1、52八年級數學培優資料1、用提公因式法把多項式進行因式分解【知識精讀】 如果多項式的各項有公因式，根據乘法分配律的逆運算，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式。 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理論依據就是乘法分配律。多項式的公因式的確定方法是： （1）當多項式有相同字母時，取相同字母的最低次冪。 （2）系數和各項系數的最大公約數，公因式可以是數、單項式，也可以是多項式。下面我們通過例題進一步學習用提公因式法因式分解【分類解析】 1. 把下列各式因式分解 （1） （2） 分析：（1）若多項式的第一項系數是負數，一般要提出“”號，使括號內的第一項系數是正數，

2、在提出“”號后，多項式的各項都要變號。 解： （2）有時將因式經過符號變換或將字母重新排列后可化為公因式，如：當n為自然數時，是在因式分解過程中常用的因式變換。 解： 2. 利用提公因式法簡化計算過程 例：計算 分析：算式中每一項都含有，可以把它看成公因式提取出來，再算出結果。 解：原式 3. 在多項式恒等變形中的應用 例：不解方程組，求代數式的值。 分析：不要求解方程組，我們可以把和看成整體，它們的值分別是3和，觀察代數式，發現每一項都含有，利用提公因式法把代數式恒等變形，化為含有和的式子，即可求出結果。 解： 把和分別為3和帶入上式，求得代數式的值是。 4. 在代數證明題中的應用 例：證明

3、：對于任意自然數n，一定是10的倍數。 分析：首先利用因式分解把代數式恒等變形，接著只需證明每一項都是10的倍數即可。 對任意自然數n，和都是10的倍數。 一定是10的倍數5、中考點撥： 例1。因式分解 解： 說明：因式分解時，應先觀察有沒有公因式，若沒有，看是否能通過變形轉換得到。 例2分解因式： 解： 說明：在用提公因式法分解因式前，必須對原式進行變形得到公因式，同時一定要注意符號，提取公因式后，剩下的因式應注意化簡。題型展示： 例1. 計算： 精析與解答： 設，則 說明：此題是一個有規律的大數字的運算，若直接計算，運算量必然很大。其中2000、2001重復出現，又有的特點，可通過設未知數

4、，將復雜數字間的運算轉化為代數式，再利用多項式的因式分解化簡求值，從而簡化計算。 例2. 已知：（b、c為整數）是及的公因式，求b、c的值。 分析：常規解法是分別將兩個多項式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比較麻煩。注意到是及的因式。因而也是的因式，所求問題即可轉化為求這個多項式的二次因式。 解：是及的公因式 也是多項式的二次因式 而 b、c為整數 得： 說明：這是對原命題進行演繹推理后，轉化為解多項式，從而簡便求得。 例3. 設x為整數，試判斷是質數還是合數，請說明理由。 解： 都是大于1的自然數 是合數 說明：在大于1的正數中，除了1和這個數本身，還能被其它正整數整除的數叫合數。只能被

5、1和本身整除的數叫質數。【實戰模擬】 1. 分解因式： （1） （2）（n為正整數） （3） 2. 計算：的結果是（ ） A. B. C. D. 3. 已知x、y都是正整數，且，求x、y。4. 證明：能被45整除。 5. 化簡：，且當時，求原式的值。2、運用公式法進行因式分解【知識精讀】 把乘法公式反過來，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 補充：歐拉公式： 特別地：（1）當時，有 （2）當時，歐拉公式變為兩數立方和公式。 運用公式法分解因式的關鍵是要弄清各個公式的形式和特點，熟練地掌握公式。但有時需要經過適當的組合、變形后，方可使用公式。 用公式

6、法因式分解在求代數式的值，解方程、幾何綜合題中也有廣泛的應用。因此，正確掌握公式法因式分解，熟練靈活地運用它，對今后的學習很有幫助。下面我們就來學習用公式法進行因式分解【分類解析】 1. 把分解因式的結果是（ ） A. B. C. D. 分析：。 再利用平方差公式進行分解，最后得到，故選擇B。說明：解這類題目時，一般先觀察現有項的特征，通過添加項湊成符合公式的形式。同時要注意分解一定要徹底。 2. 在簡便計算、求代數式的值、解方程、判斷多項式的整除等方面的應用 例：已知多項式有一個因式是，求的值。 分析：由整式的乘法與因式分解互為逆運算，可假設另一個因式，再用待定系數法即可求出的值。 解：根據

