1、2021年全國高考理科數學試題分類匯編：概率與統計一、選擇題1 . 2021年普通高等學校招生統一測試遼寧數學理某學校組織學生參加英語測試,成績的頻率分布直方圖如圖,數據的分組一次為 20,40 , 40,60 , 60,80 ,8 20,100 .假設低于60分的人數是15人,那么該班的學生人數是A. 45B. 50C. 55D. 60【答案】B2 . 2021年高考陜西卷理某單位有840名職工,現采用系統抽樣方法,抽取42人做問卷調查,將840 人按1,2, , 840 隨機編號,那么抽取的42人中,編號落入區間481,720的人數為A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B3 .

2、 2021年普通高等學校招生統一測試安徽數學理某班級有50名學生,其中有30名男生和,20名女生,隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數學測驗中的成績,五名男生的成績分別為 86,94,88,92,90,五名女生的成績分別為88,93,93,88,93. 以下說法一定正確的選項是A.這種抽樣方法是一種分層抽樣B.這種抽樣方法是一種系統抽樣C.這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差D.該班級男生成績的平均數小于該班女生成績的平均數【答案】C4 . 2021年高考湖南卷理某學校有男、女學生各500名.為了解男女學生在學習興趣與業余愛好方面是否存在顯著差異,擬從全體學生中抽取 100名學生進

3、行調查,那么宜采用的抽樣方法是A.抽簽法B.隨機數法C.系統抽樣法D.分層抽樣法【答案】D5 . 2021年高考陜西卷理如圖,在矩形區域ABCD勺A C兩點處各有一個通信基站,假設其信號覆 蓋范圍分別是扇形區域 AD%口扇形區域CBR該矩形區域內無其他信號來源,基站工作正常.假設在該 矩形區域內隨機地選一地點,那么該地點無信號的概率是A. 1B.C. 2D.【答案】A2021年高考四川卷理節日里某家前的樹上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立,假設接通電后的4秒內任一時刻等可能發生 后,它們第一次閃亮的時刻相差不超過1A.4【答案】C1B.2,然后每串彩燈在內2秒的概率是r c 344

4、秒為間隔閃亮,那么這兩串彩燈同時通電D.2021年普通高等學校招生統一測試福建數學理某校從高一年級學生中隨機抽取局部學生,將他們的模塊測試成績分為 6 組:40,50, 50,60, 60,70, 70,80, 80,90, 90,100加以統計,得到如下圖的頻率分布直方圖,高一年級共有學生 600名,據此估計,該模塊測試成績不少于 60分 的學生人數為A. 588B. 480C. 450D. 120【答案】B2021年高考江西卷理總體有編號為01,02,19,20 的20個個體組成.利用下面的隨機數表選取5個個體,選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字,那

5、么選出來的第5個個體的編號為7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481 A. 08B. 07C. 02D. 01【答案】D2021年高考新課標1 理為了解某地區的中小學生視力情況,擬從該地區的中小學生中抽取局部學生進行調查,事先已了解到該地區小學.初中.高中三個學段學生的視力情況有較大差異,而男女生視力情況差異不大,在下面的抽樣方法中,最合理的抽樣方法是A.簡單隨機抽樣B.按性別分層抽樣 C.按學段分層抽樣 D.系統抽樣【答案】C.10.2021年普通高等學校招生統一測試重慶數學理以下莖葉圖記錄了甲.乙兩組各

6、五名學生在一次英語聽力測試中的成績單位：分甲組乙組909X215y87424甲組數據的中位數為 15,乙組數據的平均數為16.8,那么x,y的值分別為A. 2,5B. 5,5C. 5,8D. 8,8【答案】C離散型隨機變量 X的分布列為11. . 2021年普通高等學校招生統一測試廣東省數學理X123331P"'.51010那么X的數學期望EX 3A. 2B. 25C. 2D. 3r 168C.125【答案】A,切割成125個同樣大小的小正方體.12. 2021年高考湖北卷理如圖,將一個各面都涂了油漆的正方體經過攪拌后,從中隨機取出一個小正方體,記它的涂油漆面數為D. 75二

7、、填空題13. 2021年高考上海卷理盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九個球,從中任意取出兩個,那么這兩個球的編號之積為偶數的概率是 結果用最簡分數表示1814. 2021年高考湖北卷理從某小區抽取100戶居民進行月用電量調查,發現其用電量都在 50到350 度之間,頻率分布直方圖所示.I直方圖中x的值為;II在這些用戶中,用電量落在區間100,250內的戶數為 .【答案】0.0044 ;7015. 2021年普通高等學校招生全國統一招生測試江蘇卷抽樣統計甲、乙兩位設計運發動的5此練習成績單位：環,結果如下：運 動 員第1 次第2次第3次第 4 次第5 次甲8791908

