度各無數處理站出口的污水濃度受污水處理費用和國家規定的水的污染濃度，它直接影響江面的污水濃度。根據問題各污水處理站出口的污水濃度為在江面的污水濃度達到國家規定的水的污染濃度情況下，使處理費用

8、最小情況下的污水處理口的污水濃度。（4）：污水處理費用在江面污水濃度達到國家標準時，可知其對應的污水處理站口的污水濃度，其對應工廠的污水排放的流量和濃度已知，根據污水處理費用為處理系數、處理前后的濃度差和污水流量三個之積，即可求出污水處理費用。三模型假設（1）：江水的流量穩定，即江水和某一污水處理廠排放的污水混合后，其流量在到下一個污水處理廠之前保持不變。（2）：江水的污染品質是穩定的，即江水的污水濃度只受上游污水、處理廠污水和自凈系數的影響。（3）：江的上游水的污染濃度是達到國家標準的。四模型建立若江旁共有m個工廠、污水處理廠及居民點，且m個工廠的污水皆排入此江。（1）：居民點上游的污水濃度

9、： 江的上游污水流到第n居民點時的污水濃度為： 第i（）個污水處理廠的污水流到第n個居民點時的污水濃度為： 則第n（）個居民點上游的污水濃度為：（2）：污水處理廠對面江水的污水濃度：則第n （）個污水處理廠對面江水的污水濃度為：（3）：污水處理廠的污水處理費用：根據污水處理費用為處理系數、處理前后的濃度差和污水流量三個之積，可得第i個污水處理廠的污水處理費用：，則總污水處理費用： 模型 一 ：為使江面所有地段的水污染達到國家標準，最少需要花費費用：由于江水的自凈能力，可以知道在第n （）個污水處理廠對面江水的污水濃度總是大于第n+1居民點上游的污水濃度，即江面污水的濃度總是在污水處理廠對面時達

10、到一個較大值。因此，要使江面所有地段的水污染達到國家標準，只需讓各個污水處理廠對面江水的污水濃度達到國家標準即可。由（2）已知污水處理廠對面江水的污水濃度，則數學模型為： 模型二：為使居民點上游水污染達到國家標準，最少需要花費費用是達到國家標準的，可在模型中不考慮。由(1)已知居民點上游的污水濃度，則數學模型為： 五模型求解可知模型一和模型二皆屬于線性規劃模型，線性規劃模型用單純形法。（一）、帶入具體數據，得具體問題的數學模型為：模型一：將上面模型化為標準形式： 模型二： 將上面模型化簡為標準形式： （二）、應用單純形法求解的計算步驟：1、把一般得LP問題化為標準形式；2、建立初始單純形法表,

11、求出初始得基本可行解及對應的目標函數值；3、判別現行解是否是最優解。若是，計算結束；否則轉到第4步。判別得方法：（1）計算檢驗數，其中；（2）若所有的，則現行解為最優解。4、確定進基向量。方法是：計算，則進基。5、確定主元素和離基向量。若，則LP問題得可行域R無界，LP問題沒有有限得最優值，計算結束；否則計算這時，主元素為，應為離基。6、以為主元素，進行換基計算，求得一個新得基本可行解，然后返回第3步。具體做法：（1）用除以第r行，使得系數變為1；（2）將r行乘以適當倍數加到其他行，使其他行中的得系數都變為0。簡言之，即將化為單位向量。使主元素處為1，其余元素均為0。（三）計算機算法的實現，這

12、里應用專業PL軟件Lingo，通過編程求解模型。模型一（程序見附錄及完整結果1），主要結果：Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: 489.6743 Variable Value Reduced Cost PC1 41.00503 0. PC2 21.06012 0. PC3 50.00000 0.由此可知：在污水處理廠1、處理廠2和處理廠3出口的濃度依次為41.01 mg/l、21.06 mg/l和50.00 mg/l時，江面上所有地段的水污染達到國家標準，且最小處理費用為489.67萬元；由以上求解結果，

13、根據模型，可以求出江水面上所有地段的水污染濃度，具體圖為：工廠3工廠2工廠15060100污水處理廠1污水處理廠3504101上游0.8污水處理廠221.061 0.90.841 0.6由此圖可直觀看到，見面的水污染濃度均達到國家標準。模型一（程序見附錄及完整結果2），主要結果： Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: 183.3631 Variable Value Reduced Cost PC1 63.32738 0. PC2 60.00000 0. PC3 50.00000 0.由此可知：在處理廠1、處