7、已知條件，設 則 由此可得 由（1）得 把代入（2），得 把代入（3），得 3. 在幾何題中的應用。 例：已知是的三條邊，且滿足，試判斷的形狀。 分析：因為題中有，考慮到要用完全平方公式，首先要把轉成。所以兩邊同乘以2，然后拆開搭配得完全平方公式之和為0，從而得解。 解： 為等邊三角形。 4. 在代數證明題中應用 例：兩個連續奇數的平方差一定是8的倍數。 分析：先根據已知條件把奇數表示出來，然后進行變形和討論。 解：設這兩個連續奇數分別為（為整數） 則 由此可見，一定是8的倍數。5、中考點撥： 例1：因式分解：_。 解： 說明：因式分解時，先看有沒有公因式。此題應先提取公因式，再用平方差公式分

8、解徹底。 例2：分解因式：_。 解： 說明：先提取公因式，再用完全平方公式分解徹底。題型展示： 例1. 已知：， 求的值。 解： 原式 說明：本題屬于條件求值問題，解題時沒有把條件直接代入代數式求值，而是把代數式因式分解，變形后再把條件帶入，從而簡化計算過程。 例2. 已知， 求證： 證明： 把代入上式， 可得，即或或 若，則， 若或，同理也有 說明：利用補充公式確定的值，命題得證。 例3. 若，求的值。 解： 且 又 兩式相減得 所以 說明：按常規需求出的值，此路行不通。用因式分解變形已知條件，簡化計算過程。【實戰模擬】 1. 分解因式：（1） （2）（3）2. 已知：，求的值。3. 若是三

9、角形的三條邊，求證：4. 已知：，求的值。 5. 已知是不全相等的實數，且，試求 （1）的值；（2）的值。4、用分組分解法進行因式分解【知識精讀】 分組分解法的原則是分組后可以直接提公因式，或者可以直接運用公式。使用這種方法的關鍵在于分組適當，而在分組時，必須有預見性。能預見到下一步能繼續分解。而“預見”源于細致的“觀察”，分析多項式的特點，恰當的分組是分組分解法的關鍵。 應用分組分解法因式分解，不僅可以考察提公因式法，公式法，同時它在代數式的化簡，求值及一元二次方程，函數等學習中也有重要作用。 下面我們就來學習用分組分解法進行因式分解。【分類解析】1. 在數學計算、化簡、證明題中的應用 例1

10、. 把多項式分解因式，所得的結果為（ ） 分析：先去括號，合并同類項，然后分組搭配，繼續用公式法分解徹底。 解：原式 故選擇C 例2. 分解因式 分析：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進一步分解；此題也可把，分別看作一組，此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。 解法1： 解法2： 2. 在幾何學中的應用 例：已知三條線段長分別為a、b、c，且滿足 證明：以a、b、c為三邊能構成三角形 分析：構成三角形的條件，即三邊關系定理，是“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊” 證明： 3. 在方程中的應用 例：求方程的整數解 分

11、析：這是一道求不定方程的整數解問題，直接求解有困難，因等式兩邊都含有x與y，故可考慮借助因式分解求解 解： 4、中考點撥 例1.分解因式：_。 解： 說明：觀察此題是四項式，應采用分組分解法，中間兩項雖符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，應把后三項結合在一起，再應用完全平方公式和平方差公式。 例2分解因式：_ 解： 說明：前兩項符合平方差公式，把后兩項結合，看成整體提取公因式。 例3. 分解因式：_ 解： 說明：分組的目的是能夠繼續分解。5、題型展示： 例1. 分解因式： 解： 說明：觀察此題，直接分解比較困難，不妨先去括號，再分組，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。

