1、高考（天津卷）立體幾何命題分析和復習建議王強一、考綱中對立體幾何與空間向量的要求（1）空間幾何體認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結構特征，并能運用這些特征描述現實生 活中簡單物體的結構；知道平行投影與中心投影的概念，了解空間圖形的不同表示形式；能畫出簡單空間圖形（長方體、棱柱、圓柱、圓錐、球等及其簡易組合）的三視圖， 能識別上述三視圖所表示的立體模型，會用斜二側法畫出它們的直觀圖；了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式 （不要求記憶公式）（2）點、直線、平面之間的位置關系理解空間直線、平面的位置關系的定義，并了解如下的公理和定理：定理 1、2、 3、4及定理：空間中如果一個角的兩邊與

2、另一個角的兩邊分別平行， 那么這兩個角相等 或互補；理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定定理。理解以下判定定理和性質定理：（判定定理和性質定理各4個，略）能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的位置關系的簡單命題。能根據定義解決兩條異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角的簡單計 算問題。（3）空間向量及其運算了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交 分解及其坐標表示；掌握空間向量的線性運算及其坐標表示；掌握空間向量的數量積及其坐標表示，能運用數量積判斷向量的共線與垂直；（4）空間向量的應用理解直線的方向向量與平面的法向量的概念；能用向量語言表述直

3、線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系；能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）能用向量方法解決兩條異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角的計算 問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用。、近四年高考立體幾何試題（天津卷）特點時間/分值選擇題填空題解答題知識點2010 年 （16 分）第12題第19題12,幾何體三視圖，體積計算公式；19,異面直線成角，線圓垂直，一面角；2009 年 （16 分）第12題第19題12,幾何體三視圖，體積計算公式；19,異面直線成角，卸圓垂直，一面角；2008 年 （21 分）第4題第12題第19題4,空間線面關系；

4、12,球與正方體；19,線面 垂直，異向直線成角，一面角；2007 年 （21 分）第6題第12題第19題6,直線、平囿平行與垂直；12,長方體、球的表面積；19,線線垂直，線回垂直，一面角；特點 1：題量、題號、分值相對穩定近年來高考試題中立體幾何部分在題型、題量、分值、難度等方面，均保持相對穩定。自 2009 年新課改高考由原來的兩道小題一道大題改成的一道小題一道大題。分值為 16 分，約占總分值（ 150 分）的10。特點 2：考小題，推陳出新有關立體幾何的小題，其考查的重點在于基礎知識。其中，三視圖、點直線平面之間的位置關系等知識的試題是重點考查內容。特別是三視圖，是新課改增加的內容，

5、突出了對立體圖形的認識，空間想象能力的要求。 09 年及 10 年均是以三視圖為背景考查規則或不規則幾何體體積的填空題。特點3：考大題，全面考查考查立體幾何的解答題中，一般是考查線、面之間的平行、垂直關系，線面角、二面角，面積、體積等問題，難度屬中等，主要考查學生對基本知識、基本方法、基本技能的理解、掌握和應用情況。其載體多為棱柱、棱錐等組合而成的多面體，解題方法趨于多樣化，重視了傳統方法和向量方法的有機結合。三、各地高考立體幾何中熱點問題縱觀 2010 年全國各地的高考試題，對立體幾何部分的考查基本上集中在以下幾個熱點問題上：熱點一、空間幾何體的結構及其三視圖、直觀圖從形式上看，以選擇、填空

6、為主。從內容上看，柱、錐、臺、球的定義和相關性質是基礎，以它們為載體考查線線、線面、面面的關系是重點，三視圖的還原在各地高考試題中頻繁出現。例如： 2010 年陜西， 7； 2010 年課標全國， 14； 2010 年浙江， 12 等等。熱點二、直線、平面的位置關系考查線線、線面、面面平行的判定和性質多以選擇題形式出現，屬容易題。例如：2010 年福建，6。考查線線、線面、面面垂直的判定和性質主要以證明題的形式出現，例如： 2010年北京， 16； 2010年遼寧， 19等等。熱點三、空間向量在立體幾何中的應用通常各地高考試題中都有一道立體幾何的綜合題，處于解答題的中間位置，難度不大。用向量法

