1、三角形的心三角形只有五種心重心：三中線的交點，三角形的三條中線交于一點，這點到頂點的距離是它到對邊中點距離的 2 倍；垂心：三高的交點；內心：三內角平分線的交點，是三角形的內切圓的圓心的簡稱；外心：三中垂線的交點；旁心：一條內角平分線與其它二外角平分線的交點.(共有三個.)是三角形的旁切圓的圓心的簡稱.當且僅當三角形是正三角形的時候，四心合一心，稱做正三角形的中心.1 三角形重心重心是三角形三邊中線的交點，三線交一可用燕尾定理證明,十分簡單。證明過程又是塞瓦定理的特例。已知：ABC 中，D 為 BC 中點，E 為 AC 中點，AD 與 BE 交于 O,CO 延長線交 AB 于 F。求證：F 為

2、 AB 中點。證明：根據燕尾定理，SAAOB=SAOC,又 SAAOB=SBOC，.二 SAOC=SABOC,再應用燕尾定理即得 AF=BF,命題得證。重心的幾條性質：1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為 2:1。2、重心和三角形 3 個頂點組成的 3 個三角形面積相等。3、重心到三角形 3 個頂點距離的平方和最小。4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均，即其坐標為(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3):空間直角坐標系橫坐標：(X1+X2+X3)/3 縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標：(z1+z2+z3)/35、三角形內到三邊距離之積最大的點。

3、重心三條中線定相交，交點位置真奇巧，交點命名為重心”，重心性質要明了，重心分割中線段，數段之比聽分曉；長短之比二比一，靈活運用掌握好.2 三角形垂心的性質設ABC 的三條高為 AD、BE、CF,其中 D、E、F 為垂足，垂心為 H,角 A、B、C 的對邊分別為a、b、c,p=(a+b+c)/2.1、銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角豚的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心；3、垂心 H 關于三邊的對稱點，均在ABC 的外接圓上。4、ABC 中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且 AHH

4、D=BHHE=CHHF。5、H、A、B、C 四點中任一點是其余三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一一垂心組)。6、ABC,ABH,BCH,ACH 的外接圓是等圓。7、在非直角三角形中，過 H 的直線交 AB、AC 所在直線分別于 P、Q,則 AB/APtanB+AC/AQtanC=tanA+tanB+tanC。8、三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的 2 倍。9、設 O,H 分別為ABC 的外心和垂心，則/BAO=/HAC,/ABH=/OBC,/BCO=/HCA。10、 銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之和的2 倍。11、 銳角三角形的垂心是垂足

5、三角形的內心；銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。12、西姆松(Simson)定理(西姆松線)從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的重要條件是該點落在三角形的外接圓上。3 三角形內心囪定義在三角形中，三個角的角平分線的交點是這個三角形內切圓的圓心而三角形內切畫的圓心就叫做三角形的內心，三角形內心的性質I(r)，角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c,p=(a+b+c)/21、三角形的三條角平分線交于一點，該點即為三角形的內心.2、三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑 r.設ABC 的內切圓為。3、r=S/p.4、在 RtABC 中，/C=90

6、,r=(a+b-c)/2.5、/BIC=90+A/2.6、點 O 是平面 ABC 上任意一點，點 I 是ABC 內心的充要條件是:a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC 尸向量 0.7、點 O 是平面 ABC 上任意一點，點 I 是ABC 內心的充要條件是：向量 OI=a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)/(a+b+c).8、/ABC 中，A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那么ABC 內心 I 的坐標是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)

7、.9、(歐拉定理)2ABC 中，R 和 r 分別為外接圓為和內切圓的半徑，O 和 I 分別為其外心和內心，則 OIA2=RA2-2Rr.10、(內角平分線分三邊長度關系)/ABC 中，0 為內心，/A、/B、ZC 的內角平分線分別交 BC、AC、AB 于Q、P、R,貝 UBQ/QA=a/b,CP/PA=a/c,BR/RC=c/b.三角形外心定義三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形外心的性質設ABC 的外接圓為。G(R),角 A、B、C 的對邊分別為 a、b、c,p=(a+b+c)/2.1、三角形三條邊的垂直平分線的交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心.2、銳角三角形的外心在三角形內；鈍角

8、三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合.3、GA=GB=GC=R.3、/BGC=2/A,或/BGC=2(180-/A).4、R=abc/4S 力 ABC.5、點 G 是平面 ABC 上一點，那么點 G 是力 ABC 外心的充要條件是：(向量 GA+向量 GB)向量 AB=(向量 GB+向量 GC)向量 BC=(向量 GC+向量 GA)向量 CA=向量 0.6、點 G 是平面 ABC 上一點，點 P 是平面 ABC 上任意一點，那么點 G 是力 ABC 外心的充要條件是：向量 PG=(tanB+tanC)向量 PA+(tanC+tanA)向量 PB+(tanA+tanB)向量 PC)/2(tanA+tanB+tanC).7、點 G 是平面 ABC 上一點，點 P 是平面 ABC 上任意一點，那么點 G 是力 ABC 外心的充要條件是：向量 PG=(cosA/2sinBsinC)向量 PA+(cosB/2sinCsinA)向量 PB+