12、 例2. 已知：，求ab+cd的值。 解：ab+cd= 說明：首先要充分利用已知條件中的1（任何數乘以1，其值不變），其次利用分解因式將式子變形成含有ac+bd因式乘積的形式，由ac+bd=0可算出結果。 例3. 分解因式： 分析：此題無法用常規思路分解，需拆添項。觀察多項式發現當x=1時，它的值為0，這就意味著的一個因式，因此變形的目的是湊這個因式。 解一（拆項）： 解二（添項）： 說明：拆添項法也是分解因式的一種常見方法，請同學們試拆一次項和常數項，看看是否可解？【實戰模擬】 1. 填空題： 2. 已知：3. 分解因式：4. 已知：，試求A的表達式。 5. 證明：5、用十字相乘法把二次三項

13、式分解因式【知識精讀】 對于首項系數是1的二次三項式的十字相乘法，重點是運用公式進行因式分解。掌握這種方法的關鍵是確定適合條件的兩個數，即把常數項分解成兩個數的積，且其和等于一次項系數。 對于二次三項（a、b、c都是整數，且）來說，如果存在四個整數滿足，并且，那么二次三項式即可以分解為。這里要確定四個常數，分析和嘗試都要比首項系數是1的類型復雜，因此一般要借助畫十字交叉線的辦法來確定。 下面我們一起來學習用十字相乘法因式分解。【分類解析】 1. 在方程、不等式中的應用 例1. 已知：，求x的取值范圍。 分析：本題為二次不等式，可以應用因式分解化二次為一次，即可求解。 解： 例2. 如果能分解成

14、兩個整數系數的二次因式的積，試求m的值，并把這個多項式分解因式。 分析：應當把分成，而對于常數項-2，可能分解成，或者分解成，由此分為兩種情況進行討論。 解：（1）設原式分解為，其中a、b為整數，去括號，得： 將它與原式的各項系數進行對比，得： 解得： 此時，原式 （2）設原式分解為，其中c、d為整數，去括號，得： 將它與原式的各項系數進行對比，得： 解得： 此時，原式 2. 在幾何學中的應用 例. 已知：長方形的長、寬為x、y，周長為16cm，且滿足，求長方形的面積。 分析：要求長方形的面積，需借助題目中的條件求出長方形的長和寬。 解： 或 又 解得：或 長方形的面積為15cm2或 3、在代

15、數證明題中的應用 例. 證明：若是7的倍數，其中x，y都是整數，則是49的倍數。 分析：要證明原式是49的倍數，必將原式分解成49與一個整數的乘積的形式。 證明一： 是7的倍數，7y也是7的倍數（y是整數） 是7的倍數 而2與7互質，因此，是7的倍數，所以是49的倍數。 證明二：是7的倍數，設（m是整數） 則 又 x，m是整數，也是整數 所以，是49的倍數。4、中考點撥 例1.把分解因式的結果是_。 解： 說明：多項式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，繼續分解徹底。 例2. 因式分解：_ 解： 說明：分解系數時一定要注意符號，否則由于不慎將造成錯誤。5、題型展示 例1. 若能分解為兩個

16、一次因式的積，則m的值為（ ） A. 1B. -1C. D. 2 解： -6可分解成或，因此，存在兩種情況： 由（1）可得：，由（1）可得： 故選擇C。 說明：對二元二次多項式分解因式時，要先觀察其二次項能否分解成兩個一次式乘積，再通過待定系數法確定其系數，這是一種常用的方法。 例2. 已知：a、b、c為互不相等的數，且滿足。 求證： 證明： 說明：抓住已知條件，應用因式分解使命題得證。 例3. 若有一因式。求a，并將原式因式分解。 解：有一因式 當，即時， 說明：由條件知，時多項式的值為零，代入求得a，再利用原式有一個因式是，分解時盡量出現，從而分解徹底。【實戰模擬】 1. 分解因式：（1）

17、 （2）（3）2. 在多項式，哪些是多項式的因式？3. 已知多項式有一個因式，求k的值，并把原式分解因式。4. 分解因式： 5. 已知：，求的值。7、因式分解小結【知識精讀】 因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數中占有重要的地位和作用，在其它學科中也有廣泛應用，學習本章知識時，應注意以下幾點。 1. 因式分解的對象是多項式； 2. 因式分解的結果一定是整式乘積的形式； 3. 分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止； 4. 公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式； 5. 結果如有相同因式，應寫成冪的形式； 6. 題目中沒有指定數的范圍，