7、來解可以降低難度，并且多數情況下傳統法、向量法都可以解題。例如：2010年山東，19; 2010年全國I, 19等等。四、立體幾何復習的幾點建議雖然近年來立體幾何試題在命題思路和方法上有些變化，但總體上還是保持了穩定，特別是解答題均是三問：一問是證線面垂直的，二問是異面直線成角，三問是求二面角。所以復習備考工作有章可循，有法可依。具體方法（ 1）依綱靠本，控制難度，強化通性通法，提高解題能力從近年高考立體幾何試題的命題來源來看， 很多題目是出自于課本， 或略高于課本。所以， 我們在復習備考中， 一定要依據考綱依靠課本， 進行一題多解和多題一解的教學，吃透教材的實質。同時還要控制好題目的難度，不

8、出偏題、怪題。應注重加強對典型例題 （ 可以考慮選用天津08、 09、 10 的考題作為典型例題 ） 的研究，挖掘題目中的隱含條件，弄清問題所表述的含義，做到對問題的真正理解，并可嘗試改變題目中某些條件，認真比較它們之間的聯系與區別，真正做到舉一反三。AiBiCiDi 中，E, F 分別是棱 BC , CC1例：(2010天津卷理數19)如圖，在長方體ABCD上的點，CF AB 2CE , AB : AD : AA1 1:2:4.(I)求異面直線EF與AD所成角的余弦值；(n)證明AF，平面AED ;(出)求二面角A ED F的正弦值.本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基

9、礎知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，滿分12分.點A為坐標原點，設AB 1,依題意得方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系3 D(0,2,0) ,F(1,2,1),A(0,0,4),E 1,3,0 .uur 1uuur(1)解：易得 EF0-,1 ,AD2uur uuurruuu uuuuEFgD于是 cos(EF, AD/uur|uuurEF AD2(0,2,35所以異面直線EF與A1D所成角的余弦值為3uuir1-,4,ED1-,022uuuruuur(2)證明：已知 AF (1,2,1), EA 1,uuir uur uur uuir于是

10、 AF EA=。，AF ED=0.因此，AF EA,AF，即1yz 021 cx - y 02ED,又EA ED E ,所以AF 平面AED .ru EF(3)解：設平面 EFD的法向量u (x, y,z)，則一 一. u ED不妨令x=1,可彳導u (1,2, 1).由(2)可知，AF為平面A1ED的一個法向量.日u AFu AF2 ,從而 sin：；u, AF ；：所以二面角Ai-ED-F的正弦值為 31萬法一：（1）解：設 AB=1 ,可得 AD=2, AAi=4, CF=1. CE=-.連接 BiC,BCi,設 BiC與 BCi 2交于點M,易知AiD/BiC,由CE CF 1

11、87;=一，可知CB CC1 4EF/BCi.故 BMC是異面直線EF與AiD所成的角，易知 BM = CM= 1b1C= J5,所以 cos BMC2BM 2 CM 2 BC22BM £M3，所以異面直線FE與5AiD所成角的余弦值為-5、r 、CD(2)證明：連接AC,設AC與DE交點N因為BCEC iAB 2所以 Rt DCE sRtCBA ,從而CDEBCA,6D又由于CDECED 90 ,所以BCACED 90 ,故AC，DE,又因為CCiDE且CC1 AC C ,所以DEL平面 ACF,從而AFXDE.所以連接BF,同理可證 BiC,平面ABF,從而AFBiC,所以AFX

12、AiD因為DEAF,平面 AiED.(3)解：連接 AiN.FN,由(2)可知DEL平面ACF,又NF平面 ACF, AiN平面ACF,所以DE±NF,DE±AiN,a ANF 為二面角 Ai-ED-F 的平面角易知 Rt CNE : Rt CBA ,CN EC所以BC ACAC 痣所以5CN 54x305Rt NCF中，NF CF2 CN230 在RtVRAA NN 中，NA1 JAA_AN75連接 AiCi,AiF 在 Rt ACiF 中，AiF J AC； CiF244.222 c.二在Rt ANF中，cos ANF 今A一 .所以 sin ANF 5.2AN?FN

13、33所以二面角 A1-DE-F正弦值為比較2010年天津第19題的兩種解法不難看出，向量方法比常規方法要簡單一些, 平時也有一些學生認為立體幾何這道題一律用向量法來解，這種想法不可取：一，不是 所有的題目都可以建系，二，向量的運算未必簡單。在復習過程中還應該加強常規思路 在解題中的應用。如：線段中點一一用中位線;（2010安徽卷理數）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形 ABCD是正方形，EF /AB ,EFFB , AB 2EF , BFC 90 , BF(I )求證：FH /平面EDB ;（出）求二面角BDE C的大小.(n)求證：AC 平面EDB ;解：第一問可以利用中位線得到平行。如：

