1、.z；:(0,0)二1網z(:cos1,：sin)-z(0,0)全微分、方向導數、偏導數與連續四者之間的關系朱麗娜鄭州工業安全職業學院451192摘要本文結合具體實例分三種情況分別討論了二元函數的全微分、偏導數和連續之間的關系，全微分存在和任意方向的方向導數存在之間的關系，任意方向的方向導數、偏導數和連續之間的關系，從而得出他們四者之間的所有關系。關鍵詞全微分，任意方向上的方向導數，偏導數，連續對于多元函數的偏導數、方向導數、偏導數和連續等基本概念及其內在聯系，既是多元函數微分學中的重難點知識，也是我們教學過程中容易出現的誤解和錯誤盲點.本文就該問題分三種情況、以二元函數為例來加以闡述，以做到

2、加強理解和靈活掌握的目的.一、全微分、偏導數和連續三者之間的關系定理1：（必要條件）如果函數z=f（x,y）在點（x,y）可微分，則該函數在點（x,y）連續且一階偏導數存在.定理2：（充分條件）函數z=f（x,y）在點（,y0）處對x,y的一階偏導數存在且連續，則在該點處必可微分.讀者還可以從可微的定義看到函數在可微點處必連續，但是在函數的連續點處不一定存22在偏導數，當然更不能保證函數在該點可微.如z=Jx+y在原點連續，但是在該點處偏導數不存在，也不可微.偏導數存在，函數卻不一定可微，也不一定連續.二、全微分存在和任意方向的方向導數存在之間的關系定理3：函數z=f（x,y）在點（%,%）處

3、可微分，則在該點處任意方向上的方向導數存在，反之不成立.例1：函數z=Jx2+y2在點（0,0）處對x,y的全微分不存在，但在該點處沿任意方向的方向導數存在.證明：生=啊z-0。8（0,0）甌1im1Ax0 x-1,x二0,故z=Jx2+y2在點（0,0）處對x的偏導數不存在,同理z=Jx2+y2在點（0,0）處對y的偏導數不存在,由定理1z=Jx2+y2在點（0,0）處又x,y的全微分不存在.2在點（0,0）處沿任意方向的方向導數為即任意方向上的方向導數存在.三、任意方向的方向導數、偏導數和連續之間的關系咱們下面介紹一個更易出錯的概念，大多數人以為“若函數在一點處沿任意方向的方向導數存在，則

4、函數在該點處必連續”.這是一個完全錯誤的概念，如：7,x2y2；0,4,y,它在任意方向上的方向導數為:=0,11一亍=一z（00）,即函數在該點不連續.2定理4：函數z=f（x,y）在點（xo,yo）沿任意方向上的方向導數存在，則在該點處偏導數必存在.證明：函數在點（%,%）的任意方向的方向導數為:(xo,yo)當Ay=0時，該方向導數即為函數在點（%,y0）的偏導數，即偏導數存在且為:例2:2xy:z.:1(0,0)=11moz(:cos：,Pcos:)-z(0,0)cos二cos2:2coscos2:,COSQ：”0,=cos;0,cos：=0,這一結果表明r2xyx2x2y4,0,x2

5、y2=0:0-在點（0,0）處沿任意萬向的萬向導數都存在.但是1im_z=limy=xx)0-xxx-0.zz(xox,yoy)-z(xo,y).z:x(xo,yo)=lim.J0z(xx,yo)-z(%,y)_；z：l(xo,yo)cz(y0)1(x0,y0)存在.該定理還有兩個結論:結論1：函數函數z=f（x,y）在點（5,y）處的偏導數存在，但在該點沿任意方向上的方向導數不一定存在.彳，x2,y2:0,3 啟口上.、27在點（0,0）處又x,y的偏導數存在，但在該點處沿0,xy=0,任意方向的方向導數不存在.同理，一=0存在:Y（0,0）但該函數沿任意方向上的方向導數:z(:COSF,：

6、sin)-z(0,0)P：2cosE：sinsin21.1.=lim0=二端行不存在結論2:函數函數z=f（x,y）在點（x0,y0）處的偏導數不存在，但在該點沿任意方向上的方向導數可能存在.例4：函數z=Jx2+y2在點（0,0）處對x,y的偏導數不存在，但在該點處沿任意方向的方向導數存在.證明：函數z=x2+y2在點（0,0）處對x,y的偏導數為：故函數在點（0,0）處對x的偏導數不存在，同理函數在點（0,0）處對y的偏導數不存在,由上面的例2知道函數在點（0,0）處沿任意方向的方向導數存在.定理5：函數z=f（x,y）在點（5,y）處對x,y的一階偏導數存在且連續，則在該點處沿任意方向的方向導數必存在.證明：由定理知函數z=f（x,y）在點（x0,y0）處可微分.又由定理知函數z=f（x,y）在點（,y0）處沿任意方向的方向導數必存在.xy例3：函數z=(x2y2)證明： ：zjx=lim(0,0)x0z(：x,0)-z(0,0)二0日（0,0）臣改(0,0)z(：x,0)-z(0,0)LxJ_1,-：x0,-1,x:0,（n2）函數性綜合以上分析知，上述研究問題的手段即是我們今后教學中研究多元質值得借鑒的基本方法，更為廣大同學的學習提供了一種討論類似數學問題的基本思路.參考文獻：1 .