18、一般指在有理數范圍內分解； 7. 因式分解的一般步驟是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續分解； （2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數法、試除法、拆項（添項）等方法；下面我們一起來回顧本章所學的內容。【分類解析】 1. 通過基本思路達到分解多項式的目的 例1. 分解因式 分析：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取公因式后，再進一步分解；也可把，分別看成一

19、組，此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。 解一：原式 解二：原式= 2. 通過變形達到分解的目的 例1. 分解因式 解一：將拆成，則有 解二：將常數拆成，則有 3. 在證明題中的應用 例：求證：多項式的值一定是非負數 分析：現階段我們學習了兩個非負數，它們是完全平方數、絕對值。本題要證明這個多項式是非負數，需要變形成完全平方數。 證明： 設，則 4. 因式分解中的轉化思想 例：分解因式： 分析：本題若直接用公式法分解，過程很復雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c的關系，努力尋找一種代換的方法。 解：設a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 說明：在分解因式時，靈活運用公式，對

20、原式進行“代換”是很重要的。中考點撥： 例1.在中，三邊a,b,c滿足 求證： 證明： 說明：此題是代數、幾何的綜合題，難度不大，學生應掌握這類題不能丟分。 例2. 已知：_ 解： 說明：利用等式化繁為易。題型展示： 1. 若x為任意整數，求證：的值不大于100。 解： 說明：代數證明問題在初二是較為困難的問題。一個多項式的值不大于100，即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。 2. 將 解： 說明：利用因式分解簡化有理數的計算。【實戰模擬】 1. 分解因式： 2. 已知：的值。3. 矩形的周長是28cm，兩邊x,y使，求矩形的面積。4. 求證：是

21、6的倍數。（其中n為整數）5. 已知：a、b、c是非零實數，且，求a+b+c的值。 6. 已知：a、b、c為三角形的三邊，比較的大小。10、分式的運算【知識精讀】 1. 分式的乘除法法則 ； 當分子、分母是多項式時，先進行因式分解再約分。 2. 分式的加減法 （1）通分的根據是分式的基本性質，且取各分式分母的最簡公分母。 求最簡公分母是通分的關鍵，它的法則是： 取各分母系數的最小公倍數； 凡出現的字母（或含有字母的式子）為底的冪的因式都要取； 相同字母（或含有字母的式子）的冪的因式取指數最高的。 （2）同分母的分式加減法法則 （3）異分母的分式加減法法則是先通分，變為同分母的分式，然后再加減。

22、 3. 分式乘方的法則 （n為正整數） 4. 分式的運算是初中數學的重要內容之一，在分式方程，求代數式的值，函數等方面有重要應用。學習時應注意以下幾個問題： （1）注意運算順序及解題步驟，把好符號關； （2）整式與分式的運算，根據題目特點，可將整式化為分母為“1”的分式； （3）運算中及時約分、化簡； （4）注意運算律的正確使用； （5）結果應為最簡分式或整式。下面我們一起來學習分式的四則運算。【分類解析】 例1：計算的結果是（ ） A. B. C. D. 分析：原式 故選C 說明：先將分子、分母分解因式，再約分。 例2：已知，求的值。 分析：若先通分，計算就復雜了，我們可以用替換待求式中的“

23、1”，將三個分式化成同分母，運算就簡單了。 解：原式 例3：已知：，求下式的值： 分析：本題先化簡，然后代入求值。化簡時在每個括號內通分，除號改乘號，除式的分子、分母顛倒過來，再約分、整理。最后將條件等式變形，用一個字母的代數式來表示另一個字母，帶入化簡后的式子求值。這是解決條件求值問題的一般方法。 解： 故原式 例4：已知a、b、c為實數，且，那么的值是多少？ 分析：已知條件是一個復雜的三元二次方程組，不容易求解，可取倒數，進行簡化。 解：由已知條件得： 所以 即 又因為 所以 例5：化簡： 解一：原式 解二：原式 說明：解法一是一般方法，但遇到的問題是通分后分式加法的結果中分子是一個四次多

