1、第一講數(shù)的整除問(wèn)題一、基本概念和知識(shí)：1、整除：定義：一般地，如果a, b, c為整數(shù)，且a+b=c,我們就說(shuō)，a能被b整除(或者說(shuō)b 能整除a)。用符號(hào)“ b| a ”表示。2、因數(shù)和倍數(shù)：b (c)是a的因數(shù)(或約數(shù)),最大因數(shù)是它本身。如果a能被b整除,即a+ b=ca是b (c)的倍數(shù).的因數(shù)：;的因數(shù)：;的因數(shù)：;的因數(shù)：的因數(shù)：的因數(shù)：由a+b=c得：a=bxc,我們就說(shuō)提醒：一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是有限的，最小因數(shù)是1 ,練習(xí)：寫(xiě)出下面每個(gè)數(shù)的所有的因數(shù)：1的因數(shù)：;72的因數(shù)：;83的因數(shù)：;94的因數(shù)：;106的因數(shù)：;125的因數(shù)：;11公因數(shù)(公約數(shù))：幾個(gè)自然數(shù)公有的因數(shù)，叫

2、做這幾個(gè)自然數(shù)的公因數(shù)(公約數(shù))。如：3和4的公因數(shù)是： , 6和8的公因數(shù)是： 3、質(zhì)數(shù)與合數(shù)：在上面的題目中，我們發(fā)現(xiàn)，1只有1個(gè)因數(shù)，有些數(shù)只有2個(gè)因數(shù)，還有些數(shù)有很多因數(shù)。根據(jù)因數(shù)的多少，我們可以把 大于1的自然數(shù)分為兩類：質(zhì)數(shù)與合數(shù) 。(1)質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))。(2) 合數(shù)：一個(gè)數(shù)，除了 1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。(3 ) 0和1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。、請(qǐng)寫(xiě)出20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)：注意：最小的質(zhì)數(shù)是,質(zhì)數(shù)里面除了 是偶數(shù)外，其它都是 數(shù)。4、互質(zhì)數(shù)：公因數(shù)只有1的兩個(gè)自然數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。這里所說(shuō)的“兩個(gè)數(shù)”是指除0外的所

3、有自然數(shù)?！肮驍?shù)只有1”，不能誤說(shuō)成“沒(méi)有公因數(shù)?！崩纾?與7、13與19、3與10、5與26等等4、質(zhì)因數(shù)每個(gè)合數(shù)都可以寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，它們叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)練習(xí)：13X4=52,13和4都是52的因數(shù)嗎？ 13和4都是52的質(zhì)因數(shù)嗎？分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)練習(xí)一把下列各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)(1) 21(2) 42(3) 36當(dāng)數(shù)字比較大的時(shí)候，我們用 短除法可以快速的分解質(zhì)因數(shù)例題一用短除法把下列各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)(1) 180(2) 630練習(xí)1、把下列各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)(1) 960(2) 25202、(第九屆小學(xué)

4、希望杯全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)在小于30的質(zhì)數(shù)中，加3以后是4的倍數(shù)的是3、(2012年第十屆希望杯試題)只能被 1和他本身整除的自然數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，如：2,3,5,7等，那么，比40大并且比50小的質(zhì)數(shù)是 ，小于100的最大的質(zhì)數(shù)是 。4、(第七屆希望杯試題) 若用G(a)表示自然數(shù)a的約數(shù)的個(gè)數(shù)，如：自然數(shù)6的約數(shù)有1、 2、3、6,共 4 個(gè)，記作 G (6) =4,則 G(36)+G(42)= 5、(2016 年第十四屆希望杯)已知a,b,c 都是質(zhì)數(shù)，若a x b+b x c=119 ,則a+b+c=.二、數(shù)的整除性：1、能被 2 整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)一定是0， 2， 4， 6 或 8。偶數(shù)：