8、993乙8990918892那么成績較為穩定方差較小的那位運發動成績的方差為 一.【答案】216. 2021年普通高等學校招生統一測試福建數學理利用計算機產生 01之間的均勻隨機數 a,那么時間“3a 1 0發生的概率為17. 2021年普通高等學校招生統一測試新課標n卷數學理從n個正整數1,2,n中任意取出兩個不同的數,假設取出的兩數之和等于 5的概率為 工,那么n .14【答案】818. 2021年普通高等學校招生統一測試遼寧數學理為了考察某校各班參加課外書法小組的人數,在全校隨機抽取 5個班級,把每個班級參加該小組的認為作為樣本數據.樣本平均數為 7,樣本方差為4,且樣本數據互相不相同,

9、那么樣本數據中的最大值為 .【答案】1019. 2021年高考上海卷理設非零常數d是等差數列X1,X2,X3,L ,X19的公差,隨機變量等可能地取值X1,X2,X3,L ,X19,那么方差 D 【答案】D . 30 |d |.20. 2021年普通高等學校招生統一測試山東數學理在區間 3,3上隨機取一個數x,使得X 1 X 2 1成立的概率為.21. 2021年普通高等學校招生全國統一招生測試江蘇卷現在某類病毒記 作XmYn ,其中正整數m , n m 7, n 9可以任意選取,那么m, n都取到奇數的概率為 .-20【答案】20 .63三、解做題22. 2021年普通高等學校招生統一測試廣

10、東省數學理某車間共有12名工人,隨機抽取6名,他們某日加工零件個數的莖葉圖如下圖,其中莖為十位數,葉為個位數.1 792 0153 0第17題圖(I )根據莖葉圖計算樣本均值；(n)日加工零件個數大于樣本均值的工人為優秀工人,根據莖葉圖推斷該車間 12名工人中有幾名優秀工人；(m)從該車間12名工人中,任取2人,求恰有1名優秀工人的概率.【答案】解：(1)由題意可知,樣本均值x 17 19 20 21 (2021年高考北京卷(理)以下圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖,空氣質量指數小于100 表示空氣質量優良,空氣質量指數大于 200表示空氣重度污染,某人隨機選擇3月1日至3月13日

11、中 的某一天到達該市,并停留2天. 30 226(2) Q樣本6名個人中日加工零件個數大于樣本均值的工人共有2名,可以推斷該車間12名工人中優秀工人的人數為:12 2 46Q從該車間12名工人中,任取2人有C12 66種方法,11而恰有1名優秀工人有C110c2 20所求的概率為：Pc10c220 1066 33空氣質量指數(I )求此人到達當日空氣重度污染的概率(n)設X是此人停留期間空氣質量優良的天數,求X的分布列與數學期望；(m)由圖判斷從哪天開始連續三天的空氣質量指數方差最大？(結論不要求證實)【答案】解：設A表示事件“此人于 3月i日到達該市"(i=1,2,13).1根據題

12、意,p(a) ,且 A I Aj(i j).13(I)設B為事件“此人到達當日空氣重度污染,那么 B A5 UA8,_ _2所以 P(B) P(AUA) p(A5)p(A8)13 (II)由題意可知,X的所有可能取值為 0,1,2,且4P(X=1)=P(A3UAeUA7UA11)= P(A 3)+P(A 6)+P(A7)+P(Ah)= _ ,134P(X=2) = P(Ai UA2UA12UA13)= P(A 1)+P(A2)+P(Ai2)+ P(Ai3)= 一13P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=5,13所以X的分布列為：X012p5134134134 c 4122 -1313

13、135故X的期望EX 0 13(III)從3月5日開始連續三天的空氣質量指數方差最大.24. (2021年普通高等學校招生統一測試福建數學(理)某聯歡晚會舉行抽獎活動,舉辦方設置了甲.乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為 2 ,中將可以獲得2分；方案乙的中獎率為 -,中將可以得3分;未中獎那么不得分.每人有且只有一次抽獎時機,每次抽獎中將與否互不影響,晚會結束后憑分數兌換獎品假設小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為 X ,Y,求X 3的概率；(2)假設小明.小紅兩人都選擇方案甲或方案乙進行抽獎,問：他們選擇何種方案抽獎,累計的得分的數學期望較大？【答案】 解:(I)由得：小明