24、項式，而它的分解需要拆、添項，比較麻煩；解法二則運用了乘法分配律，避免了上述問題。因此，解題時注意審題，仔細觀察善于抓住題目的特征，選擇適當的方法。 例1、計算： 解：原式 說明：分式運算時，若分子或分母是多項式，應先因式分解。 例2、已知：，則_。 解： 說明：分式加減運算后，等式左右兩邊的分母相同，則其分子也必然相同，即可求出M。中考點撥： 例1：計算： 解一：原式 解二：原式 說明：在分式的運算過程中，乘法公式和因式分解的使用會簡化解題過程。此題兩種方法的繁簡程度一目了然。 例2：若，則的值等于（ ） A. B. C. D. 解：原式 故選A【實戰模擬】 1. 已知：，則的值等于（ ）

25、A. B. C. D. 2. 已知，求的值。3. 計算：4. 若，試比較A與B的大小。 5. 已知：，求證：。11、公式變形與字母系數方程【知識精讀】 含有字母系數的方程和只含有數字系數的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的兩邊，這個式子的值不能為零。 公式變形實質上是解含有字母系數的方程 對于含字母系數的方程，通過化簡，一般歸結為解方程型，討論如下： （1）當時，此時方程為關于x的一元一次方程，解為： （2）當時，分以下兩種情況： <1>若，原方程變為，為恒等時，此時x可取任意數，故原方程有無數個解； <2>若，原方程變為，這是個矛盾等式，

26、故原方程無解。 含字母系數的分式方程主要有兩類問題：（一）求方程的解，其中包括：字母給出條件和未給出條件：（二）已知方程解的情況，確定字母的條件。 下面我們一起來學習公式變形與字母系數方程 【分類解析】 1. 求含有字母系數的一元一次方程的解 例1. 解關于x的方程 分析：將x以外字母看作數字，類似解一元一次方程，但注意除數不為零的條件。 解：去分母得： 移項，得 2. 求含字母系數的分式方程的解 例2. 解關于x的方程 分析：字母未給出條件，首先挖掘隱含的條件，分情況討論。 解：若a、b全不為0，去分母整理，得 對是否為0分類討論： （1）當，即時，有，方程無解。 （2）當，即時，解之，得

27、若a、b有一個為0，方程為，無解 若a、b全為0，分母為0，方程無意義 檢驗：當時，公分母，所以當時，是原方程的解。 說明：這種字母沒給出條件的方程，首先討論方程存在的隱含條件，這里a、b全不為0時，方程存在，然后在方程存在的情況下，去分母、化為一元一次方程的最簡形式，再對未知數的字母系數分類討論求解。當a、b中只有一個為0時，方程也存在，但無解；當a、b全為0時，方程不存在。最后對字母條件歸納，得出方程的解。 3. 已知字母系數的分式方程的解，確定字母的條件 例3. 如果關于x的方程有唯一解，確定a、b應滿足的條件。 分析：顯然方程存在的條件是：且 解：若且，去分母整理，得 當且僅當，即時，

28、解得 經檢驗，是原方程的解 應滿足的條件：且 說明：已知方程有唯一解，顯然方程存在的隱含條件是a、b全不為0，然后在方程存在的條件下，求有解且唯一的條件。因為是分式方程，需驗根后確定唯一解的條件。 4. 在其它學科中的應用（公式變形） 例4. 在物理學中我們學習了公式，其中所有的字母都不為零。已知S、t，試求a。 分析：利用字母系數方程完成公式變形，公式變形時要分清哪個量是被表示的量，則這個量就是未知數，其它的量均視為已知量，然后按解字母系數方程求解。 解： 5、中考點撥 例1. 填空：在中，已知且，則_。 解： 例2. 在公式中，已知P、F、t都是正數，則s等于（ ） A. B. C. D.