5、能被2整除的整數(shù)稱為偶數(shù)，如： 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,奇數(shù)：不能被2整除的整數(shù)稱為奇數(shù)。如： 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,偶數(shù)和奇數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)X偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)X奇數(shù)=偶數(shù)， 奇數(shù)x奇數(shù)=奇數(shù)。提醒：（ 1 ）如果兩個(gè)整數(shù)的和（或者差）是偶數(shù)，那么這兩個(gè)整數(shù)的奇偶性相同；（ 2）如果兩個(gè)整數(shù)的和（或者差）是奇數(shù)數(shù)，那么這兩個(gè)整數(shù)的奇偶性相反；2、能被5 整除的數(shù)的特征是：個(gè)位是 0 或 53、能被3 整除的數(shù)的特征是：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被3 整除如

6、：27, 215 等等4、能被9 整除的數(shù)的特征是：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被9 整除如：81, 216 等等5、能被4 或 25 整除的數(shù)的特征是：末兩位數(shù)能被4 或 25 整除如： 264 能被 4整除， 150 能被 25整除6、能被8或 125整除的數(shù)的特征是：末三位數(shù)能被8 或 125整除 。如： 2168 能被 8 整除，不能被125 整除7、能被7（ 11 或 13 ）整除的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差， （大減?。┠鼙?（ 11 或 13 ）整除例如：判斷 1540 是否是 7 的倍數(shù)？解：把 1540 分成 1 和 540 兩個(gè)數(shù)，因?yàn)?40-1=53

7、9，由 539 能被 7 整除，所以1540 能被 7整除，因此1540 是 7 的倍數(shù)例題1、已知六位數(shù) 西?兔"能被3整除，數(shù)字a=?解：2+5+7+a+3+8=25+a,要使25+a能被3整除，數(shù)字a只能是2, 5或8。即符合題意的a 是2, 5或8。例題2、五位數(shù)48A1B能同時(shí)被2,3,5整除，則A=, B=。例題3、（2012年第十屆希望杯決賽）如果六個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積是135135,則這六個(gè)數(shù)的和是 O練習(xí)：1、（第六屆小學(xué)“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）若9位數(shù)2008口 2008能夠被3整除，則口里的數(shù)是2、（第十一屆中環(huán)杯初賽）已知a24b8是一個(gè)五位數(shù)，且是 8的倍數(shù)，

8、則 a24b8最大是,最小是3、四位數(shù)8A1B-能同日被2,3,5整除，則這個(gè)四位數(shù)是 .4、（第十一屆2013年“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）在 2013的質(zhì)因數(shù)中，最大的質(zhì)因數(shù)與最小的質(zhì)因數(shù)的乘積是（）。5、（第十一屆2013年“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）喜羊羊打開(kāi)一本書(shū)，發(fā)現(xiàn)左右兩頁(yè)的頁(yè)碼數(shù)的乘積是420,則這兩頁(yè)的頁(yè)碼數(shù)的和是（）。6、（2014年第十二屆希望杯初賽試題）自然數(shù)a是3的倍數(shù)，a-1是4的倍數(shù)，a-2是5的倍數(shù)，則a最小是 57。分析：從題目中可以看出，這個(gè)數(shù) a是3的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)余1,也是5的倍數(shù)余2.可以用枚舉法，先從 5的倍數(shù)余2考慮，末尾應(yīng)該是 2或者7.末尾是2

9、,不符合4的倍數(shù)余1,所以末尾肯定是 7.從小到大枚舉：7,17,27,37,47,57. 只有57符合。三、整除的性質(zhì):1、如果a、b都能被c整除，那么他們的和與差也能被c整除.例如：9能被3整除，81也能被3整除，那么81+9=90,81-9=72都能被3整除。2、（* ）如果a能被b整除，a也能被c整除，并且b、c互質(zhì)（除1以外，沒(méi)有其它公共因數(shù)），那么，a就能被b和c的乘積整除。例如：24能被3整除，24也能被4整除，由于3和4互質(zhì)，所以24也能被3X4=12整除。例題4、在3口2口的方框里填入合適的數(shù)字，使組成的四位數(shù)是能被15整除的數(shù)中最大的一個(gè)，這個(gè)數(shù)是多少？（山東省小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)