14、中獎的概率為 2,小紅中獎的概率為 -,兩人中獎與否互不影響,記、11 5)15“這2人的累計得分 X 3的事件為A,那么A事件的對立事件為“ X 5八2 24QP(X 5)P(A) 1 P(X3 5 15這兩人的累計得分 X 3的概率為11.15(n)設小明.小紅都選擇方案甲抽獎中獎的次數為X1,都選擇方案乙抽獎中獎的次數為X2,那么這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數學期望為E(2 X1),選擇方案乙抽獎累計得分的數學期望為E(3X2)一_ _2_2由：X1 B(2, ) , X2 B(2,)35E(Xi) 233,")2 5812E(2XJ 2E(Xi) o, E(3X2)3E(X

15、2)匚 35Q E(2Xi) E(3X2)他們都在選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數學期望最大.25 .( 2021年普通高等學校招生統一測試天津數學(理)一個盒子里裝有 7張卡片,其中有紅色卡片 4張,編號分另為1,2, 3, 4;白色卡片3張,編號分別為2, 3, 4. 從盒子中任取4張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同).(I )求取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率.(n)再取出的4張卡片中,紅色卡片編號的最大值設為X,求隨機變量X的分布列和數學期望.【答案】26. (2021年普通高等學校招生統一測試大綱版數學(理)甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽,其中兩人比賽,另一人當裁判

16、,每局比賽結束時,負的一方在下一局當裁判,設各局中雙方獲勝的概率均為1,各局2比賽的結果相互獨立,第1局甲當裁判(I)求第4局甲當裁判的概率；(11) X表示前4局中乙當裁判的次數,求X的數學期望27. (2021年普通高等學校招生統一測試遼寧數學(理)現有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學從中任取3道題解答.(I)求張同學至少取到1道乙類題的概率；-(II)所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題.設張同學答對甲類題的概率都是-,答對每道乙類54題的概率都是4 ,且各題答對與否相互獨立.用X表小張同學答對題的個數,求X的分布列和數學期5望.【答案】1 . (2021年高考陜西卷(理)

17、在一場娛樂晚會上,有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱,由現場數百名觀眾投票選出最受歡送歌手 . 各位觀眾須彼此獨立地在選票上選 3名歌手,其中觀眾甲是1號歌手白歌迷,他必選1號,不選2號, 另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中隨機選3名 歌手.(I )求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中 3號歌手白概率；(n) X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和,求X的分布列和數學期望.【答案】解：(I) 設事件A表示：觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中 3號歌手.一 . 一,. 2 一. . . . 3觀眾甲選中3號歌手的I率為 三,觀眾乙未選中3號歌手的概率為

18、1-335一234所以 P(A) = (1-).3515一 一 一 “ ,一 _ 4因此,觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的I率為 15(n) X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和,那么X可取0,1,2,3.觀眾甲選中3號歌手的概率為 2,觀眾乙選中3號歌手的概率為 335當觀眾甲、乙、丙均未選中3號.歌手時,這時X=0,P(X = 0) =(12) (1 -)2 -3575當觀眾甲、乙、23 2(1 -)235當觀眾甲、乙、2 33、(1)3 55丙中只有2 3(1 ) 3 5丙中只有1人選中(15)2人選中3號歌手時,這時X=1,P(X = 1)=2 、3 38 6 6(1

19、- (1 -)3 5 5753號歌手時,這時X=2,P(X = 2)=一 3、 3 12 9 12(1 -)5 575當觀眾甲、乙、丙均選中3號歌手時,這時X=3,P(X =3)=33.752科2(一)3 520一.來源:Zxxk.Com751875X的分布列如下表：4 d 20E 017575所以,數學期望EX1 . (2021年高考湖南卷(理)C 33 c 1823 75752815某人在如圖20 66 54 2875154所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫的P420331875757575交叉點記憶三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物.根據歷年的種植經驗,一株該種作

20、物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近作物株數X之間的關系如下表所示：X1234Y51484542這里,兩株作物“相近是指它們之間的直線距離不超過1米.(I)從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物,求它們恰好.“相近的概率；(II)從所種作物中隨機選取一株,求它的年收獲量的分布列與數學期望.【答案】解：(I )由圖知,三角形邊界共有12個格點,內部共有3個格點.從三角形上頂點按逆時針方向開始 ,分別有0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1 對格點,共8對格點恰好“相近.所以,從三角r形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物,它們恰好“相近的概率P旦2 12 3 9(n)三角形