29、 以上都不對 解： ，故選A 說明：以上兩題均考察了公式變形。6、題型展示： 例1. 解關于x的方程 解：原方程化為： 即 說明：本題中，常數“3”是一個重要的量，把3拆成3個1，正好能湊成公因式。若按常規在方程兩邊去分母，則解法太繁，故解題中一定要注意觀察方程的結構特征，才能找到合適的辦法。 例2. 解關于x的方程。 解：去括號： 說明：解含字母系數的方程，在消未知數的系數時，一定要強調未知數的系數不等于0，如果方程的解是分式形式，必須化成最簡分式或整式。 例3. 已知，求z。（） 分析：本題是求z，實質上是解含有字母系數的分式方程，應確定已知量和未知量，把方程化歸為的形式，便可求解。 解：

30、 又 【實戰模擬】1. 解關于x的方程，其中。2. 解關于x的方程。3. a為何值時，關于x的方程的解等于零？4. 已知關于x的方程有一個正整數解，求m的取值范圍。 5. 如果a、b為定值，關于x的一次方程，無論取何值，它的根總是1，求a、b的值。12、分式方程及其應用【知識精讀】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程轉化為整式方程。 2. 解分式方程的一般步驟： （1）在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程； （2）解這個整式方程； （3）驗根：把整式方程的根代入最簡公分母，看結果是否等于零，使最簡公分母等于零的根是原方程的增根，必須舍去，但對于含有字母系數的分式方程，一般不

31、要求檢驗。 3. 列分式方程解應用題和列整式方程解應用題步驟基本相同，但必須注意，要檢驗求得的解是否為原方程的根，以及是否符合題意。 下面我們來學習可化為一元一次方程的分式方程的解法及其應用。【分類解析】 例1. 解方程： 分析：首先要確定各分式分母的最簡公分母，在方程兩邊乘這個公分母時不要漏乘，解完后記著要驗根 解：方程兩邊都乘以，得 例2. 解方程 分析：直接去分母，可能出現高次方程，給求解造成困難，觀察四個分式的分母發現的值相差1，而分子也有這個特點，因此，可將分母的值相差1的兩個分式結合，然后再通分，把原方程兩邊化為分子相等的兩個分式，利用分式的等值性質求值。 解：原方程變形為： 方程

32、兩邊通分，得 經檢驗：原方程的根是 例3. 解方程： 分析：方程中的每個分式都相當于一個假分數，因此，可化為一個整數與一個簡單的分數式之和。 解：由原方程得： 即 例4. 解方程： 分析：此題若用一般解法，則計算量較大。當把分子、分母分解因式后，會發現分子與分母有相同的因式，于是可先約分。 解：原方程變形為： 約分，得 方程兩邊都乘以 注：分式方程命題中一般滲透不等式，恒等變形，因式分解等知識。因此要學會根據方程結構特點，用特殊方法解分式方程。5、中考題解： 例1若解分式方程產生增根，則m的值是（ ） A. B. C. D. 分析：分式方程產生的增根，是使分母為零的未知數的值。由題意得增根是：

33、化簡原方程為：把代入解得，故選擇D。 例2. 甲、乙兩班同學參加“綠化祖國”活動，已知乙班每小時比甲班多種2棵樹，甲班種60棵所用的時間與乙班種66棵樹所用的時間相等，求甲、乙兩班每小時各種多少棵樹？ 分析：利用所用時間相等這一等量關系列出方程。 解：設甲班每小時種x棵樹，則乙班每小時種（x+2）棵樹， 由題意得： 答：甲班每小時種樹20棵，乙班每小時種樹22棵。 說明：在解分式方程應用題時一定要檢驗方程的根。6、題型展示： 例1. 輪船在一次航行中順流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小時；在另一次航行中，用相同的時間，順流航行40千米，逆流航行70千米。求這艘輪船在靜水中的速度和水流

34、速度 分析：在航行問題中的等量關系是“船實際速度=水速+靜水速度”，有順水、逆水，取水速正、負值，兩次航行提供了兩個等量關系。 解：設船在靜水中的速度為x千米/小時，水流速度為y千米/小時 由題意，得 答：水流速度為3千米/小時，船在靜水中的速度為17千米/小時。 例2. m為何值時，關于x的方程會產生增根？ 解：方程兩邊都乘以，得 整理，得 說明：分式方程的增根，一定是使最簡公分母為零的根【實戰模擬】 1. 甲、乙兩地相距S千米，某人從甲地出發，以v千米/小時的速度步行，走了a小時后改乘汽車，又過b小時到達乙地，則汽車的速度（ ） A. B. C. D. 2. 如果關于x的方程 A. B.