14、理廠2和處理廠3出口的濃度依次為63.33 mg/l、60 mg/l和50 mg/l時，為三個居民點上游的水污染達到國家標準，且最小處理費用為183.36萬元。由以上求解結果，根據模型，可以求出江水面上所有地段的水污染濃度，具體圖為：1.29 0.781.118工廠3工廠2工廠1污水處理廠3污水處理廠1上游1.01污水處理廠26063.33六結果分析與檢驗在為使江面所有地段的水污染達到國家標準的模型求解結果，可知污水處理廠3處于停止工作狀態，即工廠3排放的污水直接排入河流，此時污水處理廠3的污水處理費用為0。在為使居民點上游水污染達到國家標準的模型求解結果，可知污水處

15、理廠2和污水處理廠3處于停止工作狀態，即工廠2和工廠3排放的污水直接排入河流，此時污水處理廠2和污水處理廠3的污水處理費用為0。下面是用matlab畫出的模型一和模型二求解結果污水處理廠對面江水污染濃度和其下一個對面居民點上游江水濃度的圖：模型一（程序見附錄三）：模型二（程序見附錄四）：由圖可以直觀看到，處理廠對面的江水污水濃度總是大于其下一個居民點上游污水濃度。由于在為使江面水污染達到國家標準，則應是每個處理廠對面江水的污染濃度達到國家標準1mg/l時，且由于江水自凈能力，使其濃度到達下一個居民點對面時進一步降低。且由于江水的流量()遠大于工廠排出的污水的流量()，當居民點上游的污水與其對面

16、工廠排出的污水混合達到國家標準時，污水處理廠就可以不工作。正是這樣模型一和模型二中污水處理廠3和污水處理廠2不工作了。模型二中污水處理廠三的下游居民點已對其排污不構成約束。因此，在模型二中，污水處理廠3也不工作。七模型評價與推廣（一）、模型評價（1）、本模型是針對一般問題建立的，因此模型自壯性好。（2）、本模型是建立在一般情況下污水處理問題的，因此模型的應用廣泛（3）、模型表達式復雜，若為工廠較多情況下，求解需對模型進行標準化，使得模型效益降低。但在運用Lingo軟件求解時，其有集合輸入功能，可大量簡化其求解。（4）、在模型求解中，對模型標準化中，變量的系數采用了近似值，使得求解精度方面稍有欠

17、缺。（二）誤差分析在對江水自凈方面，本文根據問題采用了可以評估的江面區段的自凈系數。事實上，污染物的降解量與流經時間t、污染物的量C直接相關。計算t時間后末點的污染物量，用微分方程：表示，兩邊對t積分得，其中為時間末點的污染量。采用微分方程的方法可使求解精度提高。（三）模型推廣本模型實際解決的是一個最優化問題。在對污水處理問題上，本文做了合理的假設，并對各個概念的理解在模型分析中進行了詳細的解釋。在滿足本文假設的情況下，對模型中需要的已知量進行測量或評估，即可應用此模型。但采用單純形法求解在大量數據下降低了模型的使用效率，因此推薦使用Lingo軟件。它的表達語言接近LP模型，且有集合輸入的功能

18、，可大量簡化模型求解，提高模型使用效率。八參考文獻1唐煥文，賀明峰.數學模型（第三版）.北京.高等教育出版社.2006.2 姜啟源.數學模型（第三版）.北京.高等教育出版社.2003.3 費培之，數學模型實用教程.成都.四川大學出版社.1998年.4 張志讓等.數學實驗.北京.科學出版社.1999年.5 云舟工作室.MATLAB 6 數學建模基礎教程.北京人民郵電出版社.2001年.九附錄附錄1：MODEL:min=-5*pc1-5*pc2-5*pc3+1050;0.*pc1+0.796<=1;0.00446*pc1+0.00495*pc2+0.71287<=1;0.00266*P

19、C1+0.00296*PC2+0.00493*PC3+0.42562<=1;pc1<=100;pc2<=60;pc3<=50;PC1>0;PC2>0;pc3>0;END Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: 489.6743 Variable Value Reduced Cost PC1 41.00503 0. PC2 21.06012 0. PC3 50.00000 0. Row Slack or Surplus Dual Price 1 489.6743 -1. 2 0. 99.48734 3 0. 1010.101 4 0. 0. 5 58.99497 0. 6 38.93988 0. 7 0. 5. 8 41.00503 0. 9 21.06012 0. 10 50.00000 0.附錄2：MODEL:min=-5*pc1-5*pc2-5*pc3+1050;0.*pc1+0.71642<=1;0.00