1、精選優質文檔-傾情為你奉上4.最小二乘法線性擬合我們知道，用作圖法求出直線的斜率a和截據b，可以確定這條直線所對應的經驗公式，但用作圖法擬合直線時，由于作圖連線有較大的隨意性，尤其在測量數據比較分散時，對同一組測量數據，不同的人去處理，所得結果有差異，因此是一種粗略的數據處理方法，求出的a和b誤差較大。用最小二乘法擬合直線處理數據時,任何人去處理同一組數據，只要處理過程沒有錯誤，得到的斜率a和截據b是唯一的。最小二乘法就是將一組符合Y=a+bX關系的測量數據，用計算的方法求出最佳的a和b。顯然，關鍵是如何求出最佳的a和b。(1) 求回歸直線設直線方程的表達式為： (2-6-1)要根據測量數據求

2、出最佳的a和b。對滿足線性關系的一組等精度測量數據（xi，yi），假定自變量xi的誤差可以忽略，則在同一xi下，測量點yi和直線上的點a+bxi的偏差di如下： 顯然最好測量點都在直線上（即d1=d2=dn=0），求出的a和b是最理想的，但測量點不可能都在直線上，這樣只有考慮d1、d2、dn為最小，也就是考慮d1+d2+dn為最小，但因d1、d2、dn有正有負，加起來可能相互抵消，因此不可取；而|d1|+ |d2|+ |dn|又不好解方程，因而不可行。現在采取一種等效方法：當d12+d22+dn2對a和b為最小時，d1、d2、dn也為最小。取（d12+d22+dn2）為最小值，求a和b的方法叫

3、最小二乘法。令 (2-6-2)D對a和b分別求一階偏導數為： 再求二階偏導數為：； 顯然： ； 滿足最小值條件，令一階偏導數為零： (2-6-3) (2-6-4)引入平均值： ； ； 則： （2-6-5）解得： （2-6-6） （2-6-7）將a、b值帶入線性方程，即得到回歸直線方程。(2) y、a、b的標準差在最小二乘法中，假定自變量誤差可以忽略不計，是為了方便推導回歸方程。操作中函數的誤差大于自變量的誤差即可認為滿足假定。實際上兩者均是變量，都有誤差，從而導致結果y、a、b的標準差(n6)如下： (2-6-8) (根式的分母為n-2,是因為有兩個變量) (2-6-9) (2-6-10)(3

4、)相關系數相關系數是衡量一組測量數據xi、yi線性相關程度的參量，其定義為： （2-6-11）r值在0|r|1中。 |r|越接近于1，x 、y 之間線性好；r為正，直線斜率為正，稱為正相關；r為負，直線斜率為負，稱為負相關。|r|接近于0，則測量數據點分散或xi、yi之間為非線性。不論測量數據好壞都能求出a和b，所以我們必須有一種判斷測量數據好壞的方法，用來判斷什么樣的測量數據不宜擬合，判斷的方法是|r| r，則x和y具有線性關系，可求回歸直線；否則反之。例9：靈敏電流計的電流常數Ki和內阻Rg的測量公式為測得的數據同例7，其中間處理過程如下，試用最小二乘法求出Ki和Rg，并寫出回歸方程的表達

5、式。解：測量公式與線性方程表達式ya+bx比較： 數據處理如表2-6-3：表2-6-3 Rs0.100 R14350.0 d40.0mmi12345678平均值R2()400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0225.0U(V)2.822.492.151.821.511.180.840.561.67125(1042)16.0012.259.0006.2504.0002.2501.0000.2506.375U2(V2)7.956.204.623.312.281.390.710.313.34625R2U(102V)11.38.726.454.553.021.77

6、0.840.284. 中間過程可多取位： 1.67125 225.0 3.34625 6.375104 461.5625相關系數查表得知，當n=8時，r0=0.834，兩者比較rr0，說明x、y(即U、R2)之間線性相關，可以求回歸直線。求回歸方程的系數154. -33.4代換 33.4 154.Ki3.717010-9A/mm計算標準差為：2.； 2.； 1.計算不確定度：Rg2； 0.81； K 0.03109A/mm測量結果表達式電流計內阻： Rg(332) 6.1電流常數： K (3.720.03)109A/mm 0.81回歸方程： R2155U33 5.計算器在數據處理中的應用在處理