21、共有15個格點.與周圍格點的距離不超過4所以 P(Y 51)一15與周圍格點的距離不超過(2,2),(3,1).所以 P(Y與周圍格點的距離不超過1米的格點數都是1個的格點有2個,坐標分別為(4,0),(0,4).1米的格點數都是448)151米的格點數都是2個的格點有4個,坐標分別為(0,0), (1,3),3個的格點有6個,坐標分別為(1,0), (2,0),X1234Y51484542頻數2463246131概率P15151515所以P(Y 45)與周圍格點的距離不超過(2,1).所以 P(Y 42)如下表所示：1米的格點數都是315154個的格點有3個,坐標分別為(1,1), (1,2

22、),24 ,廣 63102 192 270 126 690E(Y) 51 484542 - 46151515151515E(Y) 46.2. (2021年普通高等學校招生統一測試重慶數學(理)某商場舉行的“三色球購物摸獎活動規定：在一次摸獎中,摸獎者先從裝有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出 3個球,再從裝有1個藍球與2個白球的 袋中任意摸出1個球,根據摸出4個球中紅球與藍球的個數,設一.二.三等獎如下：獎級摸出紅.藍球個數獲獎金額一等獎3紅1藍200元二等獎3紅0藍50元三等獎2紅1藍10元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級X的分布列與期望E X(1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率；

23、(2)求摸獎者在一次摸獎中獲獎金額【解析】設4表示摸到個缸球,與表示慢到/個籃球.那么4j二0LZ.3與鳥U=OJ獨立.7?： 18I 恰好摸到1個紅球的颼率為片記 一 UII K的所仃川能僅為：仇10. 50, Mb C I I二200二代&片卜氏4回=才1二焉.105P(X =50) = P(/MJ =汽 4)P(5J =J 3C2Cl I 124產«=助二片&與=只應產線=尸=不3.2021年普通高等學校招生統一測試浙江數學理設袋子中裝有a個紅球,b個黃球,cj藍球,且規定：取出一個紅球得1分,取出一個黃球2分,取出藍球得3分.1當a 3,b 2,c 1時,從該

24、袋子中任取有放回,且每球取到的時機均等2個球,記隨機變量為取出此2球所得分數之和,.求 分布列；2從該袋子中任取且每球取到的時機均等1個王,記隨機變量為取出此球所得分數.假設E 3,d5 ,、, 一,求 a: b :c.【答案】解：I 由得到：當兩次摸到的球分別是紅紅時3 31 .一2,此時P( 2)-;當兩9次摸到的球分別是黃黃,紅藍,藍紅時的球分別是紅黃,黃紅時 3,此時P(5 ,此時P(5)4,此時P( 4) 22 3- -1-3 ;當兩次摸到6 6 6 6 6 6 183 2 2 3 13) |3 1;當兩次摸到的球分別是黃藍,藍黃1 1-；當兩次摸到的球分別是藍藍時 6 ,此時6 9

25、1 11,一“口P( 6) 一；所以的分布列是6 6 36E所以：D5a2b3c3ab ca b cab c5(15)2a(25、22b3)a b cb c93 a(3 5)23ca b c所以 b 2c, a 3ca: b : c 3: 2:1.23456P11511""""4318936(n)由得到：后二種取值1即1,2,3,所以的分布列是：123Pabca b ca b ca b c)經銷商經銷某種農產品,在一個銷售季度內4. (2021年普通高等學校招生統一測試新課標n卷數學(理)每售出1t該產品獲利潤500元,未售出的產品,每1t虧損300元.

26、根據歷史資料,得到銷售季度內市場 需求量的頻率分布直方圖,如下圖.經銷商為下一個銷售季度購進了130t該農產品,以X (單位:t,100 X 150)表示下一個銷售季度內的市場需求量,T (單位：元)表示下一個銷售季度內銷商該農產品的利潤.(I)將T表示為X的函數；(n )根據直方圖估計利潤 T不少于57000元的概率；(m)在直方圖的需求量分組中,以各組的區間中點值代表該組的各個值,需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率(例如：假設X 100,110),那么取X 105,且X 105的概率等于需求量落入100,110)的概率),求利潤T的數學期望.【答案】5. (2021年高考

27、江西卷(理)小波以游戲方式決定參加學校合唱團還是參加學校排球隊.游戲規那么為：以O為起點,再從Ai,4,2,兒出5,兒,從入,(如圖)這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量,記這兩個向量的數量積為 X .假設X0就參加學校合唱團,否那么就參加學校排球隊.(1)求小波參加學校合唱團的概率 (2)求X的分布列和數學期望.1J)小 1【答案】解:(1)從8個點中任意取兩點為向量終點的不同取法共有C； 28種,0時,兩向量夾角為,直角共有8種情形；所以小波參加學校合唱團的概率為P(0)_828(2)兩向量數量積的所有可能取值為2, 1,0,1,2時,有兩種情形；1時,有8種情形；1時,有10種情形.