35、C. D. 3 3. 解方程：4. 求x為何值時，代數式的值等于2？ 5. 甲、乙兩個工程隊共同完成一項工程，乙隊先單獨做1天后，再由兩隊合作2天就完成了全部工程。已知甲隊單獨完成工程所需的天數是乙隊單獨完成所需天數的，求甲、乙兩隊單獨完成各需多少天？13、分式總復習【知識精讀】 【分類解析】1. 分式有意義的應用 例1. 若，試判斷是否有意義。 分析：要判斷是否有意義，須看其分母是否為零，由條件中等式左邊因式分解，即可判斷與零的關系。 解： 即 或 中至少有一個無意義。 2. 結合換元法、配方法、拆項法、因式分解等方法簡化分式運算。 例2. 計算： 分析：如果先通分，分子運算量較大，觀察分子

36、中含分母的項與分母的關系，可采取“分離分式法”簡化計算。 解：原式 例3. 解方程： 分析：因為，所以最簡公分母為：，若采用去分母的通常方法，運算量較大。由于故可得如下解法。 解： 原方程變為 經檢驗，是原方程的根。 3. 在代數求值中的應用 例4. 已知與互為相反數，求代數式的值。 分析：要求代數式的值，則需通過已知條件求出a、b的值，又因為，利用非負數及相反數的性質可求出a、b的值。 解：由已知得，解得 原式 把代入得：原式 4. 用方程解決實際問題 例5. 一列火車從車站開出，預計行程450千米，當它開出3小時后，因特殊任務多停一站，耽誤30分鐘，后來把速度提高了0.2倍，結果準時到達目

37、的地，求這列火車的速度。 解：設這列火車的速度為x千米/時 根據題意，得 方程兩邊都乘以12x，得 解得 經檢驗，是原方程的根 答：這列火車原來的速度為75千米/時。 5. 在數學、物理、化學等學科的學習中，都會遇到有關公式的推導，公式的變形等問題。而公式的變形實質上就是解含有字母系數的方程。 例6. 已知，試用含x的代數式表示y，并證明。 解：由，得 6、中考原題： 例1已知，則M_。 分析：通過分式加減運算等式左邊和右邊的分母相同，則其分子也必然相同，即可求出M。 解： 例2已知，那么代數式的值是_。 分析：先化簡所求分式，發現把看成整體代入即可求的結果。 解：原式 7、題型展示： 例1.

38、 當x取何值時，式子有意義？當x取什么數時，該式子值為零？ 解：由 得或 所以，當和時，原分式有意義 由分子得 當時，分母 當時，分母，原分式無意義。 所以當時，式子的值為零 例2. 求的值，其中。 分析：先化簡，再求值。 解：原式 【實戰模擬】1. 當x取何值時，分式有意義？2. 有一根燒紅的鐵釘，質量是m，溫度是，它放出熱量Q后，溫度降為多少？（鐵的比熱為c）3. 計算：4. 解方程：5. 要在規定的日期內加工一批機器零件，如果甲單獨做，剛好在規定日期內完成，乙單獨做則要超過3天。現在甲、乙兩人合作2天后，再由乙單獨做，正好按期完成。問規定日期是多少天？ 6. 已知，求的值。3、三角形及其

39、有關概念【知識精讀】 1. 三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。 2. 三角形中的幾條重要線段： （1）三角形的角平分線（三條角平分線的交點叫做內心） （2）三角形的中線（三條中線的交點叫重心） （3）三角形的高（三條高線的交點叫垂心） 3. 三角形的主要性質 （1）三角形的任何兩邊之和大于第三邊，任何兩邊之差小于第三邊； （2）三角形的內角之和等于180° （3）三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內角，等于和它不相鄰的兩個內角的和； （4）三角形中，等角對等邊，等邊對等角，大角對大邊，大邊對大角； （5）三角形具有穩定性。 4. 補充性質

