1、多粒子物理學讀書報告：格林函數與輸運內容提要：1概述；2單粒子性質的格林函數表述；3用格林函數推導遷移率中項1概述1 1金屬中電子輸運特性對于金屬，是輸運馳豫時間，它的物理意義是處在某動量本征態的電子的平均壽命，即時一個處于某動量本征態的電子在時完全失去了對其原有動量的記憶。輸運馳豫時間包括各種相互作用的貢獻主要有雜質散射電子-聲子相互作用電子-電子相互作用等等：即輸運馳豫時間由各種機構中最小的決定。絕對零度時，純金屬晶體中電子不受散射，具有無窮大電導。T>0時實際金屬的電阻是由電子受到雜質和晶格振動的散射引起的。在室溫時，典型金屬的電阻率約為10-8.m，隨著溫度降低到室溫以下，電阻近

2、似線性地減小（圖1,see, p.131 in Ref.1），在低溫時水平地達到一定值。低溫時的電阻率與試樣的純度密切相關，對于高純度的退火單晶體，約可以達到室溫電阻率的10-4倍。不純試樣中的附加電阻在整個溫度范圍內近似地與溫度無關。這個事實叫做馬賽厄司定則（Mathiessen rule，又翻譯為馬提生定則（1862）。這個附加電阻是由于雜質引起的電子散射，在低溫下它構成電阻的主要部分。雜質散射電阻與溫度無關的事實暗示出可動電子的濃度與溫度無關，這與半導體中電子濃度與溫度呈指數函數關系大不一樣。聲子散射電阻依賴于溫度，在高溫時可變得很大。這兩部分電阻具有可加性，因此可分別處理。上述金屬中的

3、雜質不含磁性雜質。磁性雜質的散射將導致低溫下電阻值的對數上升，稱為近藤(Kondo)效應。1 2半導體輸運特性半導體中的散射仍可分為電離雜質和晶格振動的散射兩大類。晶格振動的散射又分為聲學波和光學波散射兩種。聲學波通過兩種方式散射電子：引起密度變化從而產生形變勢（聲學聲子形變勢散射）；在沒有反演中心的極性晶體中引起壓電極化（壓電散射,長聲學波明顯）。光學波也通過兩種方式散射電子：二種不等價原子之間的相對移動所引起的形變勢（光學波形變勢散射）；在極性晶體中伴隨光學波的極化所產生的微擾勢（極性光學波散射）。后者只有縱光學波（LO聲子）才產生，橫光學波不產生。對于離子性晶體，這時電子與LO聲子形成極

4、化子（詳見后文）。各種散射機制中，電離雜質散射聲學聲子形變勢散射壓電散射中馳豫時間與電子能量的關系可統一地寫成2對于不同的散射機構和r有不同的值。電離雜質散射r=3/2；聲學聲子形變勢散射r=-1/2；壓電散射r=1/2。光學聲子形變勢散射形式比較復雜，這里略。對于極性光學聲子散射不能有馳豫時間的定義。對于不同的散射機構，隨溫度的變化關系不同。電離雜質散射；聲學聲子形變勢散射；壓電散射。光學聲子形變勢散射形式比較復雜，這里略。在低溫下值最小，所以低溫下主要散射機構是電離雜質散射。典型半導體中各種散射機構下遷移率溫度的變化關系如圖2（p.135 in Ref.2）所示。一般地中電子濃度可通過霍爾

5、效應精確測定，叫做霍爾遷移率，它與我們常規定義的電導率遷移率相差一個常數因子。圖3(Fig.7.9 in Ref.3)是CdTe霍爾遷移率的溫度依賴關系。1 3極性光學波散射長期以來電導問題是用Boltzmann方程處理的4。1958年Edward首先將格林函數方法應用于輸運問題。Kadanoff和Baym用格林函數方法證明，在金屬中只有kFl>>1時Boltzmann方程才是正確的，這里kF是費米波矢，l是平均自由程。現在格林函數已經用于推導很多不同系統的輸運性質，包括Boltzmann方程不適用的情況。格林函數方法的優點是，用它可以推導出輸運系數的準確表達式，然后在各種條件下作