28、所以的分布列為2101P15221414772146. (2021年普通高等學校招生統一測試山東數學(理)甲、乙兩支排球隊進行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結束,除第五局甲隊獲勝的概率是1外,其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是-,假231522E ( 2)+( 1) 0 - 1 -141477設各局比賽結果相互獨立.(I)分別求甲隊以3:0,3:1,3:2 勝利的概率；(II)假設比賽結果為3:0或3:1,那么勝利方得3分,對方得0分；假設比賽結果為3:2,那么勝利方得2分、對 方得1分.求乙隊得分X的分布列及數學期望.【答案】解:(I )記“甲隊以3:0勝利為事件“甲隊以3:1勝利

29、為事件 A2, “甲隊以3:2勝禾/為事件A3,由題意,各局比賽結果相互獨立故 P(A1) (2)3 今 P(A2) C32(1)2(1 32 733)827P(A3) C41(|)2(1 |)2 331 42 27所以,甲隊以3:0,3:1,3:2勝利的概率分別是8278274一；27(II)設“乙隊以3:2勝利為事件A4 ,由題意,各局比賽結果相互獨立,所以14(1)一227P(X0)P(A1 A2) P(Ai)P(A2)1627P(X1)4P(A3)27P(X2) P(A4)27P(X3)1 P(X0)P(X1) P(X2)327故X的分布列為XP01627142724273327EX所

30、以4274277. (2021年高考湖北卷(理)假設每天從甲地去乙地的旅客人數X是服從正態分布 N 800,502的隨機變量.記一天中從甲地去乙地的旅客人數不超過900的概率為p0.(I)求P0的值;(參考數據：假設X : N,有P0.6826,八 12 2 2 2P(A4) C；(1 |)2(|)2 3 3由題意,隨機變量X的所有可能的取值為0,1,2,3,根據事件的互斥性得P 2 X 20.9544 , P 3 X 30.9974.)(II)某客運公司用A. B兩種型號的車車承當甲 .乙兩地間的長途客運業務,每車每天往返一次,A. B兩種車輛的載客量分別為36人和60人,從甲地去乙地的運營

31、本錢分別為1600元/輛和2400元/輛.公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊,并要求B型車不多于 A型車7輛.假設每天要以不小于p0的概率運完從甲地去乙地的旅客,且使公司從甲地去乙地的運營本錢最小,那么應配備 A型車.B型車各多少輛？1 【答案】解:(I) P0 0.5 0.9544 0.9772 2(II)設配備A型車x輛,B型車y輛,運營本錢為z元,由條件得x y 2136x 60y 900 ",而 z 1600 x 2400yy x 7 x,y N作出可行域,得到最優解x 5,y 12.所以配備A型車5輛,B型車12輛可使運營本錢最小.8. (2021年高考新課標1 (理)

32、一批產品需要進行質量檢驗,檢驗方案是：先從這批產品中任取 4件作檢驗,這4件產品中優質品的件數記為n.如果n=3,再從這批產品中任取 4件作本金驗,假設都為優質品,那么這批產品通過檢驗；如果n=4,再從這批產品中任取1件作檢驗,假設為優質品,那么這批產品通過檢驗；其他情況 下,這批產品都不能通過檢驗.假設這批產品的優質品率為50%,即取出的產品是優質品的概率都為,且各件產品是否為優質品相互獨立(1)求這批產品通過檢驗的概率；(2)每件產品檢驗費用為100元,凡抽取的每件產品都需要檢驗,對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X(單位：元),求X的分布列及數學期望.【答案】設第一次取出的4件產品中恰有

33、3件優質品為事件 A,第一次取出的4件產品中全為優質品為事件B,第二次取出的4件產品都是優質品為事件C,第二次取出的1件產品是優質品為事件D,這批產品通過檢驗為事件 E,根據題意有E=(AB)U(CD),且AB與CD互斥, .P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C尸nX的可能取值為400,500,800,并且-3,1、31P(X=400)=1- C：( )3 221.4 111(2)4 = 一,P(X=500)= 一,P(X=800)=c323.x的分布列為X400500800P1111161641111EX=400X+500X +800X =506.25161649.2021年高考四川卷理某算法的程序框圖如下圖其中輸入的變量 x在1,2,3, ,24這24個整數中等可能隨機產生.I分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出n甲、乙兩同學依據自己對程序框圖的理解y的值為i的概率Ri 1,2,3；,各自編寫程序重復運行n次后,統計記錄了輸出 y的值為ii 1,2,3的頻數.以下是甲、乙所作頻數統計表的局部數據運行次數