1、圓有關的軌跡問題一、選擇題1. 已知圓x2+y2=4，過A（4，0）作圓的割線ABC，則弦BC中點的軌跡方程是（）A. （x-2）2+y2=4B. （x-2）2+y2=4（0x1）C. （x-1）2+y2=4D. （x-1）2+y2=4（0x1）2. 已知M是圓C：x2+y2=1上的動點，點N（2，0），則MN的中點P的軌跡方程是（）A. （x-1）2+y2=B. （x-1）2+y2=C. （x+1）2+y2=D. （x+1）2+y2=3. 已知兩定點A（-2，0），B（1，0），若動點P滿足|PA|=2|PB|，則P的軌跡為（）A. 直線B. 線段C. 圓D. 半圓4. 在正方體ABCD-A

2、1B1C1D1中，點M、N分別是直線CD、AB上的動點，點P是A1C1D內的動點（不包括邊界），記直線D1P與MN所成角為，若的最小值為，則點P的軌跡是（）A. 圓的一部分B. 橢圓的一部分C. 拋物線的一部分D. 雙曲線的一部分5. 已知兩定點A（-3，0），B（3，0），如果動點P滿足|PA|=2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于（）A. B. 4C. 9D. 166. 復數z滿足條件：|2z+1|=|z-i|，那么z對應的點的軌跡是（）A. 圓B. 橢圓C. 雙曲線D. 拋物線二、填空題7. 在平面直角坐標系xoy中，A，B是圓x2+y2=4上的兩個動點，且AB=2，則線段AB

3、中點M的軌跡方程為_ 8. 自圓x2+y2=4上點A（2，0）引此圓的弦AB，則弦的中點的軌跡方程為_ 9. 已知動圓M與圓C1：（x+1）2+y2=1，圓C2：（x-1）2+y2=25均內切，則動圓圓心M的軌跡方程是_10. 已知圓x2+y2=4，B（1，1）為圓內一點，P，Q為圓上動點，若PBQ=90°，則線段PQ中點的軌跡方程為_11. 在直角坐標系xOy中，已知A（-1，0），B（0，1），則滿足PA2-PB2=4且在圓x2+y2=4上的點P的個數為_12. 點A（0，2）是圓O：x2+y2=16內定點，B，C是這個圓上的兩動點，若BACA，求BC中點M的軌跡方程為_ 三、解

4、答題（本大題共5小題，共60.0分）13. 已知點P（2，2），圓C：x2+y2-8y=0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點（1）求M的軌跡方程；（2）當|OP|=|OM|時，求l的方程及POM的面積14. 已知圓C：（x+1）2+y2=8，點A（1，0），P是圓C上任意一點，線段AP的垂直平分線交CP于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡為曲線E（1）求曲線E的方程；（2）若直線l：y=kx+m與曲線E相交于M，N兩點，O為坐標原點，求MON面積的最大值15. 已知動圓C過定點F2（1，0），并且內切于定圓F1：（x+1）2+y2=16（1）求動圓圓心C

5、的軌跡方程；（2）若y2=4x上存在兩個點M，N，（1）中曲線上有兩個點P，Q，并且M，N，F2三點共線，P，Q，F2三點共線，PQMN，求四邊形PMQN的面積的最小值16. 已知圓N經過點A（3，1），B（-1，3），且它的圓心在直線3x-y-2=0上（）求圓N的方程；（）求圓N關于直線x-y+3=0對稱的圓的方程（）若點D為圓N上任意一點，且點C（3，0），求線段CD的中點M的軌跡方程17. 已知圓O：x2+y2=4及一點P（-1，0），Q在圓O上運動一周，PQ的中點M形成軌跡C（1）求軌跡C的方程；（2）若直線PQ的斜率為1，該直線與軌跡C交于異于M的一點N，求CMN的面積答案和解析【答

6、案】1. B2. A3. C4. B5. D6. A7. x2+y2=3  8. （x-1）2+y2=1，（x2）  9.   10. x2+y2-x-y-1=0  11. 2  12. x2+y2-2y-6=0  13. 解：（1）由圓C：x2+y2-8y=0，得x2+（y-4）2=16，圓C的圓心坐標為（0，4），半徑為4設M（x，y），則，由題意可得：即x（2-x）+（y-4）（2-y）=0整理得：（x-1）2+（y-3）2=2M的軌跡方程是（x-1）2+（y-3）2=

7、2（2）由（1）知M的軌跡是以點N（1，3）為圓心，為半徑的圓，由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ONPMkON=3，直線l的斜率為-直線PM的方程為，即x+3y-8=0則O到直線l的距離為又N到l的距離為，|PM|=  14. 解：（）點Q 在線段AP 的垂直平分線上，|AQ|=|PQ|又|CP|=|CQ|+|QP|=2，|CQ|+|QA|=2|CA|=2曲線E是以坐標原點為中心，C（-1，0）和A（1，0）為焦點，長軸長為2的橢圓設曲線E的方程為=1，（ab0）c=1，a=，b2=2-1=1曲線E的方程為（）設M（x1，y1），N（