6、近似計算。嚴格的計算必須同時考慮晶格振動和雜質對電子的散射。單獨考慮這兩種散射時計算方法非常相近。下面只考慮晶格振動（LO聲子）的散射，不考慮雜質散射，電子哈密頓為Frohlich極化子的哈密頓3(7.2.1) 其中為LO聲子的頻率。我們討論弱耦合()的情況，所以極化子尺寸很大，是所謂的大極化子。1 4極化子遷移率理論有許多關于極化子遷移率的理論3，例如（1）通過求解Boltzmann方程(BE)；（2）通過計算電流-電流關聯函數（見后文）； 式中u是(x,y,z)之一，當系統各向同性時所以。令則可由電流-電流關聯函數得到推遲的電流-電流關聯函數。(久保公式)說明得到的是直流電導。在久保公式中

7、，為了求直流電導需要先計算交流電導，然后取極限。若開始就從直流電場出發則計算要麻煩一些。久保的上述理論又叫線性響應理論。（3）通過計算力-力關聯函數；令則可由力-力關聯函數得到推遲的力-力關聯函數。力-力關聯函數的嚴格推導是由Mahan給出的。（4）通過求解量子Boltzmann方程(QBE)。QBE 與BE的差別是：BE是關于分布函數 的微分方程；而 QBE是關于Wigner分布函數 的微分方程。這些理論各自不同，但在弱耦合 ()和低溫（）極限下結論是一致的，這些理論都預言 (7.2.2)(7.2.2)對于檢驗理論是有用的，但在同實驗比較方面無能為力，原因是（1）在溫度范圍，遷移率的計算只考

8、慮了光學聲子散射。這是一個低溫理論，我們需要能在更高溫下計算遷移率的理論（2）我們感興趣的大多數材料的極化子耦合常數都在中間耦合（）的范疇內。所以我們需要一個在中間耦合下適用的計算遷移率的理論。在這方面最成功的是費曼路徑積分方法。對于中間耦合和高溫的情況，格林函數并不擅長，所以我們下面的計算仍限于低溫弱耦合的情況。我們通常采用的方法是1964年Langreth和Kadanoff用過的方法（1）利用格林函數從久保公式出發推導(7.2.2)式。遷移率可寫成冪級數形式(7.2.3)得到(7.2.2)即得到上面級數的首項（項）；（2）在上面基礎上獲得量級為的所有修正項。定義則L-K結果為 (7.2.4

9、)這個結果同用下面方法，即由，然后將分別按展開：，得到的結果精確符合。我們將推導L-K公式中的第一項（即項）。2 單粒子性質 (see, Section 7.2 of Ref.3)我們用格林函數來表述單粒子性質。因為是在低溫單聲子情況下，所以用零溫格林函數。首先看電子自能。自能算符是一個非局域的且與能量有關的非厄密算符。由于非厄密，一般為復數，實部代表多體效應引起的能級移動，而虛部為粒子在該狀態壽命的倒數。電子自能的實部為在零溫上式退化為 (7.2.6)根據自能我們可寫出有效質量和重整化系數（或重整化因子）Z的表達式(7.2.7)我們用到的另一個量是壽命，電子壽命定義為(7.2.8)這里Z(p

10、)是重整化系數。(7.2.8)式中我們計算的是點的自能（虛部），而不是點的自能（虛部）。Ep是粒子的基態能量，它可從方程中自恰計算求得。這個方程近似為。作為一級近似，Ep也可由下法得出：將Ep展開為冪級數形式顯然=。根據參考文獻3第六章算出的一階電子自能即從中展開得到所以。由(7.2.8)式我們看到Z(p)與壽命的定義有關。下面我們看Z(p)的物理意義。由譜函數的定義 (7.2.9)在的極限下，譜函數變成一個函數（表示能量守恒）和重整化系數的乘積推遲格林函數定義為 (7.2.10)根據格林函數的衰減我們可定義弛豫時間。在譜函數的峰值附近我們有這樣譜函數近似為上式用(7.2.8)定義的弛豫時間改

11、寫為這樣(7.2.10)變成由此可知，Z是準粒子強度，即衰減波的振幅。我們還可以從另外一個角度來理解壽命定義中的因子Z。（壽命的倒數）是態衰減的速率，而Z是準粒子強度的一部分，準粒子強度的其余部分通常色散掉了?，F在我們可以計算單聲子自能對準粒子壽命的貢獻了。由表達式 (7.2.11)在時這樣壽命3 遷移率中項的推導(see, Section 7.2 of Ref.3)利用久保公式計算電導率e和n0分別是電子電荷和濃度。一階項為 (7.2.13)假設電子遵循Maxwell-Boltzmann分布因為，所以是正值。 (7.2.14)其中譜函數平方在（或）的極限下，引入新變量則在低溫極限下（）能量指數另外，在低溫極限下（）。所以，則 (7.2.15)用代入則. (7.2.16)將和代