40、：在中，D是BC邊上任意一點，E是AD上任意一點，則。 三角形是最常見的幾何圖形之一，在工農業生產和日常生活中都有廣泛的應用。三角形又是多邊形的一種，而且是最簡單的多邊形，在幾何里，常常把多邊形分割成若干個三角形，利用三角形的性質去研究多邊形。實際上對于一些曲線，也可以利用一系列的三角形去逼近它，從而利用三角形的性質去研究它們。因此，學好本章知識，能為以后的學習打下堅實的基礎。 5. 三角形邊角關系、性質的應用【分類解析】 例1. 銳角三角形ABC中，C2B，則B的范圍是（ ） A. B. C. D. 分析： 因為為銳角三角形，所以 又C2B， 又A為銳角，為銳角 ，即 ，故選擇C。 例2.

41、選擇題：已知三角形的一個外角等于160°，另兩個外角的比為2:3，則這個三角形的形狀是（ ） A. 銳角三角形B. 直角三角形C. 鈍角三角形D. 無法確定 分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一個角已知，另兩個角的比也知道，因此三個外角的度數就可以求出，進而可求出三個內角的度數，從而可判斷三角形的形狀。 解：三角形的一個外角等于160° 另兩個外角的和等于200° 設這兩個外角的度數為2x，3x 解得： 與80°相鄰的內角為100° 這個三角形為鈍角三角形 應選C 例3. 如圖，已知：在中，求證：。 分析：欲證，可作ABC的平

42、分線BE交AC于E，只要證即可。為與題設聯系，又作AF/BE交CB的延長線于F。 顯然EBCF，只要證即可。由可得證。 證明：作ABC的角平分線BE交AC于E，過點A作AF/BE交CB的延長線于F 又BE平分ABC，EBCABE FFAB，ABBF 又ABFBAF，即2ABAF 又 ，又 例4. 已知：三角形的一邊是另一邊的兩倍。求證：它的最小邊在它的周長的與之間。 分析：首先應根據已知條件，運用邊的不等關系，找出最小邊，然后由周長與邊的關系加以證明。 證明：如圖，設的三邊為a、b、c，其中， 因此，c是最小邊， 因此，即 故最小邊在周長的與之間。中考點撥： 例1. 選擇題：如圖是一個任意的五

43、角星，它的五個頂角的和是（ ） A. 50B. 100C. 180D. 200 分析：由于我們學習了三角形的內角、外角的知識，所以需要我們把問題轉化為三角形角的問題。 解： 所以選擇C 例2. 選擇題：已知三角形的兩邊分別為5和7，則第三邊x的范圍是（ ） A. 大于2B. 小于12C. 大于2小于12D. 不能確定 分析：根據三角形三邊關系應有，即 所以應選C 例3. 已知：P為邊長為1的等邊內任一點。 求證： 證明：過P點作EF/BC，分別交AB于E，交AC于F， 則AEPABC60° 在中， 是等邊三角形 題型展示： 例1. 已知：如圖，在中，D是BC上任意一點，E是AD上任意

44、一點。求證： （1）BECBAC； （2）ABACBEEC。 分析：在（1）中，利用三角形內角和定理的推論即可證出在（2）中，添加一條輔助線，轉化到另一個三角形中，利用邊的關系定理即可證出。 證明：（1）BED是的一個外角， 同理， 即 （2）延長BE交AC于F點 即 例2. 求證：直角三角形的兩個銳角的相鄰外角的平分線所夾的角等于45°。 已知：如圖，在中，是的外角，AF、BF分別平分EAB及ABD。 求證：AFB45° 分析：欲證，須證 AF、BF分別平分EAB及ABD 要轉證EABABD270° 又C90°，三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和 問題得證 證明：EABABCC ABDCABC ABCCCAB180°，C90° AF、BF分別平分EAB及ABD 在中，【實戰模擬】1. 已知：三角形的三邊長為3，8，求x的取值范圍。 2. 已知：中，D點在BC的延長線上，使，求和間的關系為？ 3. 如圖，中，的平分線交于P點，則 （ ） A. 68°B. 80&