8、x2，y2）聯立消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0此時有=16k2-8m2+80由一元二次方程根與系數的關系，得x1+x2=，x1x2=，|MN|= 原點O到直線l的距離d=-，SMON=，由0，得2k2-m2+10又m0，據基本不等式，得SMON=，當且僅當m2=時，不等式取等號MON面積的最大值為  15. 解：（1）設動圓的半徑為r，則|CF2|=r，|CF1|=4-r，所以|CF1|+|CF2|=4|F1F2|，由橢圓的定義知動圓圓心C的軌跡是以F1，F2為焦點的橢圓，a=2，c=1，所以，動圓圓心C的軌跡方程是（2）當直線MN斜率不存在時，直線

9、PQ的斜率為0，易得|MN|=4，|PQ|=4，四邊形PMQN的面積S=8當直線MN斜率存在時，設其方程為y=k（x-1）（k0），聯立方程得，消元得k2x2-（2k2+4）x+k2=0 設M（x1，y1），N（x2，y2），則 PQMN，直線PQ的方程為，得（3k2+4）x2-8x+4-12k2=0 設P（x3，y3），Q（x4，y4），則 四邊形PMQN的面積，令k2+1=t，t1，上式，令2t+1=z，（z3），（z3），S8（1+0）=8，綜上可得S8，最小值為8  16. 解：（）由已知可設圓心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，從而有，解得：a=2

10、于是圓N的圓心N（2，4），半徑所以，圓N的方程為（x-2）2+（y-4）2=10（）N（2，4）關于x-y+3=0的對稱點為（1，5），所以圓N關于直線x-y+3=0對稱的圓的方程為（x-1）2+（y-5）2=10（）設M（x，y），D（x1，y1），則由C（3，0）及M為線段CD的中點得：，解得：又點D在圓N：（x-2）2+（y-4）2=10上，所以有（2x-3-2）2+（2y-4）2=10，化簡得：故所求的軌跡方程為  17. 解：（1）設M（x，y），則Q（2x+1，2y），Q在圓x2+y2=4上，（2x+1）2+4y2=4，即（x+）2+y2=1軌跡C的方程是（x

11、+）2+y2=1（2）直線PQ方程為：y=x+1，圓心C到直線PQ的距離為d=，|MN|=2=，CMN的面積為=  【解析】1. 解：設弦BC中點（x，y），過A的直線的斜率為k，割線ABC的方程：y=k（x-4）；作圓的割線ABC，所以中點與圓心連線與割線ABC垂直，方程為：x+ky=0；因為交點就是弦的中點，它在這兩條直線上，故弦BC中點的軌跡方程是：x2+y2-4x=0如圖故選B結合圖形，不難直接得到結果；也可以具體求解，使用交點軌跡法，見解答本題考查形式數形結合的數學思想，軌跡方程，直線與圓的方程的應用，易錯題，中檔題2. 解：設線段MN中點P（x，y），則M（2x

12、-2，2y）M在圓C：x2+y2=1上運動，（2x-2）2+（2y）2=1，即（x-1）2+y2=故選A設出線段MN中點的坐標，利用中點坐標公式求出M的坐標，根據M在圓上，得到軌跡方程本題考查中點的坐標公式、求軌跡方程的方法，考查學生的計算能力，屬于基礎題3. 解：設P點的坐標為（x，y），A（-2，0）、B（1，0），動點P滿足|PA|=2|PB|，平方得（x+2）2+y2=4（x-1）2+y2，即（x-2）2+y2=4P的軌跡為圓故選：C設P點的坐標為（x，y），利用兩點間的距離公式表示出|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，化簡整理得答案本題考查動點的軌跡的求法，著重考查了兩

13、點間的距離公式、圓的標準方程，屬于中檔題4. 解：把MN平移到面A1B1C1D1中，直線D1P與MN所成角為，直線D1P與MN所成角的最小值，是直線D1P與面A1B1C1D1所成角，即原問題轉化為：直線D1P與面A1B1C1D1所成角為，點P在面A1B1C1D1的投影為圓的一部分，點P是A1C1D內的動點（不包括邊界）則點P的軌跡是橢圓的一部分故選：B把MN平移到面A1B1C1D1中，直線D1P與MN所成角為，直線D1P與MN所成角的最小值，是直線D1P與面A1B1C1D1所成角，即原問題轉化為：直線D1P與面A1B1C1D1所成角為，求點P的軌跡點P在面A1B1C1D1的投影為圓的一部分，則