7、數據時，不同的計算器的編程方式各不相同，下面以震旦AURORA SC180型計算器為例作以介紹。（1）計算標準偏差S 標準偏差S的計算器運行公式：因為 所以 （只有為xi單變量） 操作步驟和方法() 按MODE0鍵，計算器進入單變量統計計算狀態。屏右上角顯示“STAT1”指示符。() 清除內存數據：按INVON/C.CE鍵。() 數據輸入：依次先鍵入數值，然后按DATA鍵，每完成一次輸入的同時，屏幕均會顯示數據的個數n值。() 數據修正：按DATA鍵之前，要刪除錯誤數據，按ON/C.CE；按DATA鍵后要刪除錯誤數據，再次輸入該錯誤值，然后按INVDEL。() 取分析結果：INV：平均值INV

8、：數據和INV2: 數據平方和INVS：測量列的標準偏差INVn：數據個數例10：一組等精度測量值為：83.1、83.3、83.3、83.7、83.9、83.6、83.4、83.4、83.1、83.2，試求、2、S、n 。解：按 鍵顯 示MODE0ST1 0INVON/C.CE 083.1DATAn 183.3DATAn 283.3DATAn 383.7DATAn 483.9DATAn 583.6DATAn 683.4DATAn 783.4DATAn 883.1DATAn 983.2DATAn 10INV83.4INV834INV269556.22INVS0.INVn10注：當n6時，認為S

9、。（2）最小二乘法求回歸直線 求回歸直線參量a、b、r的計算器運行公式由(2-6-6)、(2-6-7)、(2-6-11)式得到以下只含xi、yi兩個變量的公式： 操作步驟和方法：() 按MODE.，計算器進入雙變量統計計算狀態。屏幕右上角顯示“STAT2”指示符。() 清除內存數據：按INVON/C.CE鍵() 雙變量數據輸入：先鍵入x的值、 按a鍵， 然后鍵入y的值、 按b鍵，再按DATA鍵，完成輸入。屏幕會同時顯示數據的個數，即n值。() 數據修正：同單變量數據輸入。() 取分析結果INVa：回歸直線的截距INVb：回歸直線的斜率INVr：相關系數還可以取以下值： INV、INV、INVx

10、、INVx2、INVy、INVy2、 INVxy， 以便計算、(計算器沒有該三項的計算程序)。例11： 靈敏電流計實驗所測數據如下：RS0.100 R14350.0 d40.0mmR2（）400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.050.0U（V）2.822.492.151.821.511.180.840.56要求所使用計算器具有計算最小二乘法的功能，求回歸直線以及電流計的電流常數Ki和內阻Rg。解： 測量公式與線性方程表達式ya+bx比較yR2 xU，則：按 鍵顯 示MODE.ST2 0INVON/C.CE 02.82a400.0bDATAn 12.49a350.0

11、bDATAn 22.15a300.0bDATAn 31.82a250.0bDATAn 41.51a200.0bDATAn 51.18a150.0bDATAn 60.84a100.0bDATAn 70.56a50.0bDATAn 8INVaa -32.INVbb 153.INVrr 0.查表知道，當n8時，r00.834， rr0，說明U、R2之間線性相關。得到：回歸方程 R2154U32電流計內阻 Rg32電流常數 K3.74109A/mm 習 題1指出下列測量結果的有效數字： (1) I5010mA(2) C2.108m/s2按“四舍五入”修約法，將下列數據只保留3位有效數字：(1) 1.0

12、05(2) 979.499(3) 980.501(4) 6.275(5) 3.1343單位變換：(1) m3.1620.002kg g mg T(2) (59.80.1)( )(3) L98.960.04cm m mm m4改錯并且將一般表達式改寫成科學表達式：(1) Y(1.9610115.78109)N/m2(2) L(100)m5按有效數字運算規則計算下列各式：(1) 1000-5 (2) 3.21033.2 (3) tg3005 (4) (5) R15.10k，R25.10102，R351。 求： RR1+R2+R3 (6) L1.674m-8.00cm 6求下列公式的不確定度：(1)

13、 (2) N(3) Lh+(4) Z7用分度值為1mm的米尺測量一物體長度L，測得數據為：98.98cm、98.96cm、98.97cm、 98.94cm、99.00cm、98.95cm、98.97cm，試求、 L，并寫出測量結果表達式 L。8測量出一個鉛圓柱體的直徑為d(2.0400.001)cm，高度為h(4.1200.001)cm,質量為m(149.100.05)g，試計算、，并表示測量結果。9某同學測量彈簧倔強系數的數據如下：F(g)2.004.006.008.0010.0012.0014.00y(cm)6.9010.0013.0515.9519.0022.0525.10其中F為彈簧所受的作用力，y為彈簧的長度，已知y-y0()F，試用作圖法求彈簧的倔強系數k及彈簧的原來長度y0。10用伏安法測電阻時，測出的數據如下，試求回歸直線，并求出測量結果R值。I(mA)2.004.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.0020.00U(V)1.0