14、確定二面角的平面角一一用三垂線定理或逆定理（2010四川理數）如圖，二面角l的大小是60。，線段AB .B l , AB與l所成的角為30。.則AB與平面所成的角的正弦值是? AB D-C - C解：過點A作平面B的垂線，垂足為 C,在B內過C作l的垂線.垂足為D.連結AD ,可知AD±l,故/ADC為二面角的平面角，為 60° .又由已知，ZABD = 30 .連結CB,則/ABC, 一_ a 一AD為 AB 與平面 所成的角.設 AD=2,則 AC=j3, CD=1, AB=0=4, .sinZABC =sin 300AC 3AB 4如：同一點出發三直線兩兩垂直建立空間

15、直角坐標系（2008年寧夏、海南理18）如圖，點P在正方體 ABCD AiBiCiDi的對角線BDi上，/PDA=60z（2）建立完整的知識網絡，突出轉化的數學思想在立體幾何的復習過程中要想辦法讓學生建立起完整的知識網絡，要突出這門學科的主干。如：為了使學生的知識網絡完備，平行與垂直可以進行比較，掌握它們的異同 點，以利于學生加深理解。又比如：在復習線線平行的證明方法時，可以總結梳理出以下四個證明的定理： 公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行；線面平行的性質定理：一條直線與一個 平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行；面面平行的性質 定理：兩個平面平行，則任意一個平面與這

16、兩個平面相交所得的交線相互平行；線面 垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。如何讓學生充分理解并掌握這些知識呢？培養學生“轉化”的數學思想是關鍵。轉 化（化歸）思想是立體幾何中核心的數學思想。在立體幾何中既有位置關系之間的轉化， 如：證面面垂直（平行）轉化為證線面垂直（平行），再轉化為證線線垂直（平行） 又有數與形的轉化，如用向量法解決立體幾何問題。再比如：關于角的度量，既要將異 面直線成角、直線與平面成角、二面角依據概念轉化為平面中的相交直線成角，又要學 會將其轉化為向量夾角等。例：（2009江蘇卷）（本小題滿分i4分）如圖，在直三棱柱AABC AiBiCi中，E、F分別是AB、A

17、C的中點，點D在BiCi上，AD B1c o求證：(1) EF/平面ABC;(2)平面 A1FD 平面 BB1GC .本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查空間想象能力、推理論證能力。證明：(1)因為E、F分別為AiB、AiC的中點，所以EF/ BC,又EF 面ABC, BC 面ABC ,所以EF/平面ABC(2)因為直三棱柱 ABC-A iBiCi ,所以 BBi上面 AiBiCi, BBiXAiD,又 AiDBiC,所以 AiD，面BB1C1C,又AiD 面AiFD,所以平面 AiFD，平面BBiCiC(3)推理有理有據，答題規規矩矩從近年立體幾何解答題的答題情況來看，學生“

18、會而不對，對而不全”的問題比較 嚴重，很值得引起我們的重視。2010年高考第19題的學生丟分集中在：一是第一問求 余弦值時沒有列出公式來或者計算錯誤；二是第二問丟三拉四、只求三言兩語，無關鍵 步驟，不求推理有據，更談不上整齊、清潔、美觀；三是第三問用傳統的方法解決的基 本上都扣分了。因此，在平時的訓練中，我們就應當培養學生規范答題的良好習慣，要 使學生在做解答題時作到“一看、二證、三求解”。充分利用好每次模擬考試后的講評 機會，給學生講評分標準和答題技巧。(4)重視空間想象，會識圖會畫圖會想圖立體幾何是培養學生空間想象力的數學分支。在具體要求上，要把握好以下三點： (1)培養學生識圖、想圖、畫圖的能力(包括規范圖形和非規范圖形)；(2)培養學生將概念、性質靈活應用于圖形的能力，要把文字語言、符號語言和圖形語言有機結合起來； 培養學生對圖形的處理能力，會把非標準圖形轉化為標準圖形，對圖形的割、補、 折、展等高考長考不衰的內容應重點關注。如：解立體幾何題一般需作好兩個圖，一是立體圖，把已知條件中的線段長、角度 值在圖中標出，對于圖形翻折、旋轉等問題把折前及折后的長度、角度對應起來，往往 發現解題思路或部分結論。二是用來計算的鉛垂放置的平面圖(解題關鍵圖)，利于正 確運算。又如：一些具有特殊條件問題利用特殊體去解決能使解題簡捷明快。如正四面體可 在正方體中截得，三射