1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值求解方法例1設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,s12>0,s130,(1)求公差d的取值范圍；(2)指出sS2,，S12中哪一個(gè)值最大，并說明理由解析(1)由a3=12,得:a1+2d=12,即a1=12-2d,Sl2>0,得:S1312*1112 al+213*1213 al+2d0,所以d0,所以因此,d的取值范圍為(-24,-3).7d>-24,7d<-3,(2)解法一：ana1(n1)d=12-2d+(n-1)d=12+(n-3)d令an°,由(1)知:得：n<3-,d24<d<-3,一13所以，2

2、一*一.又nN，故由等差數(shù)列的單調(diào)性可知：當(dāng)n6時(shí),當(dāng)n>6時(shí)，an0,因此，S6最大.解法二：由題意可得：S產(chǎn)na1+n(n1)d=n(12-2d)+22nn,d2(125d)n顯然d0,Sn是關(guān)于自變量n的二次函數(shù),由(1)知：d<0,二次函數(shù)的圖像拋物線的對(duì)稱軸為512n=2d由(1)知:一5所以6<52247d3，1213d2,又因?yàn)閚N,故當(dāng)n=6時(shí)，Sn最大,即%最大.*1,_21例2已知等差數(shù)列an,anN,Sn=-an2)2.若bn-an30,求數(shù)列bn的前n82項(xiàng)和的最小值.分析：由Sn與an的關(guān)系，可寫出8nl與an1之間的關(guān)系，兩式作差，即可得出an1與

3、an間的關(guān)系；bn的前n項(xiàng)和最小，估計(jì)bn的前n項(xiàng)均為負(fù)值，后面均為正值，所有負(fù)值之和為最小.-1,-21,一2斛an1=Sn1-Sn=-(Hn12)-(Hn2),88即8an1=(an1+2)2-(an+2)2,所以(an1-2)2-(an+2)2=0,即(an1+an)(an1-an-4)=0,*因?yàn)閍nN，所以an1+an0,即an1-an-4=0,所以an1-an=4,因此等差數(shù)列an的公差大于0.1,八、2一a=8=一(q2),斛信a1二2.81一所以an=4n-2,貝Ubnan30=2n-31.2即數(shù)列bn也為等差數(shù)列且公差為2.由312n310292（n1）31。，解得萬E*一因?yàn)閚N,所以n=15,故bn的前15項(xiàng)為負(fù)值,因此s15最小,可知b=-29,d=2,所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和的最小值為15(2921531)5=-225.2小結(jié)：若an是等差數(shù)列，求前n項(xiàng)和的最值時(shí):an0若ai>0,d<0,當(dāng)滿足an10時(shí)，前n項(xiàng)和&最大；an0若a1<0,d>0,當(dāng)滿足an10時(shí)，前n項(xiàng)和&最小；除以上方法外，還可將an的前n項(xiàng)和的最值