10、賽初賽試題）解：因?yàn)?5=3X 5,且3和5互質(zhì)。所以，只需分別考察能被 3和5整除的情形。由能被5整除的數(shù)的特征知，組成的四位數(shù)的個(gè)位上是5或0。再據(jù)能被3整除的數(shù)的特征試算，若個(gè)位上是 5,則有3 + 2 + 5=100可推知，百位上最大可填入 8。即組成的四位數(shù)是3825;若個(gè)位上是0,則有3 + 2+0=5o可推知，百位上最大可填入 7。即組成 的四位數(shù)是3720。 故知，這個(gè)數(shù)是3825。例題5、（第十一屆2013年“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）一個(gè)數(shù)除以3余2,除以4余3,除以5余4,則這樣的數(shù)中最小的是（）。例題6、（2012年第十屆希望杯試題）有一筐桃子，4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)，多2個(gè)；6個(gè)

11、6個(gè)地?cái)?shù), 多4個(gè)；8個(gè)8個(gè)地?cái)?shù)，少2個(gè)。已知這筐桃子的個(gè)數(shù)不少于 120,也不多于150,則這筐 桃子共有 個(gè)。練習(xí)：1、（2016年第十四屆希望杯 ）若六位數(shù)a2016b能被12整除，則這樣的六位數(shù)有 個(gè)。2、（第十一屆2013年“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題）如果一個(gè)小于100的自然數(shù)除以3,除以4,除以5都余2,那么這個(gè)數(shù)最小是 ,最大是鞏固練習(xí)：1、36 的因數(shù)有（1,2,3,4, 6,9,12,18,36 ）,它的質(zhì)因數(shù)有（2,3）。2、有三個(gè)小朋友，他們的年齡正好是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，且他們年齡的積是210,這三個(gè)小朋友的年齡分別是（5 ）歲、（6 ）歲、（7 ）歲。解：用短除法

12、分解質(zhì)因數(shù)：210=2 X 3X 5X 7=5X 6X 73、有一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬都是整厘米數(shù)，面積是231平方厘米。這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是（）、（）解：用短除法分解質(zhì)因數(shù)： 231=3X7X11則此長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬有以下幾種情況：1、長(zhǎng)3X7=21cm ,寬11cm ; 2、長(zhǎng)3X11=33cm ,寬 7cm ; 3、長(zhǎng) 7X11=77cm ,寬 3cm。4、若9位數(shù)2016口 2016能夠被9整除，則口里的數(shù)是 9解：個(gè)位數(shù)字之和是 9的倍數(shù)，可以得出，方框內(nèi)應(yīng)填“9”5、某個(gè)自然數(shù)，被 3除余2,被5除余4,被7除余6,這個(gè)自然數(shù)最小是 。6、已知五位數(shù)A329B能同時(shí)被8和9整除，貝U

13、 A= 5, B= 6。分析：根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，后三位應(yīng)該能被8整除，29B除以8,列 豎式，可以推算出B=6o然后根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，各位數(shù)字之和能被9 整除，所以A=5.7.五位數(shù)船97A能被12整除，這個(gè)五位數(shù)是 8、一位采購(gòu)員買了 72個(gè)微波爐，在記賬本上記下這筆賬。由于他不小心，火星落在賬本上把這筆賬 的總數(shù)燒掉了兩個(gè)數(shù)字。賬本是這樣寫(xiě)的：72個(gè)微波爐，共用去口 679口元（口為被燒掉的數(shù)字），請(qǐng)你幫忙把這筆賬補(bǔ)上。應(yīng)是 元。（注：微波爐單價(jià)為整數(shù)元）。解：72只桶共用去a67.9b元，把它改寫(xiě)成a679b分后，應(yīng)能被72整除。72=8X 9, 8和9互質(zhì)， 若8能整除它，9能整除它，72就一定能整除它。由能被8整除的數(shù)的特征（末三位數(shù)能被 8整除）知，79b能被8整除，則b=2;由能被9整除 的數(shù)的特征知，a+6 + 7+9 + 2=a+24能被9整除，貝ij a=3。故這筆賬應(yīng)是36792元。9、要使六位數(shù)15ABe6能被36整除，而且所得的商最小，問(wèn)A, B, C各代表什么數(shù)字？分析與解：因?yàn)?36=4X9,且4與9互質(zhì)，所以這個(gè)六位數(shù)應(yīng)既能被4整除又能被9整除。六位數(shù)夜百而能被4整除，就要C6能被4整除，因此C可取1,3, 5, 7, 9。要使所得的商最小， 就要使15ABC6這個(gè)