14、點P的軌跡是橢圓的一部分本題考查了空間軌跡問題，考查了轉化思想，屬于中檔題5. 解：設P（x，y），則|PA|=，|PB|=，|PA|=2|PB|，（x+3）2+y2=4（x-3）2+y2，即x2+y2-10x+9=0，化為標準式方程得（x-5）2+y2=16即P的軌跡所包圍的圖形為半徑為4的圓，該圓的面積S=×42=16故選：D設出P點坐標，根據|PA|=2|PB|列出方程整理出P的軌跡方程，判斷圖形計算面積本題考查了軌跡方程的求法，屬于基礎題6. 解：設復數z=x+yi，x，yR，|2z+1|=|z-i|，|2z+1|2=|z-i|2，（2x+1）2+4y2=x2+（y-1）2，

15、化簡可得3x2+3y2+4x+2y=0，滿足42+22-4×3×0=200，表示圓，故選：A 設復數z=x+yi，x，yR，由模長公式化簡可得本題考查復數的模，涉及軌跡方程的求解和圓的方程，屬基礎題7. 解：由題意，OMAB，OM=，線段AB中點M的軌跡方程為x2+y2=3，故答案為x2+y2=3由題意，OMAB，OM=，即可求出線段AB中點M的軌跡方程本題考查軌跡方程，考查垂徑定理的運用，比較基礎8. 解：設AB中點為M（x，y），由中點坐標公式可知，B點坐標為（2x-2，2y）B點在圓x2+y2=4上，（2x-2）2+（2y）2=4故線段AB中點的軌跡方程為（x-1）2

16、+y2=1不包括A點，則弦的中點的軌跡方程為（x-1）2+y2=1，（x2）故答案為：（x-1）2+y2=1，（x2）設出AB的中點坐標，利用中點坐標公式求出B的坐標，據B在圓上，將P坐標代入圓方程，求出中點的軌跡方程本題主要考查軌跡方程的求解，應注意利用圓的特殊性，同時注意所求軌跡的純粹性，避免增解9. 解：設動圓的圓心為：M（x，y），半徑為R，動圓與圓M1：（x+1）2+y2=1內切，與圓M2：（x-1）2+y2=25內切，|MM1|+|MM2|=R-1+5-R=6，|MM1|+|MM2|M1M2|，因此該動圓是以原點為中心，焦點在x軸上的橢圓，2a=4，c=1 解得a=2，根據a、b、

17、c的關系求得b2=3，橢圓的方程為：故答案為：首先根據圓與圓的位置關系確定出該動圓是橢圓，然后根據相關的兩求出橢圓的方程本題考查的知識點：橢圓的定義，橢圓的方程及圓與圓的位置關系，相關的運算問題10. 解：設PQ的中點為N（x，y），在RtPBQ中，|PN|=|BN|，設O為坐標原點，則ONPQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+（x-1）2+（y-1）2=4故線段PQ中點的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0故答案為：x2+y2-x-y-1=0利用直角三角形的中線等于斜邊長的一半得到|PN|=|BN|，利用圓心與弦中點連線垂直弦，利用勾股定理得到

18、|OP|2=|ON|2+|PN|2，利用兩點距離公式求出動點的軌跡方程本題考查中點坐標公式、直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、圓心與弦中點的連線垂直弦、相關點法求動點軌跡方程11. 解：設P（x，y），A（-1，0），B（0，1），由PA2-PB2=4，得（x+1）2+y2-x2-（y-1）2=4整理得：x+y=2聯立，解得：或P點坐標為（0，2）或（2，0）即滿足條件的P點的個數為2故答案為：2設出P點的坐標，由已知等式求出P點的軌跡方程，和圓的方程聯立求解P點的坐標，則答案可求本題考查了軌跡方程的求法，考查了方程組的解法，是中檔題12. 解：設M（x，y），連接OC，OM，MA，則由垂徑

19、定理，可得OMBC，OM2+MC2=OC2，AM=CM，OM2+AM2=OC2，x2+y2+x2+（y-2）2=16，即BC中點M的軌跡方程為x2+y2-2y-6=0故答案為：x2+y2-2y-6=0設M（x，y），連接OC，OM，MA，則由垂徑定理，可得OMBC，OM2+MC2=OC2，即可求BC中點M的軌跡方程垂徑定理的使用，讓我們在尋找M的坐標中的x與y時，跳過了兩個動點B，C，而直達一個非常明確的結果，減少了運算量13. （1）由圓C的方程求出圓心坐標和半徑，設出M坐標，由與數量積等于0列式得M的軌跡方程；（2）設M的軌跡的圓心為N，由|OP|=|OM|得到ONPM求出ON所在直線的斜率，由直線方程的點斜式得到PM所在直線方程，由點到直線的距離公式求出O到l的距離，再由弦心距、圓的半徑及弦長間的關系求出PM的長度，代入三角形面積公式得答案本題考查圓的軌跡方程的求法，訓練了利用向量數量積判斷兩個向量的垂直關系，訓練了點到直線的距離公式的應用，是中檔題14. （1）根據橢圓的定義和性質，建立方程求出a，b即可（2）聯立直線和橢圓方程，利